Paano matututong lutasin ang mga problema sa analytical geometry?
Karaniwang problema sa isang tatsulok sa isang eroplano

Ang araling ito ay nilikha sa paglapit sa ekwador sa pagitan ng geometry ng eroplano at ng geometry ng espasyo. Sa ngayon, kailangang i-systematize ang naipon na impormasyon at sagutin ang isang napakahalagang tanong: paano matututong lutasin ang mga problema sa analytical geometry? Ang kahirapan ay maaari kang makabuo ng isang walang katapusang bilang ng mga problema sa geometry, at walang aklat-aralin ang maglalaman ng lahat ng marami at iba't ibang mga halimbawa. Ay hindi derivative ng isang function na may limang panuntunan ng pagkita ng kaibhan, isang talahanayan at ilang mga diskarte….

May solusyon! Hindi ako magsasalita nang malakas tungkol sa katotohanan na nakabuo ako ng ilang uri ng maringal na pamamaraan, gayunpaman, sa palagay ko, mayroong isang epektibong diskarte sa problemang isinasaalang-alang, na nagpapahintulot sa kahit na isang kumpletong dummy na makamit ang mabuti at mahusay na mga resulta. Hindi bababa sa, ang pangkalahatang algorithm para sa paglutas ng mga geometric na problema ay nagkaroon ng hugis nang napakalinaw sa aking ulo.

ANG KAILANGAN MONG MALAMAN AT KAKAYANG GAWIN
para sa matagumpay na paglutas ng mga problema sa geometry?

Walang pagtakas mula dito - upang hindi random na sundutin ang mga pindutan gamit ang iyong ilong, kailangan mong makabisado ang mga pangunahing kaalaman ng analytical geometry. Samakatuwid, kung nagsimula ka pa lamang sa pag-aaral ng geometry o ganap na nakalimutan ito, mangyaring magsimula sa aralin Mga vector para sa mga dummies. Bilang karagdagan sa mga vectors at mga aksyon sa kanila, kailangan mong malaman ang mga pangunahing konsepto ng geometry ng eroplano, sa partikular, equation ng isang linya sa isang eroplano At . Ang geometry ng espasyo ay ipinakita sa mga artikulo Equation ng eroplano, Mga equation ng isang linya sa espasyo, Mga pangunahing problema sa isang tuwid na linya at isang eroplano at ilang iba pang mga aralin. Ang mga hubog na linya at spatial na ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod ay medyo magkahiwalay, at walang napakaraming partikular na problema sa kanila.

Ipagpalagay natin na ang mag-aaral ay mayroon nang pangunahing kaalaman at kasanayan sa paglutas ng mga pinakasimpleng problema ng analytical geometry. Ngunit ganito ang nangyayari: binasa mo ang pahayag ng problema, at... gusto mong isara ang kabuuan, itapon ito sa malayong sulok at kalimutan ito, tulad ng isang masamang panaginip. Bukod dito, ito sa panimula ay hindi nakasalalay sa antas ng iyong mga kwalipikasyon; paminsan-minsan, ako mismo ay nakakatagpo ng mga gawain kung saan ang solusyon ay hindi halata. Ano ang gagawin sa mga ganitong kaso? Hindi mo kailangang matakot sa isang gawain na hindi mo naiintindihan!

Una, dapat na mai-install - Ito ba ay isang "flat" o spatial na problema? Halimbawa, kung ang kundisyon ay may kasamang mga vector na may dalawang coordinate, kung gayon, siyempre, ito ang geometry ng isang eroplano. At kung na-load ng guro ang nagpapasalamat na tagapakinig ng isang pyramid, kung gayon ay malinaw na mayroong geometry ng espasyo. Ang mga resulta ng unang hakbang ay medyo maganda, dahil nagawa naming putulin ang isang malaking halaga ng impormasyon na hindi kailangan para sa gawaing ito!

Pangalawa. Ang kundisyon ay karaniwang nag-aalala sa iyo sa ilang geometric na pigura. Sa katunayan, maglakad sa mga koridor ng iyong katutubong unibersidad, at makakakita ka ng maraming nag-aalalang mukha.

Sa "flat" na mga problema, hindi sa banggitin ang mga halatang punto at linya, ang pinakasikat na pigura ay isang tatsulok. Susuriin namin ito nang detalyado. Susunod ay ang paralelogram, at hindi gaanong karaniwan ay ang parihaba, parisukat, rhombus, bilog, at iba pang mga hugis.

