Lugar ng isang tatsulok. Lugar ng Teorya ng Triangle Heron
Gerona formula Pormula ng bayani
nagpapahayag ng lugar s tatsulok sa mga tuntunin ng haba ng tatlong panig nito a, b at Sa at semiperimeter R = (a + b + Sa)/2: . Pinangalanan pagkatapos ng Heron ng Alexandria.
HERONA FORMULAHERON FORMULA, ay nagpapahayag ng lugar S tatsulok sa mga tuntunin ng haba ng tatlong panig nito a, b at c at semiperimeter P = (a + b + c)/2
Pinangalanan pagkatapos ng Heron ng Alexandria.
encyclopedic Dictionary. 2009 .
Tingnan kung ano ang "Geron formula" sa ibang mga diksyunaryo:
Nagpapahayag ng lugar S ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng mga haba ng tatlong panig nito a, b at c at ang semiperimeter P = (a + b + c) / 2 Pinangalanan pagkatapos ng Heron ng Alexandria ... Malaking Encyclopedic Dictionary
Formula na nagpapahayag ng lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng tatlong panig nito. Lalo na, kung ang a, b, c ay ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok, at ang isang S ay ang lugar nito, kung gayon ang G. f. ay may anyo: kung saan ang p ay tumutukoy sa semiperimeter ng tatsulok na G. f. ... ...
Ang formula na nagpapahayag ng lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng mga gilid nito a, b, c: kung saan Pinangalanan pagkatapos ng Heron (c. 1st century AD), A. B. Ivanov ... Mathematical Encyclopedia
Nagpapahayag ng lugar 5 ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng mga haba ng tatlong panig nito a, b at c at ang semi-perimeter p \u003d (a + b + c) / 2: s \u003d square. ugat p(p a)(p b)(p c). Pinangalanan pagkatapos ng Heron ng Alexandria... Likas na agham. encyclopedic Dictionary
- ... Wikipedia
Pinapayagan kang kalkulahin ang lugar ng isang tatsulok (S) sa mga gilid nito a, b, c: kung saan ang p ay ang semiperimeter ng tatsulok: . Patunay kung saan ang anggulo ay tatsulok ... Wikipedia
Nagpapahayag ng lugar ng isang quadrilateral na nakasulat sa isang bilog bilang isang function ng mga haba ng mga gilid nito. Kung ang isang inscribed quadrilateral ay may mga haba ng gilid at isang semiperimeter, kung gayon ang lugar nito ay ... Wikipedia
Ang artikulong ito ay walang mga link sa mga mapagkukunan ng impormasyon. Dapat na ma-verify ang impormasyon, kung hindi, maaari itong tanungin at alisin. Maaari mong i-edit ang artikulong ito upang magsama ng mga link sa mga makapangyarihang mapagkukunan. Ang markang ito ... ... Wikipedia
- (Heronus Alexandrinus) (hindi alam ang mga taon ng kapanganakan at kamatayan, malamang sa ika-1 siglo), isang sinaunang siyentipikong Griyego na nagtrabaho sa Alexandria. Ang may-akda ng mga gawa kung saan siya ay sistematikong binalangkas ang mga pangunahing tagumpay ng sinaunang mundo sa larangan ng inilapat na mekanika, V ... ... Great Soviet Encyclopedia
Alexandrian (Heronus Alexandrinus) (hindi alam ang mga taon ng kapanganakan at kamatayan, malamang sa ika-1 siglo), isang sinaunang siyentipikong Griyego na nagtrabaho sa Alexandria. Ang may-akda ng mga gawa kung saan siya ay sistematikong binalangkas ang mga pangunahing tagumpay ng sinaunang mundo sa larangan ng ... ... Great Soviet Encyclopedia
Teorama. Ang lugar ng isang tatsulok ay katumbas ng kalahati ng produkto ng gilid nito at ang taas na iginuhit dito:
Ang patunay ay napakasimple. Itong tatsulok ABC(Larawan 1.15) kukumpletuhin natin ang paralelogram ABCC. mga tatsulok ABC at DCB ay pantay sa tatlong panig, kaya ang kanilang mga lugar ay pantay. Kaya ang lugar ng tatsulok ABC katumbas ng kalahati ng lugar ng paralelogram ABCC, ibig sabihin.
