Kanonikal na parisukat na anyo. Kanonikal na anyo ng parisukat na anyo. Pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo

Ang pamamaraang ito ay binubuo ng sunud-sunod na pagpili ng kumpletong mga parisukat sa parisukat na anyo.

Hayaang ibigay ang quadratic form

Alalahanin na, dahil sa mahusay na proporsyon ng matrix

Mayroong dalawang posibleng kaso:

1. Hindi bababa sa isa sa mga coefficient ng mga parisukat ay iba sa zero. Nang walang pagkawala ng pangkalahatan, ipagpalagay natin (ito ay palaging makakamit sa pamamagitan ng naaangkop na muling pagbilang ng mga variable);

2. Lahat ng coefficients

ngunit mayroong isang koepisyent na naiiba sa zero (para sa katiyakan, hayaan ito).

Sa unang kaso ibahin ang anyo ng parisukat tulad ng sumusunod:

at lahat ng iba pang termino ay tinutukoy ng.

ay isang parisukat na anyo ng (n-1) na mga variable.

Ganun din ang pakikitungo nila sa kanya at iba pa.

pansinin mo yan

Pangalawang kaso pagpapalit ng mga variable

bumaba sa una.

Halimbawa 1: Bawasan ang quadratic form sa canonical form sa pamamagitan ng non-degenerate linear transformation.

Solusyon. Kolektahin natin ang lahat ng mga terminong naglalaman ng hindi alam , at idagdag ang mga ito sa isang kumpletong parisukat

(Dahil .)

o

(3)

o

(4)

at mula sa hindi kilalang
anyo kukuha ng form. Susunod na ipinapalagay namin

at mula sa hindi kilalang
anyo magkakaroon ng canonical form

Resolbahin natin ang mga pagkakapantay-pantay (3) na may paggalang sa
:

Sequential execution ng linear transformations
At
, Saan

may matrix

Linear na pagbabago ng mga hindi alam
nagbibigay ng isang parisukat na anyo sa canonical form (4). Mga variable
nauugnay sa mga bagong variable
relasyon

Nakilala namin ang LU decomposition sa workshop 2_1

Tandaan natin ang mga pahayag mula sa workshop 2_1

Mga pahayag(tingnan ang L.5, p. 176)

Idinisenyo ang script na ito upang maunawaan ang papel ng LU sa pamamaraang Lagrange na kailangan mong gamitin ito sa EDITOR notepad gamit ang F9 button.

At sa mga gawain na nakalakip sa ibaba, mas mainam na lumikha ng iyong sariling mga M-function na makakatulong sa pagkalkula at pag-unawa sa mga problema sa linear algebra (sa loob ng balangkas ng gawaing ito)

Ax=X."*A*X % nakukuha natin ang quadratic form

Ax=simple(Ax) % gawing simple ito

4*x1^2 - 4*x1*x2 + 4*x1*x3 + x2^2 - 3*x2*x3 + x3^2

% mahanap ang LU decomposition nang hindi muling inaayos ang mga hilera ng matrix A

% Kapag nagko-convert ng isang matrix sa anyo ng echelon

%nang walang row permutations, nakakakuha kami ng matrix ng M1 at U3

% U ay nakuha mula sa A U3=M1*A,

% na may ganitong matrix ng elementarya na pagbabago

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

%nakukuha namin ang U3=M1*A, kung saan

4.0000 -2.0000 2.0000

% mula sa M1 ay madaling makuha ang L1 sa pamamagitan ng pagbabago ng mga palatandaan

% sa unang column sa lahat ng row maliban sa una.

0.5000 1.0000 0

0.5000 0 1.0000

% L1 ay ganyan

A_=L1*U % ito ang LU decomposition na kailangan natin

% Mga elemento sa pangunahing dayagonal na U -

Ang % ay mga coefficient ng mga parisukat y i ^2

% sa na-convert na parisukat na anyo

% sa aming kaso, mayroon lamang isang koepisyent

% ay nangangahulugan na sa mga bagong coordinate magkakaroon lamang ng 4y 1 2 squared,

% para sa natitirang 0y 2 2 at 0y 3 2 coefficients ay katumbas ng zero

Ang % column ng matrix L1 ay ang decomposition ng Y ng X

% sa unang column makikita natin ang y1=x1-0.5x2+0.5x3

% para sa pangalawang nakikita natin y2=x2; ayon sa ikatlong y3=x3.

% kung ang L1 ay inilipat,

% iyon ay T=L1."

% T - transition matrix mula sa (X) hanggang (Y): Y=TX

0.5000 1.0000 0

1.0000 -0.5000 0.5000

% A2 – matrix ng transformed quadratic form

% Tandaan U=A2*L1." at A=L1* A2*L1."

