Начальные и граничные условия. Термодинамические основы термоупругости. Корректность постановки граничных условий

U| x=0 = g 1 (t), U| x=l = g 2 (t)

Эти условия физически означают, что на концах заданы режимы колебаний.

II. Граничные условия второго рода

U x | x=0 = g 1 (t), U x | x=l = g 2 (t)

Такие условия соответствуют тому, что на концах заданы силы.

III. Граничные условия третьего рода

(U x -σ 1 U)| x=0 = g 1 (t) , (U x –σ 2 U)| x=l = g 2 (t)

Эти условия соответствуют упругому закреплению концов.

Граничные условия (5), (6) и (7) называются однородными, если правые части g 1 (t) и g 2 (t) тождественно равны нулю при всех значениях t. Если хотя бы одна из функций в правых частях не равна нулю, то граничные условия называются неоднородными.

Аналогично формулируются граничные условия и в случае трех или четырех переменных при условии, что одна из этих переменных - время. Границей в этих случаях будет или замкнутая кривая Г, ограничивающая некоторую плоскую область, или замкнутая поверхность Ω, ограничивающая область в пространстве. Соответственно изменится и производная от функции, фигурирующая в граничных условиях второго и третьего рода. Это будет производная по нормали n к кривой Г на плоскости или к поверхности Ω в пространстве, причем, как правило, рассматривают нормаль, внешнюю по отношению к области(см.рис.5).

К примеру, граничное условие (однородное) первого рода на плоскости записывается в виде U| Γ =О, в пространствеU| Ω =0. Граничное условие второго рода на плоскости имеет вид ,а в пространстве . Конечно, физический смысл этих условий разный для различных задач.

При постановке начальных и граничных условий возникает задача об отыскании решения дифференциального уравнения, удолетворяющего заданным начальным и граничным (краевым) условиям. Для волнового уравнения (3) или (4), начальных условий U(x,0)=φ(x), U t (x,0)=ψ(x) и в случае граничных условий первого рода (5), задача называетсяпервой начально-краевой задачей для волнового уравнения . Если вместо граничных условий первого рода задавать условия второго рода (6) или третьего рода (7), то задача будет называться, соответственно, второй и третьей начально-краевой задачей . Если граничные условия на разных участках границы имеют различные типы, то такие начально-краевые задачи называют смешанными .

Рассмотрим две типичных электростатических задачи :

1) Найти потенциал электрического поля при неизвестном местоположении исходных зарядов, но заданном электрическом потенциале на границах области. (Например, задача о распределении потенциала электрического поля, создаваемого системой неподвижных проводников, помещенных в вакуум и подключенных к батареям. Здесь можно измерить потенциал каждого проводника, но задать распределение электрических зарядов на проводниках, зависящее от их формы, весьма сложно.)

2) Найти потенциал электрического поля, создаваемого заданным распределением в пространстве электрических зарядов .

Хорошо известно, что прямой метод вычисления потенциала электрического поля в этих задачах состоит в решении уравнения Лапласа (задача 1)

(1)

и уравнения Пуассона (задача 2)

. (2)

Уравнения (1), (2) относится к классу дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа .

Далее мы будем рассматривать только частный случай эллиптических уравнений для поля  , зависящего от двух пространственных переменных. Совершенно очевидно, что для полного решения задачи уравнения (1), (2) необходимо дополнить граничными условиями. Различают три типа граничных условий:

1) граничные условия Дирихле (значения  задаются на некоторой замкнутой кривой в плоскости (х,у) и, возможно, на некоторых дополнительных кривых, расположенных внутри области (рис. 1));

2) граничные условия Неймана (на границе задается нормальная производная потенциала );

3) смешанная краевая задача (на границе задается линейная комбинация потенциала  и его нормальной производной).

Одного уравнения движения (1.116) при математическом описании физического процесса недостаточно. Надо сформулировать условия, достаточные для однозначного определения процесса. При рассмотрении задачи о колебании струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и граничные (краевые).

