Definition und Konstruktion senkrechter Linien. Senkrechte Linien und ihre Eigenschaften. Konstruktion einer senkrechten Linie

Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden.
Linie a schneidet Linie b im rechten Winkel am Punkt A. Sie können mit dem senkrechten Symbol schweben: a ⊥ b. Es lautet wie folgt: Linie a steht senkrecht auf Linie b.
Es sei darauf hingewiesen, dass ein angrenzender Winkel und ein vertikaler Winkel mit einem rechten Winkel ebenfalls rechte Winkel sind.

Durch jeden Punkt einer Geraden kann man senkrecht dazu eine Gerade ziehen, und zwar nur eine.

Nachweisen.

Sei b eine gegebene Gerade und Punkt A gehört zu dieser Geraden. Lassen Sie uns einen Strahl b1 auf der Linie b mit dem Startpunkt bei A nehmen. Lassen Sie uns den Winkel (a1b1) gleich 90° von dem Strahl b1 beiseite legen. Per Definition ist die Linie, die Strahl a1 enthält, senkrecht zu Linie b.
Angenommen, es gibt eine andere Linie, die senkrecht zur Linie b verläuft und durch Punkt A geht. Nehmen Sie auf dieser Linie einen Strahl c1, der von Punkt A ausgeht und in derselben Halbebene wie Strahl a1 liegt. Dann ist ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Aber nach Axiom 8 darf in dieser Halbebene nur ein Winkel gleich 90° ausgespart werden. Daher ist es unmöglich, eine weitere Linie senkrecht zur Linie b durch den Punkt A in die gegebene Halbebene zu ziehen. Der Satz ist bewiesen.

Eine Senkrechte zu einer gegebenen Linie ist ein Segment einer Linie, die senkrecht zu einer gegebenen Linie steht und eines ihrer Enden am Schnittpunkt hat. Dieses Ende der Strecke wird Basis der Senkrechten genannt. AB ist die Senkrechte zu Linie a. Punkt A ist die Basis der Senkrechten.

Definition von senkrechten Linien

Senkrechte Linien.

Seien a und b Geraden, die sich im Punkt A schneiden (Abb. 1). Jede dieser Linien wird durch den Punkt A in zwei Halblinien geteilt. Die Halblinien der einen Linie bilden mit den Halblinien der anderen Linie vier Winkel. Sei alpha einer dieser Winkel. Dann wird jede der anderen drei Ecken entweder benachbart zu Alpha oder vertikal zu Alpha sein.

Daraus folgt, dass, wenn einer der Winkel ein rechter Winkel ist, die anderen Winkel auch rechte Winkel sind. In diesem Fall sagen wir, dass sich die Linien rechtwinklig schneiden.
Definition.
Zwei Geraden heißen senkrecht, wenn sie sich im rechten Winkel schneiden (Abb. 2).

Die Rechtwinkligkeit von Linien wird durch das Zeichen ⊥ Aufzeichnen a ⊥ b angezeigt: Linie a ist senkrecht zu Linie b.
Satz.

Durch jeden Punkt einer Geraden kann man senkrecht dazu eine Gerade ziehen, und zwar nur eine.

Nachweisen.
Sei a eine gegebene Gerade und A ein gegebener Punkt darauf. Bezeichne mit Ax eine der Halbgeraden durch die Gerade a mit dem Anfangspunkt A (Abb. 3). Lassen Sie uns den Winkel (a1b1) gleich 90° von der Halblinie a1 beiseite legen.
Dann steht die Linie, die den Strahl b1 enthält, senkrecht auf der Linie a.

Nehmen wir an, es gibt eine weitere Gerade, die durch den Punkt A verläuft und senkrecht zur Geraden a steht. Mit c1 sei die Halblinie dieser Linie bezeichnet, die mit dem Strahl b2 in derselben Halbebene liegt. Die Winkel (a1b1) und (a1c1), jeweils gleich 90°, werden in einer Halbebene von der Halblinie a1 angelegt. In diese Halbebene kann aber nur ein Winkel gleich 90° von der Halblinie a1 gezogen werden. Daher kann es keine andere Linie geben, die durch den Punkt A und senkrecht zur Linie a verläuft. Der Satz ist bewiesen.