4.0000 -2.0000 2.0000

1.0000 -0.5000 0.5000

% Kaya, nakuha namin ang decomposition A_=L1* A2*L1." o A_=T."* A2*T

% na nagpapakita ng pagbabago ng mga variable

% y1=x1-0.5x2+0.5x3

% at representasyon ng quadratic form sa mga bagong coordinate

A_=T."*A2*T % T=L1." transition matrix mula (X) hanggang (Y): Y=TX

isequal(A,A_) % ay dapat tumugma sa orihinal na A

4.0000 -2.0000 2.0000

2.0000 1.0000 -1.5000

2.0000 -1.5000 1.0000

Q1=inv(T) % hanapin ang transition matrix mula sa (Y) hanggang (X)

% Hanapin natin ang pagbabago,

% quadratic Ax=X."*A*X

% sa bagong uri Ay=(Q1Y)."*A*Q1Y=Y." (Q1."*A*Q1)*Y=Y." (U)*Y

Ay =4*y1^2 - y2*y3

x1 - x2/2 + x3/2

% pangalawang transformation matrix,

% na kung saan ay mas simple upang bumuo.

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

% R=Q1*Q2, X=R*Z

R=Q1*Q2 % non-degenerate linear transformation

% na nagdadala ng operator matrix sa canonical form.

det(R) % determinant ay hindi katumbas ng zero - ang pagbabago ay hindi nabubulok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2 ok

4*z1^2 - z2^2 + z3^2

Bumuo tayo ng algorithm para sa pagbabawas ng quads ratikal na anyo sa canonical form sa pamamagitan ng orthogonal transformation:

Ang isang parisukat na anyo ay tinatawag na canonical kung lahat i.e.

Anumang parisukat na anyo ay maaaring gawing kanonikal na anyo gamit ang mga linear na pagbabago. Sa pagsasagawa, ang mga sumusunod na pamamaraan ay karaniwang ginagamit.

1. Orthogonal na pagbabago ng espasyo:

saan - mga halaga ng eigen ng matrix A.

2. Lagrange method - sunud-sunod na pagpili ng kumpletong mga parisukat. Halimbawa, kung

Pagkatapos ay isinasagawa ang isang katulad na pamamaraan gamit ang parisukat na anyo atbp Kung sa parisukat na anyo ang lahat ay ngunit pagkatapos pagkatapos ng paunang pagbabagong-anyo ang bagay ay bumaba sa pamamaraang isinasaalang-alang. Kaya, kung, halimbawa, pagkatapos ay ipinapalagay namin

3. Paraang Jacobi (sa kaso kapag ang lahat ng mga pangunahing menor de edad ang parisukat na anyo ay naiiba sa zero):

Anumang tuwid na linya sa eroplano ay maaaring tukuyin ng isang first-order equation

Ax + Wu + C = 0,

Bukod dito, ang mga constants A at B ay hindi katumbas ng zero sa parehong oras. Tinatawag itong first order equation pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Depende sa mga halaga ng mga constants A, B at C, posible ang mga sumusunod na espesyal na kaso:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan

A = 0, B ≠0, C ≠0 (Ni + C = 0) - tuwid na linya na kahanay ng Ox axis

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – tuwid na linya na kahanay ng Oy axis

B = C = 0, A ≠0 – ang tuwid na linya ay tumutugma sa Oy axis

A = C = 0, B ≠0 – ang tuwid na linya ay tumutugma sa axis ng Ox

Ang equation ng isang tuwid na linya ay maaaring ipakita sa iba't ibang anyo depende sa anumang naibigay na paunang kondisyon.

Maaaring tukuyin ang isang tuwid na linya sa espasyo:

1) bilang isang linya ng intersection ng dalawang eroplano, i.e. sistema ng mga equation:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) sa pamamagitan ng dalawang puntos nito M 1 (x 1, y 1, z 1) at M 2 (x 2, y 2, z 2), pagkatapos ay ang tuwid na linya na dumadaan sa kanila ay ibinibigay ng mga equation:

= ; (3.3)

3) ang puntong M 1 (x 1, y 1, z 1) na kabilang dito, at ang vector a(m, n, p), collinear dito. Pagkatapos ang tuwid na linya ay tinutukoy ng mga equation:

. (3.4)

Ang mga equation (3.4) ay tinatawag canonical equation ng linya.

Vector a tinawag tuwid na vector ng direksyon.

