Ang base ng isang right parallelepiped ay nasa pangkalahatang kaso. Inclined parallelepiped: mga katangian, formula at gawain ng isang tutor sa matematika. Transcript ng teksto ng aralin
Teorama. Sa anumang parallelepiped, ang magkasalungat na mga mukha ay pantay at parallel.
Kaya, ang mga mukha (Fig.) BB 1 C 1 C at AA 1 D 1 D ay magkatulad, dahil ang dalawang intersecting na linya BB 1 at B 1 C 1 ng isang mukha ay parallel sa dalawang intersecting na linya AA 1 at A 1 D 1 ng Yung isa. Magkapantay ang mga mukha na ito, dahil B 1 C 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (bilang magkasalungat na panig ng parallelograms) at ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1 .
Teorama. Sa anumang parallelepiped, lahat ng apat na diagonal ay nagsalubong sa isang punto at nahahati sa kalahati dito.
Kunin (fig.) sa isang parallelepiped ang alinmang dalawang diagonal, halimbawa, AC 1 at DB 1, at gumuhit ng mga tuwid na linya AB 1 at DC 1.
Dahil ang mga gilid AD at B 1 C 1 ay ayon sa pagkakabanggit ay pantay at parallel sa gilid BC, sila ay pantay at parallel sa isa't isa.
Bilang resulta, ang figure ADC 1 B 1 ay isang parallelogram kung saan ang C 1 A at DB 1 ay mga diagonal, at sa parallelogram ang mga diagonal ay nagsalubong sa kalahati.
Ang patunay na ito ay maaaring ulitin para sa bawat dalawang diagonal.
Samakatuwid, ang dayagonal na AC 1 ay nagsa-intersect sa BD 1 sa kalahati, ang dayagonal na BD 1 na may A 1 C sa kalahati.
Kaya, ang lahat ng mga diagonal ay bumalandra sa kalahati at, samakatuwid, sa isang punto.
Teorama. Sa isang cuboid, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.
Hayaang (fig.) AC 1 ay ilang dayagonal ng isang parihabang parallelepiped.
Pagkatapos ng pagguhit ng AC, nakakakuha kami ng dalawang tatsulok: AC 1 C at ACB. Parehong parihaba.
ang una dahil ang kahon ay tuwid, at samakatuwid ang gilid CC 1 ay patayo sa base,
ang pangalawa ay dahil ang parallelepiped ay hugis-parihaba, na nangangahulugan na ito ay may isang parihaba sa base nito.
Mula sa mga tatsulok na ito makikita natin:
AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 at AC 2 = AB 2 + BC 2
Samakatuwid, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1
Bunga. Sa isang cuboid, lahat ng diagonal ay pantay.
kuboid
Ang cuboid ay isang kanang cuboid kung saan ang lahat ng mukha ay parihaba.
Sapat na ang pagtingin sa paligid natin, at makikita natin na ang mga bagay sa paligid natin ay may hugis na katulad ng parallelepiped. Maaari silang magkakaiba sa kulay, magkaroon ng maraming karagdagang mga detalye, ngunit kung ang mga subtleties na ito ay itinapon, maaari nating sabihin na, halimbawa, isang cabinet, isang kahon, atbp., ay may humigit-kumulang sa parehong hugis.
Nakikita namin ang konsepto ng isang parihabang parallelepiped halos araw-araw! Tumingin sa paligid at sabihin sa akin kung saan mo nakikita ang mga hugis-parihaba na kahon? Tingnan ang libro, dahil ito ay tulad ng isang hugis! Ang isang ladrilyo, isang kahon ng posporo, isang bloke na gawa sa kahoy ay may parehong hugis, at kahit na ngayon ay nasa loob ka ng isang hugis-parihaba na kuboid, dahil ang silid-aralan ang pinakamaliwanag na interpretasyon nito geometric na pigura.
Pagsasanay: Anong mga halimbawa ng parallelepiped ang maaari mong pangalanan?
Tingnan natin ang cuboid. At ano ang nakikita natin?
Una, nakikita natin na ang pigurang ito ay nabuo mula sa anim na parihaba, na siyang mga mukha ng isang kuboid;
Pangalawa, ang cuboid ay may walong vertices at labindalawang gilid. Ang mga gilid ng isang cuboid ay ang mga gilid ng mga mukha nito, at ang mga vertices ng cuboid ay ang mga vertex ng mga mukha.
Pagsasanay:
1. Ano ang pangalan ng bawat isa sa mga mukha ng isang parihabang parallelepiped? 2. Salamat sa anong mga parameter ang masusukat ng paralelogram? 3. Tukuyin ang magkasalungat na mukha.