Ngunit narito ang sumusunod na tanong ay lumitaw: bakit ang tatlong posibleng kalahating produkto ng base at ang taas para sa anumang tatsulok ay pareho? Ito, gayunpaman, ay madaling patunayan mula sa pagkakatulad ng mga parihaba na may isang karaniwang talamak na anggulo. Isaalang-alang ang isang tatsulok ABC(Larawan 1.16):
At samakatuwid
Gayunpaman, hindi ito ginagawa sa mga aklat-aralin sa paaralan. Sa kabaligtaran, ang pagkakapantay-pantay ng tatlong kalahating produkto ay itinatag sa batayan ng katotohanan na ang lahat ng mga kalahating produkto ay nagpapahayag ng lugar ng isang tatsulok. Kaya, ang pagkakaroon ng isang function ay tahasang pinagsamantalahan. Ngunit narito mayroong isang maginhawa at nakapagtuturo na pagkakataon upang ipakita ang isang halimbawa ng pagmomolde ng matematika. Sa katunayan, mayroong pisikal na katotohanan sa likod ng mga konsepto ng lugar, ngunit ang direktang pagsusuri ng pagkakapantay-pantay ng tatlong semi-produkto ay nagpapakita ng kalidad na kadahilanan ng pagsasalin ng konseptong ito sa wika ng matematika.
Gamit ang theorem ng lugar ng tatsulok sa itaas, madalas na maginhawa upang ihambing ang mga lugar ng dalawang tatsulok. Ipinakita namin sa ibaba ang ilang halata ngunit mahalagang mga corollaries ng theorem.
Bunga 1. Kung ang vertex ng isang tatsulok ay inilipat sa isang tuwid na linya na kahanay sa base nito, kung gayon ang lugar nito ay hindi nagbabago.
Sa fig. 1.17 tatsulok ABC at ABD magkaroon ng common ground AB at pantay na taas na ibinaba sa base na ito, dahil ang tuwid na linya a, na naglalaman ng mga vertex MULA SA at D parallel sa base AB, kaya ang mga lugar ng mga tatsulok na ito ay pantay.
Ang Corollary 1 ay maaaring reformulated gaya ng mga sumusunod.
Bunga 1?. Hayaang bigyan ng segment AB. Maraming puntos M na ang lugar ng tatsulok AMV katumbas ng ibinigay na halaga S, mayroong dalawang linya na magkapareho sa segment AB at matatagpuan sa malayo mula dito (Larawan 1. 18)
Bunga 2. Kung ang isa sa mga gilid ng isang tatsulok na katabi ng isang naibigay na anggulo ay nadagdagan ng k beses, kung gayon ang lawak nito ay tataas din ng k minsan.
Sa fig. 1.19 tatsulok ABC at ABD magkaroon ng isang karaniwang taas BH, kaya ang ratio ng kanilang mga lugar ay katumbas ng ratio ng mga base
Ang mahahalagang espesyal na kaso ay sumusunod mula sa Corollary 2:
1. Hinahati ng median ang tatsulok sa dalawang pantay na bahagi.
2. Ang bisector ng anggulo ng isang tatsulok na nakapaloob sa pagitan ng mga gilid nito a at b, hinahati ito sa dalawang tatsulok na ang mga lugar ay nauugnay bilang a : b.
Bunga 3. Kung ang dalawang tatsulok ay may isang karaniwang anggulo, kung gayon ang kanilang mga lugar ay nauugnay bilang mga produkto ng mga panig na naglalaman ng anggulong ito.
Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na (Fig. 1.19)
Sa partikular, ang sumusunod na assertion ay nagtataglay:
Kung ang dalawang tatsulok ay magkatulad at ang gilid ng isa sa mga ito ay k beses ang kaukulang panig ng isa, kung gayon ang lugar nito ay k 2 beses ang lugar ng pangalawa.
Nakukuha namin ang formula ng Heron para sa lugar ng isang tatsulok sa sumusunod na dalawang paraan. Sa una, ginagamit namin ang cosine theorem:
kung saan ang a, b, c ay ang mga haba ng mga gilid ng tatsulok, ang r ay ang anggulo sa tapat ng gilid c.
Mula sa (1.3) makikita natin.
Napapansin iyon
nasaan ang semiperimeter ng tatsulok, nakukuha natin.
Paunang impormasyon
Upang magsimula, ipinakilala namin ang impormasyon at notasyon na kakailanganin sa mga sumusunod.
Isasaalang-alang namin ang tatsulok na $ABC$ na may matinding anggulo na $A$ at $C$. Gumuhit ng taas na $BH$ dito. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon: $AB=c,\ BC=a,\ $$AC=b,\ AH=x,\ BH=h\ $ (Fig. 1).