Sa mga problema sa spatial, maaaring lumipad ang parehong mga flat figure + ang mga eroplano mismo at ang mga karaniwang triangular na pyramids na may parallelepiped.

Ikalawang tanong - Alam mo ba ang lahat tungkol sa figure na ito? Ipagpalagay na ang kundisyon ay nagsasalita tungkol sa isang isosceles triangle, at malabo mong matandaan kung anong uri ng tatsulok ito. Binuksan namin ang isang aklat-aralin sa paaralan at nagbasa tungkol sa isang isosceles triangle. Anong gagawin... sabi ng doctor rhombus, ibig sabihin rhombus. Analytical geometry ay analytical geometry, ngunit ang problema ay malulutas sa pamamagitan ng mga geometric na katangian ng mga figure mismo, na kilala sa amin mula sa kurikulum ng paaralan. Kung hindi mo alam kung ano ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok, maaari kang magdusa nang mahabang panahon.

Pangatlo. LAGING subukang sundin ang pagguhit(sa draft/finish copy/mentally), kahit na hindi ito kinakailangan ng kondisyon. Sa "flat" na mga problema, si Euclid mismo ay nag-utos na pumili ng isang pinuno at isang lapis - at hindi lamang upang maunawaan ang kondisyon, kundi pati na rin para sa layunin ng pagsubok sa sarili. Sa kasong ito, ang pinaka-maginhawang sukat ay 1 unit = 1 cm (2 notebook cell). Huwag nating pag-usapan ang mga walang ingat na estudyante at mathematician na umiikot sa kanilang mga libingan - halos imposibleng magkamali sa mga ganitong problema. Para sa mga spatial na gawain, nagsasagawa kami ng isang pagguhit ng eskematiko, na makakatulong din sa pag-aralan ang kondisyon.

Ang pagguhit o pagguhit ng eskematiko ay madalas na nagbibigay-daan sa iyo na makita kaagad ang paraan upang malutas ang isang problema. Siyempre, para dito kailangan mong malaman ang pundasyon ng geometry at maunawaan ang mga katangian ng mga geometric na hugis (tingnan ang nakaraang talata).

Pang-apat. Pag-unlad ng isang algorithm ng solusyon. Maraming mga problema sa geometry ang multi-step, kaya ang solusyon at ang disenyo nito ay napaka-maginhawa upang masira sa mga punto. Kadalasan ang algorithm ay agad na naiisip pagkatapos mong basahin ang kundisyon o kumpletuhin ang pagguhit. Sa kaso ng kahirapan, nagsisimula tayo sa TANONG ng gawain. Halimbawa, ayon sa kondisyon na "kailangan mong bumuo ng isang tuwid na linya...". Narito ang pinaka-lohikal na tanong ay: "Ano ang sapat na malaman upang mabuo ang tuwid na linyang ito?" Kumbaga, "alam natin ang punto, kailangan nating malaman ang vector ng direksyon." Tinatanong namin ang sumusunod na tanong: "Paano mahahanap ang vector ng direksyon na ito? saan?" atbp.

Minsan mayroong isang "bug" - ang problema ay hindi nalutas at iyon na. Ang mga dahilan para sa paghinto ay maaaring ang mga sumusunod:

– Malubhang agwat sa pangunahing kaalaman. Sa madaling salita, hindi mo alam at/o hindi mo nakikita ang ilang napakasimpleng bagay.

– Kamangmangan sa mga katangian ng mga geometric na figure.

- Ang gawain ay mahirap. Oo, nangyayari ito. Walang kwenta ang pagpapasingaw ng maraming oras at pagkolekta ng luha sa isang panyo. Humingi ng payo mula sa iyong guro, kapwa mag-aaral, o magtanong sa forum. Bukod dito, mas mabuting gawing kongkreto ang pahayag nito - tungkol sa bahaging iyon ng solusyon na hindi mo naiintindihan. Isang sigaw sa anyo ng "Paano lutasin ang problema?" mukhang hindi masyadong maganda... at, higit sa lahat, para sa iyong sariling reputasyon.

Stage five. Kami ay nagpapasya-suri, magpasya-suri, magpasya-suri-magbigay ng sagot. Ito ay kapaki-pakinabang upang suriin ang bawat punto ng gawain kaagad pagkatapos itong makumpleto. Makakatulong ito sa iyong makita kaagad ang error. Naturally, walang sinuman ang nagbabawal sa mabilis na paglutas ng buong problema, ngunit may panganib na muling isulat ang lahat muli (madalas ilang mga pahina).

Ito ay, marahil, ang lahat ng mga pangunahing pagsasaalang-alang na dapat sundin sa paglutas ng mga problema.