Mga uri ng parallelepiped
Ngunit ang mga parallelepiped ay hindi lamang hugis-parihaba, ngunit maaari rin silang maging tuwid at hilig, at ang mga tuwid na linya ay nahahati sa hugis-parihaba, hindi hugis-parihaba at mga cube.
Gawain: Tingnan ang larawan at sabihin kung aling mga parallelepiped ang makikita dito. Paano naiiba ang isang cuboid sa isang cube?
Mga katangian ng isang cuboid
Ang isang parihabang parallelepiped ay may ilang mahahalagang katangian:
Una, ang parisukat ng dayagonal ng geometric figure na ito ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong pangunahing mga parameter nito: taas, lapad at haba.
Pangalawa, ang lahat ng apat na diagonal nito ay ganap na magkapareho.
Pangatlo, kung ang lahat ng tatlong mga parameter ng parallelepiped ay pareho, iyon ay, ang haba, lapad at taas ay pantay, kung gayon ang naturang parallelepiped ay tinatawag na isang kubo, at ang lahat ng mga mukha nito ay magiging katumbas ng parehong parisukat.
Mag-ehersisyo
1. Ang isang parihabang parallelepiped ba ay may pantay na mukha? Kung mayroon, pagkatapos ay ipakita ang mga ito sa larawan. 2. Anong mga geometric na hugis ang binubuo ng mga mukha ng isang parihabang parallelepiped? 3. Ano ang pagkakaayos ng magkapantay na mukha sa ugnayan ng bawat isa? 4. Pangalanan ang bilang ng mga pares ng magkapantay na mukha ng figure na ito. 5. Hanapin ang mga gilid sa cuboid na nagpapahiwatig ng haba, lapad, taas nito. Ilan ang nabilang mo?
Isang gawain
Upang maayos na ayusin ang isang regalo sa kaarawan para sa kanyang ina, kinuha ni Tanya ang isang kahon sa hugis ng isang parihabang parallelepiped. Ang laki ng kahon na ito ay 25cm*35cm*45cm. Upang maging maganda ang paketeng ito, nagpasya si Tanya na takpan ito ng magandang papel, ang halaga nito ay 3 hryvnias bawat 1 dm2. Gaano karaming pera ang kailangan mong gastusin sa pambalot na papel?
Alam mo ba na ang sikat na ilusyonistang si David Blaine, bilang bahagi ng isang eksperimento, ay gumugol ng 44 na araw sa isang glass box na sinuspinde sa ibabaw ng Thames. Sa 44 na araw na ito, hindi siya kumain, ngunit uminom lamang ng tubig. Sa kanyang boluntaryong bilangguan, si David ay kumuha lamang ng mga instrumento sa pagsulat, isang unan at kutson, at mga panyo.
TEKSTO NA PALIWANAG NG ARALIN:
Isaalang-alang ang mga item na ito:
Pagbuo ng mga brick, dice, microwave. Ang mga bagay na ito ay pinagsama ng isang anyo.
Isang ibabaw na binubuo ng dalawang magkaparehong paralelogram na ABCD at A1B1C1D1
at apat na parallelograms AA1B1B at BB1C1C, CC1D1D, AA1D1D ay tinatawag na parallelepiped.
Ang mga parallelogram na bumubuo sa parallelepiped ay tinatawag na mga mukha. Mukha A1B1C1D1. Mukha BB1S1S. Edge ABCD.
Sa kasong ito, ang mga mukha na ABCD at A1B1C1D1 ay mas madalas na tinatawag na mga base, at ang natitirang mga mukha ay lateral.
Ang mga gilid ng parallelograms ay tinatawag na mga gilid ng parallelepiped. Gilid A1B1. Tadyang CC1. Edge AD.
Ang gilid ng CC1 ay hindi nabibilang sa mga base, ito ay tinatawag na gilid ng gilid.
Ang vertices ng parallelograms ay tinatawag na vertices ng parallelepiped.
Nangungunang D1. Pinnacle B. Pinnacle C.
Vertices D1 at B
hindi kabilang sa parehong mukha at tinatawag na kabaligtaran.
Ang parallelepiped ay maaaring iguhit sa iba't ibang paraan.
Ang parallelepiped sa base, na isang rhombus, habang ang mga imahe ng mga mukha ay parallelograms.
Isang parallelepiped sa base, na isang parisukat. Ang mga invisible na gilid AA1, AB, AD ay ipinapakita bilang mga putol-putol na linya.
Ang parallelepiped sa base, na isang parisukat
Isang parallelepiped sa base kung saan matatagpuan ang isang parihaba o paralelogram
Isang parallelepiped na may lahat ng panig na parisukat. Mas madalas itong tinatawag na isang kubo.