Larawan 1.
Ipinakilala namin nang walang patunay ang teorama ng tatsulok na lugar.
Teorama 1
Ang lugar ng isang tatsulok ay tinukoy bilang kalahati ng produkto ng haba ng gilid nito at ang taas na iginuhit dito, iyon ay
Ang formula ni Heron
Ipinakilala at pinatunayan namin ang isang teorama sa paghahanap ng lugar ng isang tatsulok na ibinigay ng tatlong kilalang panig. Ang formula na ito ay tinatawag na Mga formula ni Heron.
Teorama 2
Bigyan tayo ng tatlong panig ng isang tatsulok na $a,\ b\ at\ c$. Pagkatapos ang lugar ng tatsulok na ito ay ipinahayag bilang mga sumusunod
kung saan ang $p$ ay ang kalahating perimeter ng ibinigay na tatsulok.
Patunay.
Gagamitin namin ang notasyon na ipinakilala sa Figure 1.
Isaalang-alang ang tatsulok na $ABH$. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakukuha natin
Malinaw na ang $HC=AC-AH=b-x$
Isaalang-alang ang tatsulok na $\CBH$. Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem, nakukuha natin
\ \ \
Equate ang mga halaga ng squared height mula sa dalawang nakuhang relasyon
\ \ \
Mula sa unang equation nakita namin ang taas
\ \ \ \ \ \
Dahil ang semiperimeter ay katumbas ng $p=\frac(a+b+c)(2)$, ibig sabihin, $a+b+c=2p$, kung gayon
\ \ \ \
Sa pamamagitan ng Theorem 1, nakukuha natin
Ang teorama ay napatunayan.
Mga halimbawa ng mga gawain para sa paggamit ng pormula ng Heron
Halimbawa 1
Hanapin ang lugar ng isang tatsulok kung ang mga gilid nito ay $3$ cm, $6$ cm at $7$ cm.
Solusyon.
Hanapin muna natin ang semiperimeter ng tatsulok na ito
Sa pamamagitan ng Theorem 2, nakukuha natin
Sagot:$4\sqrt(5)$.
Buod ng aralin
Paksa: "Formula ng Heron at iba pang mga formula para sa lugar ng isang tatsulok".
Uri ng aralin : isang aral sa pagtuklas ng bagong kaalaman.
klase: 10.
Layunin ng Aralin: tiyakin sa panahon ng aralin ang sinasadyang pag-uulit ng mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok, na pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Ipakita ang pangangailangan para sa kaalaman sa formula II ng Heron, ang formula para sa lugar ng isang tatsulok na ibinigay sa isang rectangular coordinate system. Tiyakin ang mulat na asimilasyon at paggamit ng mga formula na ito sa paglutas ng mga problema.
Mga gawain:
Pagbuo: pag-unlad ng lohikal na pag-iisip, ang kakayahang nakapag-iisa na malutas ang mga problema sa edukasyon; pag-unlad ng kuryusidadmga mag-aaral, nagbibigay-malay na interes sa paksa; pag-unlad ng malikhaing pag-iisip, pagsasalita sa matematika ng mga mag-aaral;
Pang-edukasyon: pagpapaunlad ng interes sa matematika; paglikha ng mga kondisyon para sapagbuo ng mga kasanayan sa komunikasyon at volitional na katangian ng isang tao.
Pang-edukasyon: pagpapalalim ng kaalamanika- module ng isang tunay na numero; turuan ang kakayahang malutas ang mga karaniwang problema.
Pangkalahatang aktibidad sa pag-aaral:
Personal: paggalang sa indibidwal at sa kanyang dignidad; napapanatiling interes sa pag-iisip; ang kakayahang magsagawa ng diyalogo batay sa pantay na ugnayan at paggalang sa isa't isa.
Regulatoryo: magtakda ng mga layunin para sa mga aktibidad sa aralin; magplano ng mga paraan upang makamit ang layunin; gumawa ng mga desisyon sa sitwasyong may problema batay sa mga negosasyon.
Cognitive: sa makisama sa mga pangkalahatang pamamaraan ng paglutas ng mga problema, pagsasagawa ng mga gawain at kalkulasyon; magsagawa ng mga gawain batay sa paggamit ng mga katangian ng modulus ng isang tunay na numero.