Nakukuha namin ang mga parametric equation ng linya sa pamamagitan ng pag-equate ng bawat isa sa mga relasyon (3.4) sa parameter na t:

x = x 1 +mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + rt. (3.5)

Paglutas ng sistema (3.2) bilang isang sistema ng mga linear na equation para sa mga hindi alam x At y, dumating tayo sa mga equation ng line in mga projection o sa ibinigay na mga equation ng tuwid na linya:

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Mula sa mga equation (3.6) maaari tayong pumunta sa canonical equation, paghahanap z mula sa bawat equation at equating ang mga resultang halaga:

Mula sa mga pangkalahatang equation (3.2) maaari kang pumunta sa mga canonical sa ibang paraan, kung makakita ka ng anumang punto sa linyang ito at ang vector ng direksyon nito n= [n 1 , n 2], saan n 1 (A 1, B 1, C 1) at n 2 (A 2 , B 2 , C 2 ) - mga normal na vector ng mga ibinigay na eroplano. Kung isa sa mga denominador m, n o R sa mga equation (3.4) ay lumalabas na katumbas ng zero, kung gayon ang numerator ng kaukulang fraction ay dapat itakda na katumbas ng zero, i.e. sistema

ay katumbas ng sistema ; tulad ng isang tuwid na linya ay patayo sa Ox axis.

Sistema ay katumbas ng sistemang x = x 1, y = y 1; ang tuwid na linya ay parallel sa Oz axis.

Bawat first degree equation na may paggalang sa mga coordinate x, y, z

Ax + By + Cz +D = 0 (3.1)

tumutukoy sa isang eroplano, at kabaliktaran: anumang eroplano ay maaaring katawanin ng equation (3.1), na tinatawag na equation ng eroplano.

Vector n(A, B, C) orthogonal sa eroplano ay tinatawag normal na vector eroplano. Sa equation (3.1), ang mga coefficient A, B, C ay hindi katumbas ng 0 sa parehong oras.

Mga espesyal na kaso ng equation (3.1):

1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa pinanggalingan.

2. C = 0, Ax+By+D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oz axis.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - ang eroplano ay dumadaan sa Oz axis.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - ang eroplano ay parallel sa Oyz plane.

Mga equation ng coordinate planes: x = 0, y = 0, z = 0.

Ang isang tuwid na linya ay maaaring o hindi kabilang sa isang eroplano. Ito ay kabilang sa isang eroplano kung hindi bababa sa dalawa sa mga punto nito ay nasa eroplano.

Kung ang isang linya ay hindi kabilang sa eroplano, maaari itong maging parallel dito o mag-intersect dito.

Ang isang linya ay parallel sa isang eroplano kung ito ay parallel sa isa pang linya na nakahiga sa eroplanong iyon.

Ang isang tuwid na linya ay maaaring mag-intersect sa isang eroplano sa iba't ibang mga anggulo at, sa partikular, ay patayo dito.

Ang isang punto na may kaugnayan sa eroplano ay maaaring matatagpuan sa sumusunod na paraan: nabibilang dito o hindi kabilang dito. Ang isang punto ay kabilang sa isang eroplano kung ito ay matatagpuan sa isang tuwid na linya na matatagpuan sa eroplanong ito.

Sa kalawakan, ang dalawang linya ay maaaring magsalubong, magkatulad, o tumawid.

Ang parallelism ng mga segment ng linya ay pinapanatili sa mga projection.

Kung ang mga linya ay bumalandra, ang mga punto ng intersection ng kanilang mga projection ng parehong pangalan ay nasa parehong linya ng koneksyon.

Ang mga tumatawid na linya ay hindi kabilang sa parehong eroplano, i.e. huwag mag-intersect o parallel.

sa pagguhit, ang mga projection ng mga linya ng parehong pangalan, na kinuha nang hiwalay, ay may mga katangian ng intersecting o parallel na mga linya.

Ellipse. Ang ellipse ay isang geometric na locus ng mga punto kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto (foci) ay ang parehong pare-parehong halaga para sa lahat ng mga punto ng ellipse (ang pare-parehong halaga na ito ay dapat na mas malaki kaysa sa distansya sa pagitan ng foci).

Ang pinakasimpleng equation ng isang ellipse

saan a- semimajor axis ng ellipse, b- semiminor axis ng ellipse. Kung 2 c- distansya sa pagitan ng mga focus, pagkatapos ay sa pagitan a, b At c(Kung a > b) may relasyon

a 2 - b 2 = c 2 .

Ang eccentricity ng isang ellipse ay ang ratio ng distansya sa pagitan ng foci ng ellipse na ito sa haba ng pangunahing axis nito

Ang ellipse ay may eccentricity e < 1 (так как c < a), at ang foci nito ay nasa pangunahing axis.

Equation ng hyperbola na ipinapakita sa figure.