Ang praktikal na bahagi ng aralin ay ipinakita sa geometry ng eroplano. Magkakaroon lamang ng dalawang halimbawa, ngunit mukhang hindi sapat =)

Pumunta tayo sa thread ng algorithm na tiningnan ko lang sa aking maliit na gawaing pang-agham:

Halimbawa 1

Tatlong vertices ng isang paralelogram ang ibinibigay. Hanapin ang tuktok.

Simulan nating maunawaan:

Unang hakbang: Malinaw na pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang "flat" na problema.

Ikalawang hakbang: Ang problema ay tumatalakay sa isang paralelogram. Naaalala ba ng lahat ang parallelogram figure na ito? Hindi na kailangang ngumiti, maraming mga tao ang nakakatanggap ng kanilang edukasyon sa 30-40-50 o higit pang mga taong gulang, kaya kahit na ang mga simpleng katotohanan ay maaaring mabura sa memorya. Ang kahulugan ng paralelogram ay matatagpuan sa Halimbawa Blg. 3 ng aralin Linear (hindi) dependence ng mga vectors. Batayan ng mga vector.

Ikatlong hakbang: Gumawa tayo ng guhit kung saan minarkahan natin ang tatlong kilalang vertice. Nakakatuwa na hindi mahirap agad na buuin ang nais na punto:

Ang pagtatayo nito ay, siyempre, mabuti, ngunit ang solusyon ay dapat na formulated analytically.

Ikaapat na hakbang: Pagbuo ng isang algorithm ng solusyon. Ang unang bagay na nasa isip ay ang isang punto ay matatagpuan bilang intersection ng mga linya. Hindi namin alam ang kanilang mga equation, kaya kailangan naming harapin ang isyung ito:

1) Ang magkabilang panig ay magkatulad. Sa pamamagitan ng mga puntos Hanapin natin ang vector ng direksyon ng mga panig na ito. Ito ang pinakasimpleng problema na tinalakay sa klase. Mga vector para sa mga dummies.

Tandaan: mas tamang sabihin na "ang equation ng isang linya na naglalaman ng isang gilid," ngunit dito at higit pa para sa ikli ay gagamitin ko ang mga pariralang "equation ng isang gilid," "direction vector ng isang side," atbp.

3) Ang magkabilang panig ay magkatulad. Gamit ang mga punto, nakita namin ang vector ng direksyon ng mga panig na ito.

4) Gumawa tayo ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon

Sa mga talata 1-2 at 3-4, aktwal na nalutas namin ang parehong problema nang dalawang beses, sa pamamagitan ng paraan, tinalakay ito sa halimbawa Blg. 3 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Posibleng kumuha ng mas mahabang ruta - hanapin muna ang mga equation ng mga linya at pagkatapos ay "bunutin" ang mga vector ng direksyon mula sa kanila.

5) Ngayon ang mga equation ng mga linya ay kilala. Ang natitira na lang ay buuin at lutasin ang kaukulang sistema ng mga linear na equation (tingnan ang mga halimbawa Blg. 4, 5 ng parehong aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano).

Nahanap na ang punto.

Ang gawain ay medyo simple at ang solusyon nito ay halata, ngunit mayroong isang mas maikling paraan!

Pangalawang solusyon:

Ang mga diagonal ng isang paralelogram ay hinahati ng kanilang punto ng intersection. Minarkahan ko ang punto, ngunit upang hindi makalat ang pagguhit, hindi ko iginuhit ang mga diagonal mismo.

Buuin natin ang equation ng side point by point :

Upang suriin, dapat mong palitan sa isip o sa isang draft ang mga coordinate ng bawat punto sa resultang equation. Ngayon hanapin natin ang slope. Upang gawin ito, muling isulat namin ang pangkalahatang equation sa anyo ng isang equation na may isang slope coefficient:

Kaya, ang slope ay:

Katulad nito, nakikita natin ang mga equation ng mga panig. Wala akong nakikitang punto sa paglalarawan ng parehong bagay, kaya agad kong ibibigay ang natapos na resulta:

2) Hanapin ang haba ng gilid. Ito ang pinakasimpleng problema na sakop sa klase. Mga vector para sa mga dummies. Para sa mga puntos ginagamit namin ang formula:

Gamit ang parehong formula, madaling mahanap ang haba ng iba pang panig. Ang pagsusuri ay maaaring gawin nang napakabilis sa isang regular na pinuno.

Ginagamit namin ang formula .