Definition.

Eine Senkrechte zu einer gegebenen Geraden ist ein Streckenabschnitt senkrecht zu der gegebenen Geraden, deren eines Ende an ihrem Schnittpunkt liegt. Dieses Ende der Strecke wird Basis der Senkrechten genannt.
In Abbildung 4 wird die Senkrechte AB vom Punkt A zur Linie a gezeichnet. Punkt B ist die Basis der Senkrechten.

Verwenden Sie zum Erstellen einer Senkrechten ein Zeichenquadrat (Abb. 5).

Zwei sich schneidende Geraden heißen senkrecht (oder aufeinander senkrecht), wenn sie vier rechte Winkel bilden. Die Rechtwinkligkeit der Geraden AC und BD wird wie folgt bezeichnet: AC ⊥ BD (es heißt: „Die Gerade AC steht senkrecht auf der Geraden BD“).
Beachten Sie, dass sich zwei Linien senkrecht zur dritten nicht schneiden (Abb. 6a). Betrachten Sie in der Tat die Linien AA1 und BB1 senkrecht zur Linie PQ (Abb. 6b). Lassen Sie uns die Zeichnung gedanklich entlang der geraden Linie PQ falten, sodass der obere Teil der Zeichnung den unteren überlappt. Da die rechten Winkel 1 und 2 gleich sind, überlappt der Strahl RA den Strahl RA1. Ähnlich wird Strahl QB mit Strahl QB1 überlappen. Wenn wir also annehmen, dass sich die Linien AA1 und BB1 im Punkt M schneiden, dann wird dieser Punkt einem Punkt M1 überlagert, der ebenfalls auf diesen Linien liegt (Abb. 6, c), und wir erhalten, dass zwei Linien durch die verlaufen Punkte M und M1: AA1 und BB1. Aber das ist unmöglich. Daher ist unsere Annahme falsch und daher schneiden sich die Linien AA1 und BB1 nicht.

Konstruktion von rechten Winkeln auf dem Boden

Um rechte Winkel auf dem Boden zu bauen, werden spezielle Geräte verwendet, von denen das einfachste der Eker ist. Eker besteht aus zwei im rechten Winkel angeordneten Stangen, die auf einem Stativ montiert sind (Abb. 7). An den Enden der Stäbe werden Nägel so eingeschlagen, dass die durch sie hindurchgehenden geraden Linien senkrecht aufeinander stehen. Um mit einem gegebenen Seiten-OA einen rechten Winkel auf dem Boden zu bilden, installieren Sie ein Stativ mit einem Eker so, dass sich das Lot genau über dem Punkt O befindet und die Richtung einer Stange mit der Richtung des Strahls OA übereinstimmt. Die Kombination dieser Richtungen kann mit Hilfe eines auf dem Balken platzierten Meilensteins erfolgen. Dann hängen sie eine gerade Linie in Richtung eines anderen Balkens (gerade OB in Abbildung 7). Es stellt sich ein rechter Winkel AOB heraus.
In der Geodäsie werden fortgeschrittenere Instrumente wie ein Theodolit verwendet, um rechte Winkel zu konstruieren.