Ang lahat ng itinuturing na parallelepiped ay may mga katangian. Bumalangkas at patunayan natin ang mga ito.
Property 1. Ang magkasalungat na mukha ng isang parallelepiped ay parallel at pantay.
Isaalang-alang ang parallelepiped ABCDА1В1С1D1 at patunayan, halimbawa, na ang mga mukha na BB1C1C at AA1D1D ay parallel at pantay.
Sa pamamagitan ng kahulugan ng isang parallelepiped, ang mukha ABCD ay isang parallelogram, na nangangahulugan na, sa pamamagitan ng pag-aari ng isang parallelogram, ang gilid BC ay parallel sa gilid AD.
Ang mukha ABV1A1 ay isa ring parallelogram, na nangangahulugan na ang mga gilid BB1 at AA1 ay parallel.
Nangangahulugan ito na ang dalawang intersecting na linya BC at BB1 ng isang eroplano, ayon sa pagkakabanggit, ay parallel sa dalawang linya AD at AA1, ayon sa pagkakabanggit, ng isa pang eroplano, na nangangahulugan na ang mga eroplanong ABB1A1 at BCC1D1 ay magkatulad.
Ang lahat ng mukha ng parallelepiped ay parallelograms, na nangangahulugang BC=AD, BB1=AA1.
Sa kasong ito, ang mga gilid ng mga anggulo na B1BC at A1AD ay magkakaugnay na nakadirekta, na nangangahulugang magkapantay sila.
Kaya, ang dalawang magkatabing gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng parallelogram ABB1A1 ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng dalawang magkatabing gilid at ang anggulo sa pagitan ng mga ito ng parallelogram BCC1D1, na nangangahulugan na ang mga parallelogram na ito ay pantay.
Ang parallelepiped ay mayroon ding diagonal na katangian. Ang dayagonal ng isang parallelepiped ay isang line segment na kumukonekta mga kalapit na vertex. Sa pagguhit, ipinapakita ng may tuldok na linya ang mga diagonal na B1D, BD1, A1C.
Kaya, ang ari-arian 2. Ang mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa isang punto at ang intersection point ay nahahati sa kalahati.
Upang patunayan ang ari-arian, isaalang-alang ang quadrilateral na BB1D1D. Ang mga diagonal nito na В1D, BD1 ay ang mga diagonal ng parallelepiped ABCDА1В1С1D1.
Sa unang pag-aari, nalaman na namin na ang gilid ng BB1 ay parallel at katumbas ng gilid AA1, ngunit ang gilid ng AA1 ay parallel at katumbas ng gilid DD1. Kaya't ang mga gilid ng BB1 at DD1 ay parallel at pantay, na nagpapatunay sa quadrilateral na BB1D1D-parallelogram. At sa isang paralelogram, ayon sa ari-arian, ang mga diagonal na B1D, BD1 ay bumalandra sa ilang punto O at ang puntong ito ay nahahati sa kalahati.
Ang Quadrilateral BC1D1A ay isa ring parallelogram at ang mga diagonal nito na C1A ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ang puntong ito. Ang mga diagonal ng parallelogram C1A, BD1 ay ang mga diagonal ng parallelepiped, na nangangahulugan na ang nakasaad na ari-arian ay napatunayan.
Upang pagsamahin ang teoretikal na kaalaman tungkol sa parallelepiped, isaalang-alang ang problema ng patunay.
Sa mga gilid ng parallelepiped ay minarkahan puntos L, M, N, P upang ang BL=CM=A1N=D1P. Patunayan na ang ALMDNB1C1P ay parallelepiped.
Ang mukha BB1A1A ay isang parallelogram, na nangangahulugan na ang gilid BB1 ay pantay at kahanay sa gilid AA1, ngunit sa pamamagitan ng kundisyon ang mga segment na BL at A1N, na nangangahulugan na ang mga segment na LB1 at NA ay pantay at kahanay.
3) Samakatuwid, ang quadrilateral LB1NA sa batayan ng isang paralelogram.
4) Dahil ang CC1D1D ay isang parallelogram, nangangahulugan ito na ang gilid CC1 ay pantay at kahanay sa gilid D1D, at ang CM ay katumbas ng D1P ayon sa kondisyon, kaya ang mga segment na MC1 at DP ay pantay at kahanay
Samakatuwid, ang quadrilateral MC1PD ay isa ring paralelogram.
5) Ang mga anggulo LB1N at MC1P ay pantay-pantay ng mga anggulo na may magkatulad na magkatulad at magkaparehong direksyong panig.