Mga Pagpipilian:
a, b - semi-axes;
- distansya sa pagitan ng mga focus,
- eccentricity;
- asymptotes;
- mga punong-guro.
Ang parihaba na ipinapakita sa gitna ng larawan ay ang pangunahing parihaba;

tumutukoy sa isang kurba sa eroplano. Ang isang pangkat ng mga termino ay tinatawag na isang parisukat na anyo, - linear na anyo. Kung ang isang parisukat na anyo ay naglalaman lamang ng mga parisukat ng mga variable, ang anyo na ito ay tinatawag na canonical, at ang mga vector ng isang orthonormal na batayan kung saan ang parisukat na anyo ay may isang kanonikal na anyo ay tinatawag na mga pangunahing axes ng parisukat na anyo.
Matrix ay tinatawag na matrix ng quadratic form. Narito ang isang 1 2 = a 2 1. Upang bawasan ang matrix B sa diagonal na anyo, kinakailangang kunin ang eigenvectors ng matrix na ito bilang batayan, pagkatapos , kung saan ang λ 1 at λ 2 ay ang mga eigenvalues ng matrix B.
Sa batayan ng eigenvectors ng matrix B, ang quadratic form ay magkakaroon ng canonical form: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Ang operasyong ito ay tumutugma sa pag-ikot ng mga coordinate axes. Pagkatapos ang pinagmulan ng mga coordinate ay inilipat, sa gayon ay mapupuksa ang linear na hugis.
Ang canonical form ng second-order curve: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, at:
a) kung λ 1 >0; Ang λ 2 >0 ay isang ellipse, lalo na, kapag ang λ 1 =λ 2 ay isang bilog;
b) kung λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) mayroon tayong hyperbole;
c) kung λ 1 =0 o λ 2 =0, kung gayon ang kurba ay isang parabola at pagkatapos paikutin ang mga coordinate axes ito ay may anyo na λ 1 x 2 1 =ax 1 +by 1 +c (dito λ 2 =0). Pagpupuno sa isang kumpletong parisukat, mayroon tayong: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2.

Halimbawa. Ang equation ng curve 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 ay ibinibigay sa coordinate system (0,i,j), kung saan i =(1,0) at j =(0,1) .
1. Tukuyin ang uri ng kurba.
2. Dalhin ang equation sa canonical form at bumuo ng curve sa orihinal na coordinate system.
3. Hanapin ang kaukulang pagbabago ng coordinate.

Solusyon. Dinadala namin ang quadratic form B=3x 2 +10xy+3y 2 sa mga pangunahing axes, iyon ay, sa canonical form. Ang matrix ng quadratic form na ito ay . Nahanap namin ang mga eigenvalues at eigenvectors ng matrix na ito:

Katangiang equation:
; λ 1 =-2, λ 2 =8. Uri ng parisukat na anyo: .
Ang orihinal na equation ay tumutukoy sa isang hyperbola.
Tandaan na ang anyo ng parisukat na anyo ay malabo. Maaari mong isulat ang 8x 1 2 -2y 1 2 , ngunit ang uri ng kurba ay nananatiling pareho - isang hyperbola.
Nahanap namin ang mga pangunahing axes ng quadratic form, iyon ay, ang eigenvectors ng matrix B. .
Eigenvector na katumbas ng numerong λ=-2 sa x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Bilang isang unit eigenvector kinukuha namin ang vector , saan ang haba ng vector x 1 .
Ang mga coordinate ng pangalawang eigenvector na tumutugma sa pangalawang eigenvalue λ=8 ay matatagpuan mula sa system
.
1 ,j 1).
Ayon sa mga formula (5) ng talata 4.3.3. Lumipat tayo sa isang bagong batayan:
o

; . (*)

Ipinasok namin ang mga expression na x at y sa orihinal na equation at, pagkatapos ng mga pagbabagong-anyo, nakuha namin ang:

.
Pagpili ng kumpletong mga parisukat:

.
Nagsasagawa kami ng parallel na pagsasalin ng mga coordinate axes sa isang bagong pinagmulan:

.
Kung ipinakilala natin ang mga ugnayang ito sa (*) at lutasin ang mga pagkakapantay-pantay na ito para sa x 2 at y 2, makukuha natin ang:

. Sa coordinate system (0*, i 1, j 1) ang equation na ito ay may anyo:

.
Upang bumuo ng isang curve, gumawa kami ng bago sa lumang coordinate system: ang x 2 =0 axis ay tinukoy sa lumang coordinate system ng equation x-y-3=0, at ang y 2 =0 axis ng equation x+ y-1=0. Ang pinagmulan ng bagong coordinate system 0 * (2,-1) ay ang intersection point ng mga linyang ito.
Upang gawing simple ang perception, hahatiin natin ang proseso ng pagbuo ng graph sa 2 yugto:
1. Transition sa isang coordinate system na may mga axes x 2 =0, y 2 =0, na tinukoy sa lumang coordinate system ng mga equation na x-y-3=0 at x+y-1=0, ayon sa pagkakabanggit.

2. Pagbubuo ng isang graph ng function sa resultang coordinate system.

Ang huling bersyon ng graph ay ganito ang hitsura (tingnan. Solusyon: I-download ang solusyon

Mag-ehersisyo. Itatag na ang bawat isa sa mga sumusunod na equation ay tumutukoy sa isang ellipse, at hanapin ang mga coordinate ng center C, semi-axis, eccentricity, directrix equation nito. Gumuhit ng isang ellipse sa pagguhit, na nagpapahiwatig ng mga axes ng symmetry, foci at directrixes.
Solusyon.