Waagerecht:
3 . Ein Liniensegment, das einen Punkt auf einem Kreis mit seinem Mittelpunkt verbindet. 6 . Eine Aussage, die keiner Beweise bedarf. 9 . Konstruktion, Denksystem. 10 . Eine Art Viereck. 15 . Ein Liniensegment, das zwei Punkte auf einer Kurve verbindet. 16 . Ein Längenmaß. 17 18 . Der Schnittpunkt der Durchmesser eines Kreises. 19 . Trigonometrische Funktion. 20 . Teil eines Kreises. 21 . Uraltes Längenmaß.
Vertikal:
1 . Ein alphabetisches Zeichen. 2 . Art des Parallelogramms. 4 . Eine Sehne, die durch den Mittelpunkt eines Kreises verläuft. 5 . Geometrisches Element. 7 . Ein Strahl, der einen Winkel halbiert. 8 . Symbol des griechischen Alphabets. 10 . Die Summe der Seitenlängen eines Dreiecks. 11 . Hilfssatz für den Beweis. 12 . Rechtwinkliges Dreieckselement. 13 . Eine der wunderbaren Linien des Dreiecks. 14 . Trigonometrische Funktion.

Es gibt eine solche Aufgabe:

Es gab 10 verzauberte Quellen im Zauberwald – Nummern 1, 2, 3, ... 10. Das Wasser jeder Quelle war in Farbe, Geschmack und Geruch nicht von gewöhnlichem Wasser zu unterscheiden, aber es war das stärkste Gift. Derjenige, der es trank, war verloren - wenn er nicht innerhalb einer Stunde danach das Wasser einer Quelle mit einer höheren Nummer trank (z. B. Quellen 4-10, gerettet vor dem Gift der Quelle 3; das Gift der 10 ließ keine Chance auf Erlösung). Die ersten 9 Quellen waren öffentlich zugänglich, aber die 10. Quelle befand sich in der Höhle von Kashchei dem Unsterblichen, und nur Kashchei hatte Zugang dazu.
Und dann forderte Iwan der Narr eines Tages Kashchei zu einem Duell heraus. Die Bedingungen waren einfach: Jeder bringt ein Glas Flüssigkeit mit, die Rivalen tauschen Gläser und trinken ihren Inhalt. Und dann tun sie, was sie können.
Kashchei war zufrieden. Trotzdem: Er wird Ivan Gift Nummer 10 geben, und nichts kann Ivan retten. Und er selbst wird das von Ivan gegebene Gift mit Wasser aus der 10. Quelle trinken - und er wird gerettet.
Versuchen Sie, einen Duellplan für Ivan zu entwickeln. Die Aufgabe besteht darin, am Leben zu bleiben und Kashchei zu erledigen.

Antwort 1. Lassen Sie Kashchei fallen. Er braucht kein Gift, sondern sauberes Wasser. Er wird es mit seinem Gift trinken – und er ist dem Untergang geweiht.
Antwort 2. Lass dich nicht umbringen. Jedes andere Gift als Nummer 1 kann auch ein Gegenmittel sein. Bevor Sie zum Duell kommen, müssen Sie das Gift einer kleinen Anzahl trinken. Und dann wird Gift Nummer 10, das von Kashchei in einem Duell erhalten wurde, nicht töten, sondern retten.

Im Allgemeinen ist die Idee trivial. Es ist nicht immer möglich, eine Handlung isoliert abzuwägen. Dieselbe Aktion kann sowohl ein Gift als auch ein Gegenmittel sein. Vieles hängt vom Hintergrund ab. Ich werde nicht alles sagen, aber sicherlich einiges.
Und wenn Sie hören, dass einer Ihrer Bekannten so und so und so und so abscheuliche Dinge begangen hat, beeilen Sie sich nicht, Etiketten aufzuhängen. Bist du sicher, dass das Quatsch ist? Kann es sein, dass sie einfach so aussehen? Sind Sie sicher, dass Sie die Hintergründe dieser Aktionen kennen?

Konstruktion einer senkrechten Linie

Jetzt werden wir versuchen, mit einem Kompass eine senkrechte Linie zu bauen. Dafür haben wir einen Punkt O und eine Gerade a.

Die erste Abbildung zeigt eine Gerade, auf der der Punkt O liegt, und in der zweiten Abbildung liegt dieser Punkt nicht auf der Geraden a.

Betrachten wir diese beiden Optionen nun separat.