Сформулируем дополнительные условия для струны с закрепленными концами. Так как концы струны длины закреплены, то их отклонения в точках и должны быть равны нулю при любых :

Условия (1.119) называются граничными условиями; они показывают, что происходит на концах струны на протяжении процесса колебания.

Очевидно, процесс колебаний будет зависеть от того, каким способом струна выводится из состояния равновесия. Удобнее считать, что струна начала колебаться в момент времени . В начальный момент времени всем точкам струны сообщаются некоторые смещения и скорости:

,

, ,

(1.120)

где и - заданные функции.

Условия (1.120) называются начальными условиями.

Итак, физическая задача о колебаниях струны свелась к следующей математической задаче: найти такое решение уравнения (1.116) (или (1.117) или (1.118)), которое удовлетворяло бы граничным условиям (1.119) и начальным условиям (1.120). Эта задача называется смешанной краевой задачей, так как включает в себя и граничные и начальные условия. Доказано, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции и , смешанная задача имеет единственное решение.

Оказывается, что к задаче (1.116), (1.119), (1.120), помимо задачи о колебаниях струны, сводятся многие другие физические задачи: продольные колебания упругого стержня, крутильные колебания вала, колебания жидкостей и газа в трубе и др.

Помимо граничных условий (1.119) возможны граничные условия других типов. Наиболее распространенными являются следующие:

I. , ;

II. , ;

III. , ,

где , - известные функции, а , - известные постоянные.

Приведенные граничные условия называют соответственно граничными условиями первого, второго, третьего рода. Условия I имеют место в том случае, если концы объекта (струна, стержень и т.д.) перемещаются по заданному закону; условия II – в случае, если к концам приложены заданные силы; условия III – в случае упругого закрепления концов.

Если функции, заданные в правой части равенств, равны нулю, то граничные условия называются однородными. Так, граничные условия (1.119) – однородные.

Комбинируя различные перечисленные типы граничных условий, получим шесть типов простейших краевых задач.

Для уравнения (1.116) может быть поставлена и другая задача. Пусть струна достаточно длинная и нас интересует колебание ее точек, достаточно удаленных от концов, причем в течение малого промежутка времени. В этом случае режим на концах не будет оказывать существенного влияния и поэтому его не учитывают; струну же при этом считают бесконечной. Вместо полной задачи ставят предельную задачу с начальными условиями для неограниченной области: найти решение уравнения (1.116) для при , удовлетворяющее начальным условиям:

, .

Начальные условия отвечают на вопрос о том, каково было температурное поле в момент вре­мени, принятый за начало отсчета. Они описываются выраже­нием . Очень часто температура компонентов технологических подсистем в начальный момент времени может быть принята равной температуре окружающей среды, т. е. . В этом случае удобно, как отмечалось выше, вести расчет в так называемых избыточных температурах, условно считая, что , а затем по окончании расчета к ре­зультату прибавляя . Граничными называются условия взаимодействия поверх­ностей тел с окружающей средой или другими телами. Различают несколько разновидностей граничных условий. При граничных условиях первого рода (ГУ1) предполагают, что известен закон распределения температур на граничных поверхностях тела . Пусть, например, требуется определить темпе­ратурное поле внутри какой-либо детали или инструмента. Сде­лать это экспериментальным путем, не разрушая объект измерения, довольно трудно, измерить же температуру на поверхности де­тали, инструмента или другого твердого тела экспериментальным путем значительно проще, это может быть выполнено без повреж­дения объекта. Если мы знаем ГУ1 в виде закона распределения температур на поверхностях тела, то, решая дифференциальное уравнение теплопроводности, можем рассчитать поле температур внутри детали, инструмента и т. д. Частным случаем ГУ1 яв­ляется условие изотермичности поверхностей тела, т. е. .