Hanapin natin ang mga vectors:

kaya:

Sa pamamagitan ng paraan, sa daan ay natagpuan namin ang mga haba ng mga gilid.

Ang resulta:

Buweno, tila totoo; upang maging kapani-paniwala, maaari kang mag-attach ng isang protractor sa sulok.

Pansin! Huwag malito ang anggulo ng isang tatsulok sa anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya. Ang anggulo ng isang tatsulok ay maaaring mapurol, ngunit ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay hindi (tingnan ang huling talata ng artikulo Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano). Gayunpaman, upang mahanap ang anggulo ng isang tatsulok, maaari mo ring gamitin ang mga formula mula sa aralin sa itaas, ngunit ang kagaspangan ay ang mga formula na iyon ay palaging nagbibigay ng isang matinding anggulo. Sa tulong nila, nalutas ko ang problemang ito sa draft at nakuha ko ang resulta. At sa huling kopya ay kailangan kong isulat ang mga karagdagang dahilan, na .

4) Sumulat ng isang equation para sa isang linya na dumadaan sa isang punto na kahanay ng linya.

Pamantayang gawain, tinalakay nang detalyado sa halimbawa Blg. 2 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Mula sa pangkalahatang equation ng linya Kunin natin ang vector ng gabay. Gumawa tayo ng isang equation ng isang tuwid na linya gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Paano mahahanap ang taas ng isang tatsulok?

5) Gumawa tayo ng equation para sa taas at hanapin ang haba nito.

Walang pagtakas mula sa mahigpit na mga kahulugan, kaya kailangan mong magnakaw mula sa isang aklat-aralin sa paaralan:

Tatsulok na taas ay tinatawag na patayo na iginuhit mula sa tuktok ng tatsulok hanggang sa linya na naglalaman ng kabaligtaran na bahagi.

Iyon ay, ito ay kinakailangan upang lumikha ng isang equation para sa isang patayo na iginuhit mula sa vertex sa gilid. Ang gawaing ito ay tinalakay sa mga halimbawa Blg. 6, 7 ng aralin Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Mula sa Eq. alisin ang normal na vector. Buuin natin ang equation ng taas gamit ang isang punto at isang vector ng direksyon:

Pakitandaan na hindi namin alam ang mga coordinate ng punto.

Minsan ang height equation ay matatagpuan mula sa ratio ng angular coefficients ng perpendicular lines: . Sa kasong ito, kung gayon: . Buuin natin ang equation ng taas gamit ang isang punto at isang angular coefficient (tingnan ang simula ng aralin Equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano):

Ang haba ng taas ay matatagpuan sa dalawang paraan.

Mayroong isang roundabout na paraan:

a) hanapin - ang punto ng intersection ng taas at gilid;
b) hanapin ang haba ng segment gamit ang dalawang kilalang puntos.

Pero sa klase Ang pinakasimpleng problema sa isang tuwid na linya sa isang eroplano isang maginhawang formula para sa distansya mula sa isang punto hanggang sa isang linya ay isinasaalang-alang. Ang punto ay kilala: , ang equation ng linya ay kilala rin: , Kaya:

6) Kalkulahin ang lugar ng tatsulok. Sa espasyo, ang lugar ng isang tatsulok ay tradisyonal na kinakalkula gamit produkto ng vector ng mga vector, ngunit dito binibigyan tayo ng isang tatsulok sa isang eroplano. Ginagamit namin ang formula ng paaralan:
– Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng base at taas nito.

Sa kasong ito:

Paano mahanap ang median ng isang tatsulok?

7) Gumawa tayo ng equation para sa median.

Median ng isang tatsulok tinatawag na segment na nag-uugnay sa vertex ng isang tatsulok na may gitna ng kabaligtaran.

a) Hanapin ang punto - ang gitna ng gilid. Ginagamit namin mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng isang segment. Ang mga coordinate ng mga dulo ng segment ay kilala: , pagkatapos ay ang mga coordinate ng gitna:

kaya:

Buuin natin ang median equation point by point :

Upang suriin ang equation, kailangan mong palitan ang mga coordinate ng mga puntos dito.

8) Hanapin ang punto ng intersection ng taas at median. Sa palagay ko natutunan na ng lahat kung paano gawin ang elementong ito ng figure skating nang hindi nahuhulog:

Mag-ehersisyo. Ang mga puntong A (2,1), B (1,-2), C (-1,0) ay ang mga vertice ng tatsulok na ABC.
a) Hanapin ang mga equation ng mga gilid ng tatsulok na ABC.
b) Hanapin ang equation ng isa sa mga median ng triangle ABC.
c) Hanapin ang equation ng isa sa mga altitude ng triangle ABC.
d) Hanapin ang equation ng isa sa mga bisector ng triangle ABC.
e) Hanapin ang lugar ng tatsulok na ABC.