1. Möglichkeit

Zuerst nehmen wir einen Zirkel, legen ihn in die Mitte des Punktes O und zeichnen einen Kreis mit beliebigem Radius. Nun sehen wir, dass der gegebene Kreis die Gerade a an zwei Punkten schneidet. Seien dies die Punkte A und B.

Als nächstes nehmen und zeichnen wir Kreise von den Punkten A und B. Der Radius dieser Kreise ist AB, aber Punkt C ist der Schnittpunkt dieser Kreise. Wenn Sie sich erinnern, bekamen wir ganz am Anfang die Punkte A und B, als wir einen Kreis zeichneten und einen beliebigen Radius nahmen.

Als Ergebnis sehen wir, dass die gewünschte Senkrechte durch die Punkte C und O verläuft.

Nachweisen

Für diesen Beweis müssen wir die Segmente AC und CB zeichnen. Und wir sehen, dass die resultierenden Dreiecke gleich sind: Δ ACO = Δ BCO, dies folgt aus dem dritten Kriterium für die Gleichheit von Dreiecken, das heißt, wir erhalten, dass AO = OB, AC = CB und CO konstruktionsbedingt gemeinsam sind. Die resultierenden Winkel ∠COA und ∠COB sind gleich und haben beide eine Größe von 90°. Daraus folgt, dass die Linie CO senkrecht auf AB steht.

Daraus können wir schließen, dass die Winkel, die am Schnittpunkt zweier Linien gebildet werden, senkrecht sind, wenn mindestens eine von ihnen senkrecht ist, was bedeutet, dass ein solcher Winkel 90 Grad beträgt und recht ist.

2. Möglichkeit

Und jetzt betrachten wir eine Variante der Konstruktion einer senkrechten Linie, bei der der gegebene Punkt nicht auf der Linie a liegt.

In diesem Fall zeichnen wir mit Hilfe eines Zirkels vom Punkt O aus einen Kreis mit einem solchen Radius, dass dieser Kreis die Linie a schneidet. Und die Punkte A und B seien die Schnittpunkte dieses Kreises mit der gegebenen Geraden a.

Außerdem nehmen wir den gleichen Radius, aber wir zeichnen Kreise, deren Mittelpunkt die Punkte A und B sind. Wir schauen auf die Figur und sehen, dass wir einen Punkt O1 haben, der auch der Schnittpunkt der Kreise und Lügen ist in einer Halbebene, aber anders als diejenige, in der sich Punkt O befindet.

Als nächstes ziehen wir eine gerade Linie durch die Punkte O und O1. Dies wird die senkrechte Linie sein, nach der wir gesucht haben.

Nachweisen

Nehmen wir an, der Schnittpunkt der Linien OO1 und AB sei Punkt C. Dann sind die Dreiecke AOB und BO1A gemäß dem dritten Dreiecksgleichheitskriterium gleich und AO = OB = AO1 = O1B, und AB ist konstruktionsbedingt gemeinsam. Daraus folgt, dass die Winkel OAC und O1AC gleich sind. Dreiecke OAC und O1AC, nach dem ersten Zeichen der Gleichheit von Dreiecken, AO gleich AO1, und konstruktionsbedingt sind die Winkel OAC und O1AC gleich mit einem gemeinsamen AC. Daher ist der Winkel OCA gleich dem Winkel O1CA, aber da sie benachbart sind, bedeutet dies, dass sie gerade Linien sind. Daraus schließen wir, dass OC eine Senkrechte ist, die vom Punkt O zur Geraden a fällt.

Nur mit Hilfe eines Zirkels und eines Lineals können Sie also problemlos senkrechte Linien erstellen. Und egal wo der Punkt liegt, durch den die Senkrechte verlaufen soll, auf der Strecke oder außerhalb dieser Strecke, Hauptsache in diesen Fällen ist es wichtig, die Anfangspunkte A und B richtig zu finden und zu bezeichnen.