Граничные условия второго рода (ГУ2) предусматривают, что известен закон распределения плотности тепловых потоков , следующих через граничные поверхности. В частном случае . Это означает, что рассматриваемая поверхность не обменивается теплотой с окружающей средой, т. е. является адиабатической. Выполняя тепловые расчеты, относящиеся к технологическим подсистемам, во многих случаях с достаточной для практики точностью можно пренебречь теплообменом той или иной поверхности (или ее участка) с окружающей средой, т. е. принять , что упрощает расчет.

Граничные условия третьего рода (ГУЗ) используют в том случае, когда теплообменом поверхности с окружающей средой пренебречь нельзя. В этом случае должны быть заданы температура среды, с которой соприкасается данное тело, и так называемый коэффициент теплоотдачи , Вт/(м 2 × °С), характеризующий теплообмен между средой и поверхностью.

Согласно закону Ньютона-Рихмана плотность теплового потока пропорциональна разности температур поверхности и окружающей ее среды , т.

Формула (2.1) дает возможность определить количество теп­лоты , Вт/м 2 , которое в единицу времени с единицы поверхности отводится в окружающую среду. Как следует из закона Фурье, к поверхности тела подводится поток

.

Следовательно,

или . (2.2)

Выражение (2.2) представляет собой математическое описание граничных условий третьего рода.

Граничные условия четвертого рода (ГУ4) возникают тогда, когда рассматриваемое твердое тело находится в беззазорном контакте с другим твердым телом и между ними происходит теплообмен. Этот вариант граничных условий весьма часто встре­чается в теплофизике технологических процессов. Например, при обработке давлением детали штампа практически беззазорно соприкасаются с обрабатываемой заготовкой; при резании ме­талла поверхности инструмента на определенных участках сопри­касаются со стружкой и заготовкой. При граничных условиях четвертого рода, когда контакт между телами идеален, темпе­ратура в любой точке поверхности соприкосновения как со сто­роны одного, так и со стороны другого тела одна и та же, т. е.

С целью упрощения расчетов часто вместо равенства темпе­ратур в каждой точке контакта в качестве ГУ4 принимают равенство средних температур на поверхности контакта, т. е. вместо формулы (2.3) полагают

Граничные условия четвертого рода используют при решении балансовых задач, т. е. при анализе распределения теплоты между телами, находящимися в контакте. Распределив между соприкасающимися телами теплоту, образующуюся на контактной поверхности, и рассчитав плотность теплового потока в каждом из тел, далее пользуются граничными условиями второго рода.

Заканчивая рассмотрение вопроса о граничных условиях, отметим, что на разных участках реальных тел могут иметь место различные граничные условия. Рассмотрим, например, процесс плоского шлифования заготовки торцом чашечного круга (см. рис. 2.5). Если решена задача о распределении теплоты шлифо­вания между кругом и заготовкой, то по отношению к заготовке имеем следующие граничные условия: ГУ3 - на поверхности соприкосновения с жидкостью; ГУ2 - на контактной поверхности с кругом, где известна плотность теплового потока, и на торце заготовки, который можно считать адиабатическим, если пре­небречь его теплоотдачей в воздух; ГУ4 - на поверхности, где заготовка соприкасается с магнитным столом станка.

Как уже отмечалось во введении, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам частное решение, нужно на искомую функцию наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением читатель встречался уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение часшого решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям.

При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные).

Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего Считать, что струна начала колебаться в момент времени . Начальное положение точек струны задается условием

а начальная скорость

где - заданные функции.

Запись и означает, что функция взята при произвольном значении и при , т. е. аналогично . Такая форма записи постоянно применяется в дальнейшем; так, например, и т. д.

Условия (1.13) и (1.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость.

Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны - в начале координат, а конец - в точке функция будет подчиняться условиям

С такими же точно условиями читатель встречался в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки.

Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны.

Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули, т. е. задали функцию - уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что ) Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре).

Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах.

Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами

Определяет температуру на поверхности тела в любой момент времени, то есть

T s = T s (x, y, z, t) (2.15)

Рис. 2.4 – Изотермическое граничное условие.

Как бы не изменялась температура внутри тела, температура точек на поверхности подчиняется уравнению (2.15).

Кривая распределения температуры в теле (рис. 2.4) на границе тела имеет заданную ординату T s , которая может изменяться во времени. Частным случаем граничного условия первого рода является изотермическое граничное условие, при котором температура поверхности тела остается в течение всего процесса теплопередачи постоянной:

T s = const.

Рис. 2.5 – Условие первого рода

Чтобы представить себе такое состояние тела необходимо предположить, что симметрично источнику тепла, действующему в теле, действует другой, фиктивный источник тепла вне его с отрицательным знаком (так называемый сток тепла). Причем свойства этого стока теплоты в точности совпадают со свойствами действительного источника тепла, а распределение температур описывается одинаковым математическим выражением. Суммарное действие этих источников приведет к тому, что на поверхности тела установится постоянная температура, в частном случае Т = 0 8С , в то время как в пределах тела температура точек непрерывно меняется.

Граничное условие второго рода

Определяет плотность теплового потока в любой точке поверхности тела в любой момент времени, т.е.

По закону Фурье плотность теплового потока прямо пропорциональна градиенту температуры. Поэтому температурное поле на границе имеет заданный градиент (рис. б), в частном случае постоянные, когда

Частным случаем граничного условия второго рода является адиабатическое граничное условие, когда тепловой поток через поверхность тела равен нулю (рис. 2.6), т.е.

Рис. 2.6 - Граничное условие второго рода

В технических расчетах часто встречаются случаи, когда тепловой поток с поверхности тела мал по сравнению с потоками внутри тела. Тогда можно принять эту границу как адиабатическую. При сварке такой случай может быть представлен следующей схемой (Рис. 2.7).

Рис. 2.7 – Условие второго рода

В точке О действует источник тепла. Чтобы выполнить условие – граница не пропускает тепло, необходимо симметрично этому источнику поместить такой же источник вне тела, в точке О 1 , причем тепловой поток от него направлен против потока основного источника. Они взаимно уничтожаются, то есть граница тепла не пропускает. Однако температура края тела окажется вдвое больше, если бы это тело было бесконечным. Этот прием компенсации теплового потока носит название метода отражения, так как в этом случае теплонепроницаемая граница, может рассматриваться как граница, отражающая тепловой поток, идущий со стороны металла.

Граничное условие третьего рода.

Определяет температуру окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Наиболее простую форму граничного условия третьего рода получим, если теплообмен на границе зададим уравнение Ньютона, которое выражает, что плотность теплового потока теплоотдачи через граничную поверхность прямо пропорциональную разности температур граничной поверхности и окружающей среды

Плотность теплового потока, подтекающая к граничной поверхности со стороны тела, по закону Фурье прямо пропорционально градиенту температуры на граничной поверхности:

Приравнивая поток теплоты, поступающей со стороны тела, к потоку теплоотдачи, получаем граничное условие 3-го рода:

,

выражающее, что градиент температуры на граничной поверхности прямо пропорционален перепаду температуры между поверхностью тела и окружающей средой. Это условие требует, чтобы касательная к кривой распределения температуры в граничной точке переходит через направляющую точку О с температурой , находящуюся вне тела на расстоянии от граничной поверхности (рис. 2.8).

Рисунок 2.8 – Граничное условие 3 рода

Из граничного условия 3-го рода можно получить как частный случай изотермическое граничное условие. Если , что имеет место при очень большом коэффициенте теплоотдачи или очень малом коэффициенте теплопроводности , то:

и , т.е. температура поверхности тела постоянна в течение всего процесса теплообмена и равна температуре окружающей среды.