Kahulugan 10.4.Canonical view quadratic form (10.1) ay tinatawag na sumusunod na anyo: . (10.4)

Ipakita natin na sa batayan ng eigenvectors, ang parisukat na anyo (10.1) ay nasa isang kanonikal na anyo. Hayaan

- na-normalize ang mga eigenvector na tumutugma sa mga eigenvalues λ 1 , λ 2 , λ 3 matrices (10.3) sa isang orthonormal na batayan. Pagkatapos ang transition matrix mula sa lumang batayan patungo sa bago ang magiging matrix

. Sa bagong batayan ang matrix A ay kukuha ng diagonal na anyo (9.7) (sa pamamagitan ng pag-aari ng eigenvectors). Kaya, ang pagbabago ng mga coordinate gamit ang mga formula:

sa bagong batayan ay nakuha natin ang canonical form ng isang quadratic form na may coefficients na katumbas ng eigenvalues λ 1, λ 2, λ 3:

Puna 1. Mula sa isang geometric na punto ng view, ang itinuturing na pagbabagong-anyo ng coordinate ay isang pag-ikot ng sistema ng coordinate, na pinagsasama ang mga lumang coordinate axes sa mga bago.

Puna 2. Kung ang anumang eigenvalues ng matrix (10.3) ay nag-tutugma, maaari tayong magdagdag ng unit vector orthogonal sa bawat isa sa mga ito sa katumbas na orthonormal eigenvectors, at sa gayon ay bumuo ng isang batayan kung saan ang quadratic form ay kumukuha ng canonical form.

Dalhin natin ang quadratic form sa canonical form

x² + 5 y² + z² + 2 xy + 6xz + 2yz.

Ang matrix nito ay may anyo Sa halimbawang tinalakay sa Lecture 9, ang mga eigenvalues at orthonormal eigenvectors ng matrix na ito ay matatagpuan:

Gumawa tayo ng isang transition matrix sa batayan mula sa mga vector na ito:

(Ang pagkakasunud-sunod ng mga vector ay binago upang sila ay bumuo ng isang kanang kamay na triple). Ibahin natin ang mga coordinate gamit ang mga formula:

Kaya, ang quadratic form ay nabawasan sa canonical form na may mga coefficient na katumbas ng eigenvalues ng matrix ng quadratic form.

Lektura 11.

Second order curves. Ellipse, hyperbola at parabola, ang kanilang mga katangian at canonical equation. Pagbabawas ng second order equation sa canonical form.

Kahulugan 11.1.Second order curves sa isang eroplano ay tinatawag na mga linya ng intersection ng isang pabilog na kono na may mga eroplano na hindi dumadaan sa tuktok nito.

Kung ang naturang eroplano ay bumalandra sa lahat ng mga generatrice ng isang lukab ng kono, pagkatapos ay sa seksyon na ito ay lumabas. ellipse, sa intersection ng generatrices ng parehong cavities - hyperbola, at kung ang cutting plane ay parallel sa anumang generator, kung gayon ang seksyon ng cone ay parabola.

Magkomento. Ang lahat ng mga second-order na curve ay tinukoy ng mga second-degree na equation sa dalawang variable.

Ellipse.

Kahulugan 11.2.Ellipse ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming puntos ay F 1 at F mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Magkomento. Kapag nagtutugma ang mga puntos F 1 at F 2 ang ellipse ay nagiging bilog.

Kunin natin ang equation ng ellipse sa pamamagitan ng pagpili ng Cartesian system

y M(x,y) mga coordinate upang ang axis Oh kasabay ng isang tuwid na linya F 1 F 2, simula

r 1 r 2 coordinate – na may gitna ng segment F 1 F 2. Hayaan ang haba nito

ang segment ay katumbas ng 2 Sa, pagkatapos ay sa napiling coordinate system

F 1 O F 2 x F 1 (-c, 0), F 2 (c, 0). Hayaan ang punto M(x, y) ay namamalagi sa ellipse, at

ang kabuuan ng mga distansya mula dito hanggang F 1 at F 2 ay katumbas ng 2 A.

Pagkatapos r 1 + r 2 = 2a, Pero ,

samakatuwid, ipinakilala ang notasyon b² = a²- c² at pagkatapos magsagawa ng mga simpleng pagbabagong algebraic, nakuha namin canonical ellipse equation: (11.1)

Kahulugan 11.3.Eccentricity ng isang ellipse ay tinatawag na magnitude e=s/a (11.2)

Kahulugan 11.4.Headmistress D i ellipse na naaayon sa pokus F i F i may kaugnayan sa axis OU patayo sa axis Oh sa distansya a/e mula sa pinanggalingan.