Fragen:

1. Welche Geraden nennt man senkrecht?
2. Wie groß ist der Winkel zwischen den senkrechten Linien?
3. Womit zeichnest du senkrechte Linien?

Anaz. senkrecht aufeinander stehen, wenn l senkrecht zu jeder Geraden steht, die auf a liegt. Für eine Verallgemeinerung des Begriffs der Rechtwinkligkeit siehe Art. Orthogonalität.

Mathematische Enzyklopädie. - M.: Sowjetische Enzyklopädie. I. M. Winogradov. 1977-1985.

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Vorabinformationen zu direkt

Der Begriff einer Linie sowie der Begriff eines Punktes sind die Grundbegriffe der Geometrie. Wie Sie wissen, sind die grundlegenden Konzepte nicht definiert. Dies ist keine Ausnahme vom Konzept einer geraden Linie. Betrachten wir daher die Essenz dieses Konzepts durch seine Konstruktion.

Nehmen Sie ein Lineal und zeichnen Sie, ohne den Bleistift anzuheben, eine Linie beliebiger Länge. Wir nennen die resultierende Linie eine gerade Linie. Allerdings ist hier zu beachten, dass dies nicht die gesamte Linie ist, sondern nur ein Teil davon. Die Linie selbst ist an beiden Enden unendlich.

Gerade Linien werden durch einen kleinen lateinischen Buchstaben oder durch seine zwei Punkte in Klammern gekennzeichnet (Abb. 1).

Die Konzepte einer Linie und eines Punktes sind durch drei Axiome der Geometrie verbunden:

Axiom 1: Auf jeder beliebigen Geraden liegen mindestens zwei Punkte.

Axiom 2: Es ist möglich, mindestens drei Punkte zu finden, die nicht auf derselben Linie liegen.

Axiom 3: Eine Gerade verläuft immer durch 2 beliebige Punkte, und diese Gerade ist eindeutig.

Bei zwei Geraden ist deren relative Position relevant. Drei Fälle sind möglich:

1. Die beiden Linien sind gleich. In diesem Fall ist jeder Punkt der einen Linie auch ein Punkt der anderen Linie.
2. Zwei Linien schneiden sich. In diesem Fall gehört nur ein Punkt einer Linie auch zur anderen Linie.
3. Zwei Geraden sind parallel. In diesem Fall hat jede dieser Linien ihren eigenen Satz von Punkten, die sich voneinander unterscheiden.

Rechtwinkligkeit der Linien

Betrachten Sie zwei beliebige Schnittlinien. Offensichtlich werden an ihrem Schnittpunkt 4 Ecken gebildet. Dann

Bestimmung 1

Sich schneidende Linien werden senkrecht genannt, wenn mindestens ein Winkel, der durch ihren Schnittpunkt gebildet wird, gleich $90^0$ ist (Abb. 2).

Schreibweise: $a⊥b$.

Betrachten Sie das folgende Problem:

Beispiel 1

Finden Sie die Winkel 1, 2 und 3 aus der Abbildung unten

Winkel 2 ist also vertikal für den uns gegebenen Winkel

Winkel 1 grenzt also an Winkel 2

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Ecke 3 ist also senkrecht zu Ecke 1

$∠3=∠1=90^0$

Zu diesem Problem können wir folgende Bemerkung machen

Bemerkung 1

Alle Winkel zwischen senkrechten Linien sind $90^0$.

Fundamentalsatz der senkrechten Geraden

Wir führen den folgenden Satz ein:

Satz 1

Zwei Linien, die senkrecht zur dritten sind, schneiden sich nicht.

Nachweisen.

Betrachten Sie Abbildung 3 entsprechend der Bedingung des Problems.

Lassen Sie uns diese Figur gedanklich in zwei Teile der geraden Linie $(ZP)$ teilen. Lassen Sie uns die rechte Seite auf die linke legen. Da die Geraden $(NM)$ und $(XY)$ senkrecht auf der Geraden $(PZ)$ stehen und folglich die Winkel zwischen ihnen richtig sind, überlagert sich der Strahl $NP$ vollständig mit dem Strahl $ PM$, und der Strahl $XZ$ wird dem Strahl $YZ$ vollständig überlagert.

Nehmen wir nun das Gegenteil an: Lassen Sie diese Linien sich schneiden. Nehmen Sie ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass sie sich auf der linken Seite schneiden, dh der Strahl $NP$ schneide den Strahl $YZ$ im Punkt $O$. Dann bekommen wir durch die oben beschriebene Konstruktion, dass der Strahl $PM$ auch den Strahl $YZ$ im Punkt $O"$ schneidet. Aber das bekommen wir dann durch die beiden Punkte $O$ und $O"$, es gibt zwei Linien $(NM)$ und $(XY)$, was dem Axiom von 3 Linien widerspricht.

Daher schneiden sich die Linien $(NM)$ und $(XY)$ nicht.

Der Satz ist bewiesen.

Aufgabenbeispiel

Beispiel 2

Gegeben seien zwei Geraden, die einen Schnittpunkt haben. Durch einen Punkt, der zu keiner von ihnen gehört, werden zwei Geraden gezogen, von denen die eine senkrecht zu einer der oben beschriebenen Linien steht und die andere senkrecht zur anderen. Beweisen Sie, dass sie nicht übereinstimmen.

Lassen Sie uns ein Bild entsprechend dem Zustand des Problems zeichnen (Abb. 4).

Aus der Bedingung des Problems ergibt sich $m⊥k,n⊥l$.

Nehmen Sie das Gegenteil an, lassen Sie die Linien $k$ und $l$ zusammenfallen. Sei dies die Gerade $l$. Dann, je nach Bedingung, $m⊥l$ und $n⊥l$. Daher schneiden sich nach Satz 1 die Geraden $m$ und $n$ nicht. Wir haben einen Widerspruch erhalten, was bedeutet, dass die Linien $k$ und $l$ nicht zusammenfallen.

Rechtwinkligkeit ist die Beziehung zwischen verschiedenen Objekten im euklidischen Raum – Linien, Ebenen, Vektoren, Unterräume und so weiter. In diesem Material werden wir senkrechte Linien und die damit verbundenen charakteristischen Merkmale genauer betrachten. Zwei Linien können als senkrecht (oder zueinander senkrecht) bezeichnet werden, wenn alle vier Winkel, die durch ihren Schnittpunkt gebildet werden, genau neunzig Grad betragen.

Es gibt bestimmte Eigenschaften von senkrechten Linien, die auf einer Ebene realisiert werden:

Konstruktion senkrechter Linien

Senkrechte Linien werden mit Hilfe eines Quadrats auf einer Ebene aufgebaut. Jeder Zeichner sollte bedenken, dass ein wichtiges Merkmal jedes Quadrats ist, dass es notwendigerweise einen rechten Winkel hat. Um zwei rechtwinklige Linien zu erstellen, müssen wir eine der beiden Seiten des rechten Winkels unserer anpassen

Zeichnen Sie ein Quadrat mit einer gegebenen geraden Linie und zeichnen Sie eine zweite gerade Linie entlang der zweiten Seite dieses rechten Winkels. Dadurch entstehen zwei senkrechte Linien.

dreidimensionaler Raum

Eine interessante Tatsache ist, dass senkrechte Linien realisiert werden können, und in diesem Fall werden zwei Linien als solche bezeichnet, wenn sie parallel zu zwei beliebigen anderen Linien sind, die in derselben Ebene liegen, und auch senkrecht darauf. Wenn außerdem nur zwei Geraden senkrecht auf einer Ebene stehen können, dann gibt es im dreidimensionalen Raum bereits drei. Darüber hinaus kann die Anzahl senkrechter Linien (oder Ebenen) weiter erhöht werden.