Solusyon Ginagawa namin ito gamit ang isang calculator.
Ang mga coordinate ng tatsulok ay ibinigay: A(2,1), B(1,-2), C(-1,0).
1) Vector coordinate
Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vector gamit ang formula:
X = x j - x i ; Y = y j - y i

Halimbawa, para sa vector AB

X = 1-2 = -1; Y = -2-1 = -3
AB(-1;-3)
AC(-3;-1)
BC(-2;2)
2) Mga module ng vector

3) Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Ang anggulo sa pagitan ng mga vectors a 1 (X 1 ;Y 1), a 2 (X 2 ;Y 2) ay matatagpuan gamit ang formula:

kung saan ang a 1 a 2 = X 1 X 2 + Y 1 Y 2
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng panig AB at AC

γ = arccos(0.6) = 53.13 0
4) Vector projection
Vector projection b sa vector a ay matatagpuan gamit ang formula:

Hanapin natin ang projection ng vector AB sa vector AC

5) Lugar ng tatsulok



Solusyon


Gamit ang formula na nakukuha natin:

6) Dibisyon ng isang segment sa kaugnayang ito
Ang radius vector r ng point A, na naghahati sa segment AB sa ratio AA:AB = m 1:m 2, ay tinutukoy ng formula:

Ang mga coordinate ng point A ay matatagpuan gamit ang mga formula:




Equation ng median ng isang tatsulok
Ipahiwatig natin ang gitna ng gilid BC sa pamamagitan ng titik M. Pagkatapos ay makikita natin ang mga coordinate ng punto M gamit ang mga formula para sa paghahati ng isang segment sa kalahati.


M(0;-1)
Nahanap namin ang equation ng median AM gamit ang formula para sa equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos. Ang median AM ay dumadaan sa mga punto A(2;1) at M(0;-1), samakatuwid:

o

o
y = x -1 o y -x +1 = 0
7) Equation ng isang linya


Equation ng linya AB

o

o
y = 3x -5 o y -3x +5 = 0
Equation ng linyang AC

o

o
y = 1 / 3 x + 1 / 3 o 3y -x - 1 = 0
Equation ng linya BC

o

o
y = -x -1 o y + x +1 = 0
8) Haba ng altitude ng tatsulok na iginuhit mula sa vertex A
Ang distansya d mula sa puntong M 1 (x 1 ;y 1) hanggang sa tuwid na linyang Ax + By + C = 0 ay katumbas ng ganap na halaga ng dami:

Hanapin ang distansya sa pagitan ng punto A(2;1) at linya BC (y + x +1 = 0)

9) Equation ng taas hanggang sa vertex C
Ang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 0 (x 0 ;y 0) at patayo sa tuwid na linya Ax + By + C = 0 ay may vector ng direksyon (A;B) at, samakatuwid, ay kinakatawan ng mga equation:


Ang equation na ito ay matatagpuan sa ibang paraan. Upang gawin ito, hanapin natin ang slope k 1 ng tuwid na linya AB.
AB equation: y = 3x -5, i.e. k 1 = 3
Hanapin natin ang angular coefficient k ng perpendicular mula sa kondisyon ng perpendicularity ng dalawang tuwid na linya: k 1 *k = -1.
Ang pagpapalit ng slope ng linyang ito sa halip na k 1, nakukuha natin:
3k = -1, kung saan k = -1 / 3
Dahil ang patayo ay dumadaan sa puntong C(-1,0) at may k = -1 / 3, hahanapin natin ang equation nito sa anyo: y-y 0 = k(x-x 0).
Ang pagpapalit ng x 0 = -1, k = -1 / 3, y 0 = 0 ay nakukuha natin:
y-0 = -1 / 3 (x-(-1))
o
y = -1/3 x - 1/3
Triangle bisector equation
Hanapin natin ang bisector ng anggulo A. Ipahiwatig natin ang punto ng intersection ng bisector na may gilid na BC bilang M.
Gamitin natin ang formula:

AB equation: y -3x +5 = 0, AC equation: 3y -x - 1 = 0

^A ≈ 53 0
Hinahati ng bisector ang anggulo sa kalahati, samakatuwid ang anggulo NAK ≈ 26.5 0
Ang slope ng AB ay katumbas ng 3 (dahil y -3x +5 = 0). Ang anggulo ng pagkahilig ay 72
^NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ANK ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
tg(45.5 0) = 1
Ang bisector ay dumadaan sa puntong A(2,1), gamit ang formula, mayroon tayong:
y - y 0 = k(x - x 0)
y - 1 = 1(x - 2)
o
y=x-1
I-download

Halimbawa. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
Kinakailangan: 1) kalkulahin ang haba ng gilid ng sasakyang panghimpapawid; 2) lumikha ng isang equation para sa side BC; 3) hanapin ang panloob na anggulo ng tatsulok sa vertex B; 4) bumuo ng isang equation para sa taas AK na iginuhit mula sa vertex A; 5) hanapin ang mga coordinate ng sentro ng grabidad ng isang homogenous na tatsulok (ang mga intersection point ng mga median nito); 6) gumawa ng drawing sa isang coordinate system.

Mag-ehersisyo. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(7;4), B(-9;-8), C(-2;16). Kailangan:

1. sumulat ng equation para sa median na iginuhit mula sa vertex B at kalkulahin ang haba nito.
2. sumulat ng equation para sa taas na iginuhit mula sa vertex A at kalkulahin ang haba nito.
3. hanapin ang cosine ng interior angle B ng triangle ABC.

Gumawa ng drawing.

I-download ang solusyon

Halimbawa Blg. 3. Ibinigay ang vertices A(1;1), B(7;4), C(4;5) ng isang tatsulok. Hanapin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) panloob na anggulo A sa radians na may katumpakan na 0.001. Gumawa ng drawing.
I-download

Halimbawa Blg. 4. Ibinigay ang vertices A(1;1), B(7;4), C(4;5) ng isang tatsulok. Hanapin: 1) ang equation ng taas na iginuhit sa pamamagitan ng vertex C; 2) ang equation ng median na iginuhit sa vertex C; 3) ang punto ng intersection ng mga altitude ng tatsulok; 4) ang haba ng taas na ibinaba mula sa vertex C. Gumawa ng guhit.
I-download

Halimbawa Blg. 5. Ibinigay ang vertices ng triangle ABC: A(-5;0), B(7;-9), C(11;13). Tukuyin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) equation ng mga panig AB at AC at ang kanilang mga angular coefficients; 3) lugar ng tatsulok.

Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vector gamit ang formula: X = x j - x i ; Y = y j - y i
dito X,Y coordinate ng vector; x i, y i - mga coordinate ng point A i; x j, y j - mga coordinate ng point A j
Halimbawa, para sa vector AB
X = x 2 - x 1 ; Y = y 2 - y 1
X = 7-(-5) = 12; Y = -9-0 = -9
AB(12;-9), AC(16;13), BC(4;22).

Haba ng mga gilid ng tatsulok
Ang haba ng vector a(X;Y) ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga coordinate nito sa pamamagitan ng formula:


Lugar ng isang tatsulok
Hayaang ang mga puntong A 1 (x 1 ; y 1), A 2 (x 2 ; y 2), A 3 (x 3 ; y 3) ay ang mga vertice ng tatsulok, pagkatapos ang lugar nito ay ipinahayag ng formula:

Sa kanang bahagi ay mayroong second-order determinant. Ang lugar ng isang tatsulok ay palaging positibo.
Solusyon. Ang pagkuha ng A bilang unang vertex, makikita natin ang:

Gamit ang formula na nakukuha natin:

Equation ng isang linya
Ang isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntong A 1 (x 1 ; y 1) at A 2 (x 2 ; y 2) ay kinakatawan ng mga equation:

Equation ng linya AB
Canonical equation ng linya:

o

o
y = -3 / 4 x -15 / 4 o 4y + 3x +15 = 0
Ang slope ng tuwid na linya AB ay katumbas ng k = -3 / 4
Equation ng linyang AC

o

o
y = 13 / 16 x + 65 / 16 o 16y -13x - 65 = 0
Ang slope ng tuwid na linya AB ay katumbas ng k = 13 / 16

Mag-ehersisyo. Ang mga coordinate ng vertices ng ABCD pyramid ay ibinibigay. Kailangan:

1. Isulat ang mga vector sa ort system at hanapin ang mga module ng mga vector na ito.
2. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga vector.
3. Hanapin ang projection ng isang vector sa isang vector.
4. Hanapin ang lugar ng mukha ABC.
5. Hanapin ang volume ng pyramid ABCD.