Magkomento. Sa ibang pagpipilian ng coordinate system, ang ellipse ay maaaring tukuyin hindi sa pamamagitan ng canonical equation (11.1), ngunit sa pamamagitan ng pangalawang degree na equation ng ibang uri.

Mga katangian ng Ellipse:

1) Ang isang ellipse ay may dalawang magkaparehong perpendicular axes ng symmetry (ang pangunahing axes ng ellipse) at isang center ng symmetry (ang gitna ng ellipse). Kung ang isang ellipse ay ibinigay ng isang canonical equation, kung gayon ang mga pangunahing axes nito ay ang mga coordinate axes, at ang sentro nito ay ang pinagmulan. Dahil ang mga haba ng mga segment na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng ellipse na may mga pangunahing axes ay katumbas ng 2 A at 2 b (2a>2b), kung gayon ang pangunahing axis na dumadaan sa foci ay tinatawag na major axis ng ellipse, at ang pangalawang pangunahing axis ay tinatawag na minor axis.

2) Ang buong ellipse ay nakapaloob sa loob ng parihaba

3) Ellipse eccentricity e< 1.

Talaga,

4) Ang mga directrix ng ellipse ay matatagpuan sa labas ng ellipse (dahil ang distansya mula sa gitna ng ellipse hanggang sa directrix ay a/e, A e<1, следовательно, a/e>a, at ang buong ellipse ay nasa isang parihaba)

5) ratio ng distansya r i mula sa ellipse point hanggang focus F i sa malayo d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng ellipse.

Patunay.

Mga distansya mula sa punto M(x, y) hanggang sa foci ng ellipse ay maaaring kinakatawan bilang mga sumusunod:

Gawin natin ang mga directrix equation:

(D 1), (D 2). Pagkatapos Mula rito r i / d i = e, na kung ano ang kailangang patunayan.

Hyperbola.

Kahulugan 11.5.Hyperbole ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa dalawang nakapirming puntos ay F 1 at F 2 ng eroplanong ito, tinawag mga trick, ay isang pare-parehong halaga.

Kunin natin ang canonical equation ng hyperbola sa pamamagitan ng pagkakatulad sa derivation ng equation ng isang ellipse, gamit ang parehong notasyon.

|r 1 - r 2 | = 2a, mula sa kung saan Kung ating tinutukoy b² = c² - a², mula dito maaari kang makakuha

- canonical hyperbola equation. (11.3)

Kahulugan 11.6.Eccentricity ang hyperbola ay tinatawag na dami e = c/a.

Kahulugan 11.7.Headmistress D i hyperbola na naaayon sa pokus F i, ay tinatawag na isang tuwid na linya na matatagpuan sa parehong kalahating eroplano na may F i may kaugnayan sa axis OU patayo sa axis Oh sa distansya a/e mula sa pinanggalingan.

Mga katangian ng hyperbola:

1) Ang hyperbola ay may dalawang axes ng symmetry (ang pangunahing axes ng hyperbola) at isang center ng symmetry (ang sentro ng hyperbola). Sa kasong ito, ang isa sa mga axes na ito ay sumasalubong sa hyperbola sa dalawang punto, na tinatawag na vertices ng hyperbola. Ito ay tinatawag na tunay na axis ng hyperbola (axis Oh para sa canonical na pagpili ng coordinate system). Ang iba pang axis ay walang mga karaniwang punto sa hyperbola at tinatawag itong imaginary axis (sa canonical coordinates - ang axis OU). Sa magkabilang gilid nito ay ang kanan at kaliwang sanga ng hyperbola. Ang foci ng isang hyperbola ay matatagpuan sa totoong axis nito.

2) Ang mga sanga ng hyperbola ay may dalawang asymptotes, na tinutukoy ng mga equation

3) Kasama ng hyperbola (11.3), maaari nating isaalang-alang ang tinatawag na conjugate hyperbola, na tinukoy ng canonical equation

kung saan ang tunay at haka-haka na axis ay ipinagpapalit habang pinapanatili ang parehong mga asymptotes.

4) Eccentricity ng hyperbola e> 1.

5) ratio ng distansya r i mula hyperbola point hanggang focus F i sa malayo d i mula sa puntong ito hanggang sa directrix na naaayon sa focus ay katumbas ng eccentricity ng hyperbola.

Ang patunay ay maaaring isagawa sa parehong paraan tulad ng para sa ellipse.

Parabola.

Kahulugan 11.8.Parabola ay ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang distansya sa ilang nakapirming punto ay F ang eroplanong ito ay katumbas ng distansya sa ilang nakapirming tuwid na linya. Dot F tinawag focus parabola, at ang tuwid na linya ay nito punong guro.