6) Nakuha namin na ang parallelograms at MC1PD ay may katumbas na mga gilid na pantay at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay pantay, kaya ang mga parallelograms ay pantay.
7) Ang mga segment ay pantay ayon sa kundisyon, kaya ang BLMC ay isang parallelogram at ang side BC ay parallel sa side LM ay parallel sa side B1C1.
8) Katulad nito, mula sa parallelogram NA1D1P sumusunod na ang gilid A1D1 ay parallel sa gilid NP at parallel sa gilid AD.
9) Ang kabaligtaran na mga mukha ABB1A1 at DCC1D1 ng parallelepiped ay parallel sa pamamagitan ng ari-arian, at ang mga segment ng parallel straight lines na nakapaloob sa pagitan ng mga parallel na eroplano ay pantay, na nangangahulugan na ang mga segment na B1C1, LM, AD, NP ay pantay.
Nakuha na sa quadrilaterals ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD dalawang panig ay parallel at pantay, na nangangahulugang sila ay parallelograms. Pagkatapos ang aming ibabaw na ALMDNB1C1P ay binubuo ng anim na parallelograms, dalawa sa mga ito ay pantay-pantay, at sa pamamagitan ng kahulugan ito ay isang parallelepiped.
Ang prisma ay tinatawag parallelepiped kung ang mga base nito ay paralelograms. Cm. Fig.1.
Mga katangian ng kahon:
Ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel (i.e. nakahiga sa parallel na eroplano) at pantay.
Ang mga diagonal ng parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at hinahati ang puntong iyon.
Magkatabing mukha ng isang kahon ay dalawang mukha na may magkatulad na gilid.
Magkatapat na mukha ng isang parallelepiped– mga mukha na walang karaniwang mga gilid.
Kabaligtaran ng mga vertex ng kahon ay dalawang vertex na hindi kabilang sa iisang mukha.
Diagonal ng kahon Isang segment ng linya na nag-uugnay sa magkabilang vertex.
Kung ang mga lateral na gilid ay patayo sa mga eroplano ng mga base, kung gayon ang parallelepiped ay tinatawag direkta.
Ang isang kanang parallelepiped na ang mga base ay parihaba ay tinatawag hugis-parihaba. Ang isang prisma na ang lahat ng mga mukha ay parisukat ay tinatawag kubo.
Parallelepiped Isang prisma na ang mga base ay parallelograms.
Kanang parallelepiped- isang parallelepiped na ang mga lateral na gilid ay patayo sa eroplano ng base.
kuboid ay isang kanang parallelepiped na ang mga base ay parihaba.
Cube ay isang parihabang parallelepiped na may pantay na mga gilid.
Parallelepiped tinatawag ang isang prisma, ang base nito ay isang paralelogram; kaya, ang parallelepiped ay may anim na mukha at lahat ng mga ito ay parallelograms.
Ang magkasalungat na mukha ay magkapares na magkapareho at magkatulad. Ang parallelepiped ay may apat na diagonal; lahat sila ay bumalandra sa isang punto at nahahati sa kalahati dito. Anumang mukha ay maaaring kunin bilang batayan; ang volume ay katumbas ng produkto ng base area at ang taas: V = Sh.
Ang parallelepiped na ang apat na lateral na mukha ay parihaba ay tinatawag na right parallelepiped.
Ang isang kanang parallelepiped, kung saan ang lahat ng anim na mukha ay parihaba, ay tinatawag na hugis-parihaba. Cm. Fig.2.
Ang volume (V) ng isang right parallelepiped ay katumbas ng produkto ng base area (S) at ang taas (h): V = Sh .
Para sa isang parihabang parallelepiped, bilang karagdagan, ang formula V=abc, kung saan ang a,b,c ay mga gilid.
Ang dayagonal (d) ng isang cuboid ay nauugnay sa mga gilid nito sa pamamagitan ng kaugnayan d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .
kuboid- isang parallelepiped na ang mga gilid ng gilid ay patayo sa mga base, at ang mga base ay mga parihaba.
Mga katangian ng isang cuboid:
Sa isang cuboid, lahat ng anim na mukha ay mga parihaba.
Ang lahat ng mga dihedral na anggulo ng isang cuboid ay mga tamang anggulo.
Ang parisukat ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito (mga haba ng tatlong gilid na may karaniwang vertex).
Ang mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay.
Ang isang parihabang parallelepiped, na ang lahat ng mga mukha ay parisukat, ay tinatawag na isang kubo. Ang lahat ng mga gilid ng isang kubo ay pantay; ang volume (V) ng isang kubo ay ipinahayag ng formula V=a 3, kung saan ang a ay ang gilid ng kubo.