Komunikatibo: a sapat na gumamit ng pananalita upang magplano at ayusin ang kanilang mga aktibidad; bumuo ng iyong sariling opinyon.
Teknikal na suporta : computer, projector, interactive na whiteboard.
Istraktura ng aralin
Pagganyak na yugto - 2 min.
Takdang-Aralin - 1 min.
Ang yugto ng pag-update ng kaalaman sa iminungkahing paksa at ang pagpapatupad ng unang pagsubok na aksyon - 10 minuto.
Pagkilala sa kahirapan: ano ang pagiging kumplikado ng bagong materyal, kung ano ang eksaktong lumilikha ng problema, maghanap ng kontradiksyon - 4 min.
Pag-unlad ng isang proyekto, isang plano upang malampasan ang kanilang mga umiiral na mga paghihirap, pagsasaalang-alang ng maraming mga pagpipilian, paghahanap para sa pinakamainam na solusyon - 2 min.
Pagpapatupad ng napiling plano upang malutas ang kahirapan - 5 min.
Pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman - 10 min.
Independiyenteng trabaho at pagpapatunay ayon sa pamantayan - 5 min.
Pagninilay, na kinabibilangan ng parehong pagmuni-muni ng mga aktibidad na pang-edukasyon, at pagsisiyasat ng sarili, at ang pagmuni-muni ng mga damdamin at emosyon - 1 min.
Sa panahon ng mga klase.
yugto ng pagganyak.
Hello guys, umupo na kayo. Ngayon ang ating aralin ay gaganapin ayon sa sumusunod na plano: sa panahon ng aralin ay mag-aaral tayo ng bagong paksa: “ Ang formula ng Heron at iba pang mga formula para sa lugar ng isang tatsulok »; ulitin ang mga formula na alam mo; Alamin natin kung paano ilapat ang mga formula na ito upang malutas ang mga problema. Kaya, magtrabaho na tayo.
Ang yugto ng pag-update ng kaalaman sa iminungkahing paksa at ang pagpapatupad ng unang pagsubok na aksyon.
slide 1.
Isulat ang paksa ng aralin. Bago magpatuloy nang direkta sa mga formula, tandaan natin kung anong mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok ang alam mo?
Slide 2.
Isulat ang mga formula na ito.
Anong mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang tatsulok ang alam mo?(naaalala ng mga mag-aaral ang lahat ng mga formula na kanilang pinag-aralan)
Slide 3.
Lugar ng isang tamang tatsulok. S=ab. Isulat ang formula
slide 4.
Ang lugar ng anumang tatsulok. S= a . a = , = Isulat ang formula.
Slide 5. Ang lugar ng isang tatsulok sa dalawang gilid at ang anggulo sa pagitan nila.
S=½ ab sinα. Isulat ang formula.
At ngayon ay matututo tayo ng mga bagong formula para sa paghahanap ng lugar.
slide 6.
Ang lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng radius ng inscribed na bilog. S= P r. Isulat ang formula.
Slide 7.
Ang lugar ng isang tatsulok sa mga tuntunin ng R-radius ng circumscribed na bilog.
Isulat ang formula.
slide 8.
Formula ng Heron.
Bago magpatuloy sa patunay, naaalala natin ang dalawang theorems ng geometry - ito ang sine theorem at ang cosine theorem.
1. , a=2R; b=2R; c=2R
2. cosγ = .
slide 9-10
Patunay ng formula ni Heron. Isulat ang formula.
Slide 11.
Ang pormula para sa lugar ng isang tatsulok sa tatlong panig ay natuklasan ni Archimedes noong ika-3 siglo BC. Gayunpaman, ang kaukulang gawain ay hindi umabot sa ating mga araw. Ang formula na ito ay nakapaloob sa "Sukatan" ng Heron ng Alexandria (I sa AD) at ipinangalan sa kanya. Interesado si Heron sa mga tatsulok na may mga panig na integer na ang mga lugar ay integer din. Ang ganitong mga tatsulok ay tinatawag na mga tatsulok na Heronian. Ang pinakasimpleng Heronian triangle ay ang Egyptian triangle.
Pagkilala sa mga kahirapan: ano ang pagiging kumplikado ng bagong materyal, kung ano ang eksaktong lumilikha ng problema, ang paghahanap para sa isang kontradiksyon.
slide 12.
Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na may mga ibinigay na panig: 4,6,8. Mayroon bang sapat na impormasyon upang malutas ang problema? Anong formula ang maaaring gamitin upang malutas ang problemang ito?