Upang makuha ang parabola equation, pipiliin namin ang Cartesian

coordinate system upang ang pinagmulan nito ay ang gitna

D M(x,y) patayo FD, inalis sa pagtutok sa direktiba

r su, at ang mga coordinate axes ay matatagpuan parallel at

patayo sa direktor. Hayaan ang haba ng segment FD

D O F x ay katumbas ng R. Pagkatapos ay mula sa pagkakapantay-pantay r = d sinusundan iyon

dahil ang

Gamit ang algebraic transformations, ang equation na ito ay maaaring bawasan sa anyo: y² = 2 px, (11.4)

tinawag canonical parabola equation. Magnitude R tinawag parameter mga parabola.

Mga katangian ng isang parabola:

1) Ang isang parabola ay may axis ng symmetry (parabola axis). Ang punto kung saan ang parabola ay nagsalubong sa axis ay tinatawag na vertex ng parabola. Kung ang isang parabola ay ibinigay ng isang canonical equation, kung gayon ang axis nito ay ang axis oh at ang vertex ay ang pinagmulan ng mga coordinate.

2) Ang buong parabola ay matatagpuan sa kanang kalahating eroplano ng eroplano Ooh.

Magkomento. Gamit ang mga katangian ng mga directrix ng isang ellipse at isang hyperbola at ang kahulugan ng isang parabola, maaari nating patunayan ang sumusunod na pahayag:

Ang hanay ng mga punto sa eroplano kung saan ang kaugnayan e ang distansya sa ilang nakapirming punto sa distansya sa ilang tuwid na linya ay isang pare-parehong halaga, ito ay isang ellipse (na may e<1), гиперболу (при e>1) o parabola (na may e=1).

Kaugnay na impormasyon.

Kapag isinasaalang-alang ang Euclidean space, ipinakilala namin ang kahulugan ng isang quadratic form. Gamit ang ilang matrix

isang pangalawang-order na polynomial ng form ay binuo

na tinatawag na quadratic form na nabuo ng isang square matrix A.

Ang mga parisukat na anyo ay malapit na nauugnay sa mga second-order na ibabaw sa n-dimensional na Euclidean space. Ang pangkalahatang equation ng naturang mga ibabaw sa ating three-dimensional na Euclidean space sa Cartesian coordinate system ay may anyo:

Ang tuktok na linya ay walang iba kundi ang parisukat na anyo, kung ilalagay natin ang x 1 =x, x 2 =y, x 3 =z:

- simetriko matrix (a ij = a ji)

Ipagpalagay natin para sa pangkalahatan na ang polynomial

mayroong isang linear na anyo. Pagkatapos ang pangkalahatang equation ng ibabaw ay ang kabuuan ng isang parisukat na anyo, isang linear na anyo at ilang pare-pareho.

Ang pangunahing gawain ng teorya ng mga parisukat na anyo ay upang bawasan ang parisukat na anyo sa pinakasimpleng posibleng anyo gamit ang isang di-degenerate na linear na pagbabago ng mga variable o, sa madaling salita, isang pagbabago ng batayan.

Tandaan natin na kapag pinag-aaralan ang mga second-order na ibabaw, napagpasyahan natin na sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga coordinate axes maaari nating alisin ang mga terminong naglalaman ng produktong xy, xz, yz o x i x j (ij). Dagdag pa, sa pamamagitan ng parallel na pagsasalin ng mga coordinate axes, maaari mong alisin ang mga linear na termino at sa huli ay bawasan ang pangkalahatang surface equation sa anyo:

Sa kaso ng isang parisukat na anyo, binabawasan ito sa anyo

ay tinatawag na pagbabawas ng isang parisukat na anyo sa canonical na anyo.

Ang pag-ikot ng mga coordinate axes ay walang iba kundi ang pagpapalit ng isang batayan sa isa pa, o, sa madaling salita, isang linear na pagbabago.

Isulat natin ang quadratic form sa matrix form. Upang gawin ito, isipin natin ito bilang mga sumusunod:

L(x,y,z) = x(a 11 x+a 12 y+a 13 z)+

Y(a 12 x+a 22 y+a 23 z)+

Z(a 13 x+a 23 y+a 33 z)

Ipakilala natin ang isang matrix - column

Pagkatapos
- kung saanX T =(x,y,z)

Matrix notation ng quadratic form. Ang formula na ito ay malinaw na wasto sa pangkalahatang kaso:

Ang canonical form ng quadratic form ay malinaw naman na nangangahulugan na ang matrix A ay may dayagonal na anyo:

Isaalang-alang natin ang ilang linear transformation X = SY, kung saan ang S ay isang square matrix ng order n, at ang mga matrice - column X at Y ay:

Ang matrix S ay tinatawag na linear transformation matrix. Tandaan natin sa pagpasa na ang anumang matrix ng nth order na may ibinigay na batayan ay tumutugma sa isang tiyak na linear operator.