Solusyon
Halimbawa Blg. 1
A 1 (1,8,2), A 2 (5,2,6), A 3 (0,-1,-2), A 4 (-2,3,-1): Halimbawa No. 2
A 1 (5,2,1), A 2 (-3,9,3), A 3 (-1,3,5), A 4 (-1,-5,2): Halimbawa No. 3
A 1 (-1,0,2), A 2 (-2,0,6), A 3 (-3,1,2), A 4 (-1,2,4): Halimbawa No. 4

Mag-ehersisyo. Hanapin ang matinding anggulo sa pagitan ng mga linyang x + y -5 = 0 at x + 4y - 8 = 0.
Mga rekomendasyon para sa solusyon. Nalutas ang problema gamit ang Anggulo ng serbisyo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya.
Sagot: 30.96 o

Halimbawa Blg. 1. Ang mga coordinate ng mga puntos na A1(1;0;2), A2(2;1;1), A3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1) ay ibinibigay. Hanapin ang haba ng gilid A1A2. Gumawa ng equation para sa gilid A1A4 at harapin ang A1A2A3. Bumuo ng isang equation para sa taas na ibinaba mula sa punto A4 hanggang sa eroplanong A1A2A3. Hanapin ang lugar ng tatsulok na A1A2A3. Hanapin ang volume ng triangular pyramid A1A2A3A4.

Nahanap namin ang mga coordinate ng mga vector gamit ang formula: X = x j - x i ; Y = y j - y i ; Z = z j - z i
dito X,Y,Z coordinate ng vector; x i, y i, z i - mga coordinate ng point A i; x j, y j, z j - mga coordinate ng point A j;
Kaya, para sa vector A 1 A 2 sila ay magiging mga sumusunod:
X = x 2 - x 1 ; Y = y 2 - y 1 ; Z = z 2 - z 1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A 1 A 2 (1;1;-1)
A 1 A 3 (-2;2;-2)
A 1 A 4 (-3;-1;-3)
A 2 A 3 (-3;1;-1)
A 2 A 4 (-4;-2;-2)
A 3 A 4 (-1;-3;-1)
Ang haba ng vector a(X;Y;Z) ay ipinahayag sa pamamagitan ng mga coordinate nito sa pamamagitan ng formula:

Problema 1. Ang mga coordinate ng vertices ng triangle ABC ay ibinibigay: A(4; 3), B(16;-6), C(20; 16). Hanapin: 1) ang haba ng gilid AB; 2) mga equation ng panig AB at BC at ang kanilang mga angular coefficient; 3) anggulo B sa radians na may katumpakan ng dalawang digit; 4) equation ng taas CD at haba nito; 5) ang equation ng median AE at ang mga coordinate ng point K ng intersection ng median na ito na may taas na CD; 6) ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto K na kahanay sa gilid AB; 7) mga coordinate ng point M, na matatagpuan simetriko sa point A na may kaugnayan sa straight line CD.

Solusyon:

1. Ang distansya d sa pagitan ng mga puntos na A(x 1 ,y 1) at B(x 2 ,y 2) ay tinutukoy ng formula

Sa paglalapat ng (1), nakita natin ang haba ng gilid AB:

2. Ang equation ng linyang dumadaan sa mga puntos na A(x 1 ,y 1) at B(x 2 ,y 2) ay may anyo

(2)

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A at B sa (2), nakuha namin ang equation ng side AB:

Nang malutas ang huling equation para sa y, nakita natin ang equation ng side AB sa anyo ng isang straight line equation na may isang angular coefficient:

saan

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos B at C sa (2), nakuha namin ang equation ng tuwid na linya BC:

O kaya

3. Ito ay kilala na ang padaplis ng anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya, ang mga angular coefficient na kung saan ay pantay-pantay, ay kinakalkula ng formula

(3)

Ang nais na anggulo B ay nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na linya AB at BC, ang mga angular coefficient na kung saan ay matatagpuan: Paglalapat (3), nakukuha namin

O natutuwa.

4. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang ibinigay na punto sa isang ibinigay na direksyon ay may anyo

(4)

Ang taas ng CD ay patayo sa gilid AB. Upang mahanap ang slope ng taas CD, ginagamit namin ang kondisyon ng perpendicularity ng mga linya. Simula noon Ang pagpapalit sa (4) ng mga coordinate ng point C at ang nahanap na angular coefficient ng taas, nakuha namin

Upang mahanap ang haba ng taas ng CD, una naming tinutukoy ang mga coordinate ng punto D - ang punto ng intersection ng mga tuwid na linya AB at CD. Paglutas ng system nang magkasama:

nahanap namin mga. D(8;0).