Pag-unlad ng isang proyekto, isang plano upang makawala sa kanilang mga paghihirap, pagsasaalang-alang ng maraming mga pagpipilian, paghahanap para sa pinakamainam na solusyon.
Ang problemang ito ay maaaring malutas gamit ang formula ni Heron. Una kailangan mong hanapin ang semi-perimeter ng tatsulok, at pagkatapos ay palitan ang nakuha na mga halaga sa formula.
Pagpapatupad ng napiling plano upang malutas ang kahirapan.
Paghahanap ng p
p=(13+14+15)/2=21
p- a=21-13=8
p-b=21-14=7
p-c=21-15=6
S = 21*8*7*6=84
Sagot :84
Gawain #2
Hanapin ang mga gilid ng tatsulokABCkung ang lugar ng mga tatsulokABO, BCO, ACO, kung saan ang O ay ang sentro ng inscribed na bilog, ay katumbas ng 17.65.80 dc 2 .
Solusyon: 
S\u003d 17 + 65 + 80 \u003d 162 - idagdag ang mga lugar ng mga tatsulok. Ayon sa formula
S ABO =1/2 AB* r, kaya 17=1/2AB* r; 65=1/2BC* r; 80=1/2 AC* r
34/r=AB; 130/r=BC; 160/r=AC
Hanapin ang p
p= (34+130+160)/2=162/ r
(r-a)=162-34=128 (r- c)=162-160=2
(R- b)=162-130=32
Ayon sa formula ni HeronS= 128/ r*2/ r*32/ r*162/ r=256*5184/ r 4 =1152/ r 2
kasi S=162, samakatuwidr = 1152/162=3128/18
Sagot: AB=34/3128/18, BC=130/3128/18, AC=160/3128/18.
Pangunahing pagsasama-sama ng bagong kaalaman.
№10(1)
Hanapin ang lugar ng isang tatsulok na may mga ibinigay na panig:
№12
Malayang gawain at pagpapatunay ayon sa pamantayan.
№10.(2)
Takdang aralin . P.83, No. 10(3), No. 15
Pagninilay, na kinabibilangan ng parehong pagmuni-muni ng aktibidad na pang-edukasyon, at pagsisiyasat ng sarili, at ang pagmuni-muni ng mga damdamin at emosyon.
Anong mga formula ang inulit mo ngayon?
Anong mga formula ang natutunan mo ngayon lang?
Maaaring matagpuan sa pamamagitan ng pag-alam sa base at taas. Ang buong pagiging simple ng scheme ay nakasalalay sa katotohanan na ang taas ay naghahati sa base a sa dalawang bahagi a 1 at 2, at ang tatsulok mismo sa dalawang kanang tatsulok, ang lugar kung saan nakuha at. Kung gayon ang lugar ng buong tatsulok ay ang kabuuan ng dalawang ipinahiwatig na mga lugar, at kung kukuha tayo ng kalahati ng taas mula sa bracket, pagkatapos ay sa kabuuan ay ibabalik natin ang base:
Ang isang mas mahirap na paraan para sa mga kalkulasyon ay ang Heron formula, kung saan kailangan mong malaman ang lahat ng tatlong panig. Para sa formula na ito, kailangan mo munang kalkulahin ang semiperimeter ng tatsulok: 
Ang formula mismo ng Heron ay nagpapahiwatig ng square root ng semi-perimeter, na pinarami naman ng pagkakaiba nito sa bawat panig.
Ang sumusunod na pamamaraan, na may kaugnayan din para sa anumang tatsulok, ay nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang lugar ng tatsulok sa pamamagitan ng dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Ang patunay nito ay sumusunod mula sa pormula na may taas - iginuhit natin ang taas sa alinman sa mga kilalang panig at sa pamamagitan ng sine ng anggulo α nakukuha natin na h=a⋅sinα . Upang kalkulahin ang lugar, i-multiply ang kalahati ng taas sa pangalawang panig.
Ang isa pang paraan ay upang mahanap ang lugar ng isang tatsulok na binibigyan ng 2 anggulo at ang gilid sa pagitan nila. Ang patunay ng formula na ito ay medyo simple, at malinaw na makikita mula sa diagram.
Ibinababa namin ang taas mula sa tuktok ng ikatlong sulok hanggang sa kilalang bahagi at tinatawag ang mga resultang segment na x, ayon sa pagkakabanggit. Makikita mula sa mga right triangle na ang unang segment x ay katumbas ng produkto