Pinapalitan ng linear transformation X = SY ang mga variable na x 1, x 2, x 3 ng mga bagong variable na y 1, y 2, y 3. Pagkatapos:

kung saan B = S T A S

Ang gawain ng pagbabawas sa canonical form ay bumaba sa paghahanap ng naturang transition matrix S upang ang matrix B ay magkaroon ng isang diagonal na anyo:

Kaya, quadratic form na may matrix A pagkatapos ng linear transformation ng mga variable ay napupunta sa quadratic form mula sa mga bagong variable na may matrix SA.

Lumiko tayo sa mga linear operator. Ang bawat matrix A para sa isang ibinigay na batayan ay tumutugma sa isang tiyak na linear operator A . Ang operator na ito ay malinaw na may isang tiyak na sistema ng mga eigenvalues at eigenvectors. Bukod dito, tandaan namin na sa Euclidean space ang sistema ng eigenvectors ay magiging orthogonal. Napatunayan namin sa nakaraang lecture na sa eigenvector na batayan ang matrix ng isang linear operator ay may diagonal na anyo. Ang formula (*), tulad ng naaalala natin, ay ang formula para sa pagbabago ng matrix ng isang linear operator kapag binabago ang batayan. Ipagpalagay natin na ang eigenvectors ng linear operator A na may matrix A - ito ang mga vectors y 1, y 2, ..., y n.

At nangangahulugan ito na kung ang eigenvectors y 1, y 2, ..., y n ay kinuha bilang batayan, kung gayon ang matrix ng linear operator sa batayan na ito ay magiging dayagonal

o B = S -1 A S, kung saan ang S ay ang transition matrix mula sa inisyal na batayan ( e) sa batayan ( y). Bukod dito, sa isang orthonormal na batayan, ang matrix S ay magiging orthogonal.

yun. upang mabawasan ang isang parisukat na anyo sa isang kanonikal na anyo, ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga eigenvalues at eigenvectors ng linear operator A, na mayroong sa orihinal na batayan ng matrix A, na bumubuo ng parisukat na anyo, pumunta sa batayan ng eigenvectors at bumuo ng quadratic form sa bagong coordinate system.

Tingnan natin ang mga partikular na halimbawa. Isaalang-alang natin ang mga linya ng pangalawang order.

Sa pamamagitan ng pag-ikot ng mga coordinate axes at kasunod na parallel na pagsasalin ng mga axes, ang equation na ito ay maaaring bawasan sa anyo (mga variable at coefficient ay muling itinalagang x 1 = x, x 2 = y):

1)
kung ang linya ay nasa gitna,  1  0,  2  0

2)
kung ang linya ay hindi sentral, ibig sabihin, isa sa i = 0.

Alalahanin natin ang mga uri ng second-order lines. Mga linya sa gitna:

Off-center na mga linya:

5) x 2 = a 2 dalawang magkatulad na linya;

6) x 2 = 0 dalawang pinagsanib na linya;

7) y 2 = 2px parabola.

Ang mga kaso 1), 2), 7) ay interesado sa atin.

Tingnan natin ang isang partikular na halimbawa.

Dalhin ang equation ng linya sa canonical form at buuin ito:

5x 2 + 4xy + 8y 2 - 32x - 56y + 80 = 0.

Ang matrix ng quadratic form ay
. Katangiang equation:

Ang mga ugat nito:

Hanapin natin ang eigenvectors:

Kapag  1 = 4:
u 1 = -2u 2 ; u 1 = 2c, u 2 = -c o g 1 = c 1 (2 i – j).

Kapag  2 = 9:
2u 1 = u 2 ; u 1 = c, u 2 = 2c o g 2 = c 2 ( i+2j).

Pina-normalize namin ang mga vector na ito:

Gumawa tayo ng linear transformation matrix o isang transition matrix sa batayan g 1, g 2:

- orthogonal matrix!

Ang mga formula ng pagbabagong-anyo ng coordinate ay may anyo:

Ipalit natin ang mga linya sa ating equation at makuha ang:

Gumawa tayo ng parallel na pagsasalin ng mga coordinate axes. Upang gawin ito, piliin ang kumpletong mga parisukat ng x 1 at y 1:

Tukuyin natin
. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo: 4x 2 2 + 9y 2 2 = 36 o

Ito ay isang ellipse na may mga semi-axes 3 at 2. Tukuyin natin ang anggulo ng pag-ikot ng mga coordinate axes at ang shift ng mga ito upang makabuo ng isang ellipse sa lumang sistema.

P matalim:

Suriin: sa x = 0: 8y 2 - 56y + 80 = 0 y 2 – 7y + 10 = 0. Kaya naman y 1,2 = 5; 2

Kapag y = 0: 5x 2 – 32x + 80 = 0 Walang mga ugat dito, ibig sabihin, walang mga punto ng intersection sa axis X!