Gamit ang formula (1) hinahanap natin ang haba ng taas ng CD:

5. Upang mahanap ang equation ng median AE, una naming tinutukoy ang mga coordinate ng point E, na siyang gitna ng side BC, gamit ang mga formula para sa paghahati ng isang segment sa dalawang pantay na bahagi:

(5)

Kaya naman,

Ang pagpapalit ng mga coordinate ng mga puntos A at E sa (2), nakita namin ang equation para sa median:

Upang mahanap ang mga coordinate ng punto ng intersection ng taas na CD at ang median na AE, sabay nating lutasin ang sistema ng mga equation

Nahanap namin.

6. Dahil ang nais na tuwid na linya ay parallel sa gilid AB, ang angular coefficient nito ay magiging katumbas ng angular coefficient ng straight line AB. Pinapalitan sa (4) ang mga coordinate ng nahanap na punto K at ang angular coefficient na nakuha natin

3x + 4y – 49 = 0 (KF)

7. Dahil ang tuwid na linyang AB ay patayo sa tuwid na linya ng CD, ang nais na punto M, na matatagpuan simetriko sa puntong A na may kaugnayan sa tuwid na linya ng CD, ay nasa tuwid na linya ng AB. Bilang karagdagan, ang point D ay ang midpoint ng segment AM. Gamit ang mga formula (5), nakita namin ang mga coordinate ng nais na punto M:

Ang Triangle ABC, height CD, median AE, straight line KF at point M ay itinayo sa xOy coordinate system sa Fig. 1.

Gawain 2. Lumikha ng isang equation para sa locus ng mga puntos na ang mga distansya sa isang naibigay na punto A(4; 0) at sa isang naibigay na tuwid na linya x=1 ay katumbas ng 2.

Solusyon:

Sa xOy coordinate system, binubuo natin ang puntong A(4;0) at ang tuwid na linyang x = 1. Hayaang ang M(x;y) ay isang arbitraryong punto ng nais na geometriko na lokasyon ng mga puntos. Ibaba natin ang perpendicular MB sa ibinigay na linya x = 1 at tukuyin ang mga coordinate ng point B. Dahil ang point B ay nasa ibinigay na linya, ang abscissa nito ay katumbas ng 1. Ang ordinate ng point B ay katumbas ng ordinate ng point M Samakatuwid, B(1;y) (Larawan 2).

Ayon sa mga kondisyon ng problema |MA|: |MV| = 2. Mga distansya |MA| at |MB| makikita natin mula sa formula (1) ng problema 1:

Pag-squaring sa kaliwa at kanang gilid, nakukuha namin

o

Ang resultang equation ay isang hyperbola kung saan ang tunay na semi-axis ay a = 2, at ang haka-haka na kalahating aksis ay

Tukuyin natin ang foci ng isang hyperbola. Para sa isang hyperbola, nasiyahan ang pagkakapantay-pantay. Samakatuwid, at – hyperbole tricks. Tulad ng makikita mo, ang ibinigay na puntong A(4;0) ay ang tamang pokus ng hyperbola.

Alamin natin ang eccentricity ng nagresultang hyperbola:

Ang mga equation ng hyperbola asymptotes ay may anyo at . Samakatuwid, o at ay mga asymptotes ng hyperbola. Bago bumuo ng hyperbola, binubuo namin ang mga asymptotes nito.

Suliranin 3. Lumikha ng isang equation para sa locus ng mga puntos na katumbas ng layo mula sa puntong A(4; 3) at ang tuwid na linya y = 1. Bawasan ang resultang equation sa pinakasimpleng anyo nito.

Solusyon: Hayaang ang M(x; y) ay isa sa mga punto ng nais na geometric na locus ng mga puntos. Ibagsak natin ang perpendikular na MB mula sa punto M hanggang sa tuwid na linyang ito y = 1 (Larawan 3). Alamin natin ang mga coordinate ng point B. Malinaw, ang abscissa ng point B ay katumbas ng abscissa ng point M, at ang ordinate ng point B ay katumbas ng 1, i.e. B(x; 1). Ayon sa mga kondisyon ng problema |MA|=|MV|. Dahil dito, para sa anumang puntong M(x;y) na kabilang sa nais na geometric na locus ng mga puntos, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo:

Ang resultang equation ay tumutukoy sa isang parabola na may vertex sa punto. Upang dalhin ang parabola equation sa pinakasimpleng anyo nito, itakda natin at y + 2 = Y, pagkatapos ay ang parabola equation ay kukuha ng anyo: