Kahulugan at pagbuo ng mga linyang patayo. Mga linyang patayo at ang kanilang mga katangian. Konstruksyon ng isang patayo na linya

Dalawang linya ay tinatawag na patayo kung sila ay magsalubong sa isang tamang anggulo.
Ang linyang a ay bumabagtas sa linya b sa tamang anggulo sa punto A. Maaari kang mag-hover gamit ang perpendicular icon: a ⊥ b. Ganito ang mababasa: linya a ay patayo sa linya b.
Dapat pansinin na ang isang katabing anggulo at isang patayong anggulo na may tamang anggulo ay mga tamang anggulo din.

Sa bawat punto ng isang linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.

Patunay.

Hayaan ang b ay isang ibinigay na linya at ang punto A ay kabilang sa linyang ito. Kumuha tayo ng ilang ray b1 sa linya b na may panimulang punto sa A. Itabi natin ang anggulo (a1b1) na katumbas ng 90° mula sa ray b1. Sa pamamagitan ng kahulugan, ang linya na naglalaman ng ray a1 ay magiging patayo sa linya b.
Ipagpalagay na may isa pang linya na patayo sa linya b at dumadaan sa punto A. Kunin sa linyang ito ang isang ray c1 na nagmumula sa punto A at nakahiga sa parehong kalahating eroplano bilang ray a1. Pagkatapos ∠ (a1b1) = ∠ (c1b1) = 90 º. Ngunit ayon sa axiom 8, isang anggulo lamang na katumbas ng 90 º ang maaaring itabi sa kalahating eroplanong ito. Samakatuwid, imposibleng gumuhit ng isa pang linya na patayo sa linya b hanggang sa punto A sa ibinigay na kalahating eroplano. Ang teorama ay napatunayan.

Ang patayo sa isang partikular na linya ay isang segment ng isang linya na patayo sa isang partikular na linya na may isa sa mga dulo nito sa punto ng intersection. Ang dulo ng segment na ito ay tinatawag na base ng patayo. Ang AB ay patayo sa linya a. Point A ay ang base ng patayo.

Kahulugan ng mga patayong linya

Mga linyang patayo.

Hayaang ang a at b ay mga tuwid na linya na nagsasalubong sa punto A (Larawan 1). Ang bawat isa sa mga linyang ito ay nahahati sa pamamagitan ng punto A sa dalawang kalahating linya. Ang kalahating linya ng isang linya ay bumubuo ng apat na anggulo na may kalahating linya ng kabilang linya. Hayaang maging isa ang alpha sa mga anggulong ito. Pagkatapos ay alinman sa iba pang tatlong sulok ay magiging katabi ng alpha o patayo sa alpha.

Kasunod nito na kung ang isa sa mga anggulo ay isang tamang anggulo, ang iba pang mga anggulo ay magiging tamang mga anggulo.
Kahulugan.
Ang dalawang linya ay tinatawag na patayo kung sila ay nagsalubong sa tamang anggulo (Larawan 2).

Ang perpendicularity ng mga linya ay ipinahiwatig ng sign na ⊥ Ang pagtatala ng a ⊥ b ay nagsasaad ng: Ang linya a ay patayo sa linya b.
Teorama.

Sa bawat punto ng isang linya, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang linya na patayo dito, at isa lamang.

Patunay.
Hayaan ang isang isang ibinigay na linya at ang A ay isang ibinigay na punto dito. Tukuyin sa pamamagitan ng palakol ang isa sa kalahating linya sa pamamagitan ng tuwid na linya a na may paunang punto A (Larawan 3). Itabi natin ang anggulo (a1b1) na katumbas ng 90° mula sa kalahating linyang a1.
Pagkatapos ang linya na naglalaman ng ray b1 ay magiging patayo sa linya a.

Ipagpalagay natin na may isa pang linya na dumadaan sa punto A at patayo sa linya a. Tukuyin sa pamamagitan ng c1 ang kalahating linya ng linyang ito na nasa parehong kalahating eroplano na may ray b2. Ang mga anggulo (a1b1) at (a1c1), ang bawat isa ay katumbas ng 90°, ay inilatag sa isang kalahating eroplano mula sa kalahating linyang a1. Ngunit isang anggulo lamang na katumbas ng 90° ang maaaring makuha mula sa kalahating linyang a1 papunta sa kalahating eroplanong ito. Samakatuwid, hindi maaaring magkaroon ng isa pang linya na dumadaan sa puntong A at patayo sa linya a. Ang teorama ay napatunayan.

Kahulugan.

Ang perpendicular sa isang partikular na linya ay isang line segment na patayo sa ibinigay na linya, na may isa sa mga dulo nito sa kanilang intersection point. Ang dulo ng segment na ito ay tinatawag na base ng patayo.
Sa Figure 4, ang perpendikular na AB ay iginuhit mula sa punto A hanggang sa linya a. Ang punto B ay ang base ng patayo.

Upang bumuo ng isang patayo, gumamit ng isang drawing square (Larawan 5).

Ang dalawang intersecting na linya ay tinatawag na perpendicular (o mutually perpendicular) kung bumubuo sila ng apat na right angle. Ang perpendicularity ng mga linyang AC at BD ay tinutukoy bilang mga sumusunod: AC ⊥ BD (ito ay nagbabasa: "Ang linyang AC ay patayo sa linyang BD").
Tandaan na ang dalawang linya na patayo sa pangatlo ay hindi nagsalubong (Larawan 6a). Sa katunayan, isaalang-alang ang mga linyang AA1 at BB1 na patayo sa linyang PQ (Larawan 6b). Itiklop natin sa isip ang guhit sa tuwid na linyang PQ upang ang itaas na bahagi ng guhit ay magkakapatong sa ibaba. Dahil ang mga tamang anggulo 1 at 2 ay pantay, ang ray RA ay magkakapatong sa ray PA1. Katulad nito, ang ray QB ay magkakapatong sa ray QB1. Samakatuwid, kung ipagpalagay natin na ang mga linyang AA1 at BB1 ay nagsalubong sa puntong M, ang puntong ito ay ipapatong sa isang puntong M1 na nakahiga din sa mga linyang ito (Larawan 6, c), at makukuha natin na ang dalawang linya ay dumaan sa puntos M at M1: AA1 at BB1. Ngunit ito ay imposible. Samakatuwid, mali ang aming palagay at, samakatuwid, ang mga linyang AA1 at BB1 ay hindi nagsalubong.

Konstruksyon ng mga tamang anggulo sa lupa

Upang bumuo ng mga tamang anggulo sa lupa, ginagamit ang mga espesyal na aparato, ang pinakasimpleng kung saan ay ang eker. Ang Eker ay binubuo ng dalawang bar na matatagpuan sa isang tamang anggulo at naka-mount sa isang tripod (Larawan 7). Sa dulo ng mga bar, ang mga pako ay pinapasok upang ang mga tuwid na linya na dumadaan sa kanila ay magkaparehong patayo. Upang bumuo ng isang tamang anggulo sa lupa na may isang partikular na bahagi ng OA, mag-install ng isang tripod na may isang eker upang ang linya ng tubo ay eksaktong nasa itaas ng punto O, at ang direksyon ng isang bar ay tumutugma sa direksyon ng beam OA. Ang kumbinasyon ng mga direksyon na ito ay maaaring gawin sa tulong ng isang milestone na nakalagay sa beam. Pagkatapos ay nag-hang sila ng isang tuwid na linya sa direksyon ng isa pang bar (tuwid na OB sa Figure 7). Ito ay lumiliko ng isang tamang anggulo AOB.
Sa geodesy, ang mga mas advanced na instrumento, tulad ng isang theodolite, ay ginagamit upang bumuo ng mga tamang anggulo.

Pahalang:
3 . Isang segment ng linya na nag-uugnay sa isang punto sa isang bilog sa gitna nito. 6 . Isang pahayag na hindi nangangailangan ng patunay. 9 . Konstruksyon, sistema ng pag-iisip. 10 . Uri ng quadrilateral. 15 . Isang segment ng linya na nag-uugnay sa dalawang punto sa isang kurba. 16 . Isang sukat ng haba. 17 18 . Ang punto ng intersection ng mga diameters ng isang bilog. 19 . trigonometriko function. 20 . Bahagi ng bilog. 21 . Sinaunang sukat ng haba.
Patayo:
1 . Isang alpabetikong karakter. 2 . Uri ng paralelogram. 4 . Isang chord na dumadaan sa gitna ng isang bilog. 5 . Geometric na elemento. 7 . Isang sinag na naghahati sa isang anggulo. 8 . Simbolo ng alpabetong Griyego. 10 . Ang kabuuan ng mga haba ng mga gilid ng isang tatsulok. 11 . Pantulong na pangungusap na ginagamit para sa patunay. 12 . Tamang tatsulok na elemento. 13 . Isa sa mga magagandang linya ng tatsulok. 14 . trigonometriko function.

Mayroong ganoong gawain:

Mayroong 10 enchanted spring sa Enchanted Forest - mga numero 1, 2, 3, ... 10. Ang tubig ng bawat pinagmumulan ay hindi nakikilala sa kulay, lasa at amoy mula sa ordinaryong tubig, ngunit ito ang pinakamalakas na lason. Ang uminom nito ay tiyak na mapapahamak - kung sa loob lamang ng isang oras pagkatapos nito ay hindi siya uminom ng tubig ng isang mapagkukunan na may mas mataas na bilang (halimbawa, mga mapagkukunan 4-10 na na-save mula sa lason ng pinagmulan 3; ang lason ng ika-10 pinagmulan hindi nag-iwan ng pagkakataon para sa kaligtasan). Ang unang 9 na bukal ay magagamit ng publiko, ngunit ang tagsibol 10 ay nasa kuweba ng Kashchei na Walang Kamatayan, at tanging ang Kashchei lamang ang may access dito.
At pagkatapos ay isang araw hinamon ni Ivan the Fool si Kashchei sa isang tunggalian. Ang mga kondisyon ay simple: bawat isa ay nagdadala ng isang baso ng ilang likido sa kanya, ang mga karibal ay nagpapalitan ng mga baso at inumin ang kanilang mga nilalaman. At pagkatapos ay ginagawa nila ang kanilang makakaya.
Natuwa si Kashchei. Gayunpaman: bibigyan niya si Ivan ng lason na numero 10, at walang makapagliligtas kay Ivan. At siya mismo ay uminom ng lason na ibinigay ni Ivan na may tubig mula sa ika-10 mapagkukunan - at siya ay maliligtas.
Subukang bumuo ng plano ng tunggalian para kay Ivan. Ang gawain ay manatiling buhay at tapusin ang Kashchei.

Sagot 1. Itapon ang Kashchei. Kailangang bigyan siya ng hindi lason, ngunit malinis na tubig. Iinumin niya ito kasama ng kanyang lason - at siya ay mapapahamak.
Sagot 2. Huwag mong papatayin ang sarili mo. Ang anumang lason maliban sa numero 1 ay maaari ding maging isang antidote. Bago ka dumating sa tunggalian, kailangan mong uminom ng lason ng isang maliit na bilang. At pagkatapos ang lason na numero 10, na natanggap mula sa Kashchei sa isang tunggalian, ay hindi papatay, ngunit magliligtas.

Sa pangkalahatan, ang ideya ay walang halaga. Hindi laging posible na timbangin ang isang kilos sa paghihiwalay. Ang parehong aksyon ay maaaring parehong lason at isang panlunas. Marami ang nakasalalay sa background. Hindi ko sasabihin ang lahat, ngunit tiyak na marami.
At kapag narinig mo na ang isa sa iyong mga kakilala ay nakagawa ng ganito-at-ganito at ganito-at-ganyan na mga karumal-dumal na bagay, huwag magmadaling magbitin ng mga label. Sigurado ka bang ito ay kalokohan? Hindi kaya ganito lang ang itsura nila? Sigurado ka bang alam mo ang background ng mga pagkilos na ito?

Konstruksyon ng isang patayo na linya

Ngayon ay susubukan naming bumuo ng isang patayo na linya gamit ang isang compass. Para dito mayroon kaming isang punto O at isang linya a.

Ang unang figure ay nagpapakita ng isang linya kung saan ang punto O ay namamalagi, at sa pangalawa, ang puntong ito ay hindi namamalagi sa linya a.

Ngayon isaalang-alang natin ang dalawang pagpipiliang ito nang hiwalay.

1st option

Una, kumuha kami ng compass, ilagay ito sa gitna ng punto O at gumuhit ng isang bilog na may di-makatwirang radius. Ngayon nakita natin na ang ibinigay na bilog ay nagsalubong sa linya a sa dalawang punto. Hayaan itong maging mga punto A at B.

Susunod, kumukuha kami at gumuhit ng mga bilog mula sa mga puntong A at B. Ang radius ng mga bilog na ito ay magiging AB, ngunit ang puntong C ang magiging intersection point ng mga bilog na ito. Kung natatandaan mo, sa simula pa lang ay nakakuha tayo ng mga puntos A at B nang mag-drawing tayo ng bilog at kumuha ng arbitrary radius.

Bilang isang resulta, nakikita natin na ang nais na patayong linya ay dumadaan sa mga puntong C at O.

Patunay

Para sa patunay na ito, kailangan nating gumuhit ng mga segment na AC at CB. At nakikita natin na ang mga nagresultang tatsulok ay pantay: Δ ACO = Δ BCO, sumusunod ito mula sa ikatlong pamantayan para sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok, iyon ay, lumalabas na ang AO = OB, AC = CB, at CO ay karaniwan sa pamamagitan ng pagtatayo. Ang mga resultang anggulo ∠COA at ∠COB ay pantay at pareho ang magnitude na katumbas ng 90°. Ito ay sumusunod na ang linya CO ay patayo sa AB.

Mula dito maaari nating tapusin na ang mga anggulo na nabuo sa intersection ng dalawang linya ay patayo kung hindi bababa sa isa sa mga ito ay patayo, na nangangahulugan na ang naturang anggulo ay 90 degrees at tama.

2nd option

At ngayon isaalang-alang natin ang isang variant ng pagbuo ng isang patayo na linya, kung saan ang ibinigay na punto ay hindi namamalagi sa linya a.

Sa kasong ito, sa tulong ng isang compass, mula sa punto O, gumuhit kami ng isang bilog na may isang radius na ang bilog na ito ay intersects sa linya a. At hayaan ang mga puntong A at B na maging mga punto ng intersection ng bilog na ito na may ibinigay na linya a.

Dagdag pa, kinukuha namin ang parehong radius, ngunit gumuhit kami ng mga bilog, ang gitna nito ay magiging mga punto A at B. Tinitingnan namin ang figure at nakita namin na mayroon kaming isang punto O1, na kung saan ay din ang punto ng intersection ng mga bilog at kasinungalingan. sa isang kalahating eroplano, ngunit naiiba sa isa kung saan matatagpuan ang puntong O.

Ang susunod na gagawin natin ay gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga puntos na O at O1. Ito ang magiging perpendicular line na hinahanap namin.

Patunay

Ipagpalagay natin na ang punto ng intersection ng mga linya OO1 at AB ay punto C. Pagkatapos ang mga tatsulok na AOB at BO1A ay pantay ayon sa ikatlong tatsulok na equality criterion at AO = OB = AO1 = O1B, at AB ay karaniwan sa pamamagitan ng pagbuo. Mula dito sumusunod na ang mga anggulo ng OAC at O1AC ay pantay. Triangles OAC at O1AC, kasunod ng unang tanda ng pagkakapantay-pantay ng mga triangles, AO ay katumbas ng AO1, at sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga anggulo ng OAC at O1AC ay katumbas ng isang karaniwang AC. Samakatuwid, ang anggulo ng OCA ay katumbas ng anggulo ng O1CA, ngunit dahil magkatabi sila, nangangahulugan ito na sila ay mga tuwid na linya. Samakatuwid, napagpasyahan namin na ang OC ay isang patayo, na bumaba mula sa puntong O hanggang sa linya a.

Kaya, sa tulong lamang ng isang compass at isang ruler, madali kang makabuo ng mga patayong linya. At hindi mahalaga kung saan matatagpuan ang punto kung saan dapat dumaan ang patayo, sa segment o sa labas ng segment na ito, ang pangunahing bagay sa mga kasong ito ay ang tamang paghahanap at pagtatalaga ng mga paunang punto A at B.

Mga Tanong:

1. Aling mga linya ang tinatawag na patayo?
2. Ano ang anggulo sa pagitan ng mga patayong linya?
3. Ano ang iyong ginagamit upang gumuhit ng mga patayong linya?

Anaz. magkabilang patayo kung ang l ay patayo sa alinmang linyang nakahiga sa a. Para sa paglalahat ng konsepto ng perpendicularity, tingnan ang Art. Orthogonality.

Ensiklopedya sa matematika. - M.: Soviet Encyclopedia. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Tingnan kung ano ang "PERPENDICULAR RIGHTS" sa ibang mga diksyunaryo:

Isang binary na ugnayan sa pagitan ng iba't ibang entity (mga vector, linya, subspace, atbp.) sa isang Euclidean space. Isang espesyal na kaso ng orthogonality. Mga Nilalaman 1 Sa eroplano 1.1 Perpendicular ... Wikipedia

Isang sangay ng matematika na nag-aaral ng mga katangian ng iba't ibang hugis (punto, linya, anggulo, dalawang-dimensional at tatlong-dimensional na bagay), ang kanilang sukat at relatibong posisyon. Para sa kaginhawahan ng pagtuturo, ang geometry ay nahahati sa planimetry at solid geometry. SA…… Collier Encyclopedia

CARTESIS COORDINATE SYSTEM, isang rectilinear coordinate system sa isang eroplano o sa kalawakan (karaniwan ay may magkaparehong patayo na mga palakol at parehong sukat sa mga palakol). Pinangalanan pagkatapos ng R. Descartes (tingnan ang mga DEKARTO ni Rene). Unang ipinakilala ni Descartes... encyclopedic Dictionary

Isang sangay ng geometry na nag-aaral ng pinakasimpleng geometric na bagay sa pamamagitan ng elementarya na algebra batay sa paraan ng mga coordinate. Ang paglikha ng analytical geometry ay karaniwang iniuugnay kay R. Descartes, na binalangkas ang mga pundasyon nito sa huling kabanata ng kanyang ... ... Collier Encyclopedia

Isang espasyo na may higit sa tatlong dimensyon (dimensyon). Ang tunay na espasyo ay three-dimensional. Tatlong magkaparehong patayo na linya ang maaaring iguhit sa bawat punto nito, ngunit ang apat ay hindi na maaaring iguhit. Kung gagawin natin ang tatlong linyang ito bilang mga palakol ... ... encyclopedic Dictionary

Ang mundo sa paligid natin ay dinamiko at magkakaibang, at hindi lahat ng bagay ay masusukat lamang gamit ang isang ruler. Para sa naturang paglipat, ginagamit ang mga espesyal na diskarte, tulad ng triangulation. Ang pangangailangan na mag-compile ng mga kumplikadong sweep, bilang panuntunan, ... ... Wikipedia

Isang geometry na katulad ng geometry ng Euclid dahil ito ay tumutukoy sa paggalaw ng mga figure, ngunit naiiba sa Euclidean geometry dahil ang isa sa limang postulate nito (ang pangalawa o ikalima) ay pinalitan ng negasyon nito. Pagtanggi sa isa sa mga postulate ng Euclidean ... ... Collier Encyclopedia

- (makasaysayang) Ang unang konsepto ng K. ay matatagpuan kahit na sa mga ganid, lalo na sa mga nakatira sa tabi ng mga bangko at tungkol sa iyo at pagkakaroon ng higit pa o hindi gaanong malinaw na ideya ng mga lugar na nakapalibot sa kanilang teritoryo. Mga manlalakbay na nagtanong sa mga Eskimo ng S. America at ... Encyclopedic Dictionary F.A. Brockhaus at I.A. Efron

Seksyon ng geometry. Ang mga pangunahing konsepto ng algebraic geometry ay ang pinakasimpleng geometric na imahe (mga punto, linya, eroplano, kurba, at pangalawang-order na ibabaw). Ang pangunahing paraan ng pananaliksik sa A. g. ay ang paraan ng mga coordinate (tingnan sa ibaba) at mga pamamaraan ... ... Great Soviet Encyclopedia

Seksyon ng geometry. Ang mga pangunahing konsepto ng A. g. ay ang pinakasimpleng geometriko. mga larawan (mga punto, linya, eroplano, kurba at ibabaw ng ika-2 ayos). Ang pangunahing paraan ng pananaliksik sa A. g. ay ang paraan ng mga coordinate at ang mga pamamaraan ng elementarya algebra. ... ... Mathematical Encyclopedia

Mga libro

• Isang set ng mga mesa. Geometry. ika-7 baitang. 14 na talahanayan + pamamaraan, . Ang mga talahanayan ay naka-print sa makapal na polygraphic na karton na may sukat na 680 x 980 mm. Kasama sa kit ang isang brochure na may mga rekomendasyong pamamaraan para sa mga guro. Pang-edukasyon na album ng 14 na mga sheet. Sinag at anggulo...

Paunang impormasyon tungkol sa direktang

Ang konsepto ng isang linya, pati na rin ang konsepto ng isang punto, ay ang mga pangunahing konsepto ng geometry. Tulad ng alam mo, ang mga pangunahing konsepto ay hindi tinukoy. Ito ay walang pagbubukod sa konsepto ng isang tuwid na linya. Samakatuwid, isaalang-alang natin ang kakanyahan ng konseptong ito sa pamamagitan ng pagbuo nito.

Kumuha ng ruler at, nang hindi inaangat ang iyong lapis, gumuhit ng isang linya ng di-makatwirang haba. Tatawagin namin ang resultang linya ng isang tuwid na linya. Gayunpaman, dapat tandaan dito na hindi ito ang buong linya, ngunit bahagi lamang nito. Ang linya mismo ay walang katapusan sa magkabilang dulo nito.

Ang mga tuwid na linya ay ilalarawan ng isang maliit na letrang Latin, o ng dalawa sa mga punto nito sa panaklong (Larawan 1).

Ang mga konsepto ng isang linya at isang punto ay konektado sa pamamagitan ng tatlong axioms ng geometry:

Axiom 1: Para sa bawat arbitrary na linya, mayroong hindi bababa sa dalawang puntos na nakalagay dito.

Axiom 2: Posibleng makahanap ng hindi bababa sa tatlong puntos na hindi magsisinungaling sa parehong linya.

Axiom 3: Ang isang linya ay palaging dumadaan sa 2 arbitrary na mga punto, at ang linyang ito ay natatangi.

Para sa dalawang tuwid na linya, ang kanilang kamag-anak na posisyon ay may kaugnayan. Tatlong kaso ang posible:

1. Ang dalawang linya ay pareho. Sa kasong ito, ang bawat punto ng isa ay magiging punto din ng kabilang linya.
2. Dalawang linya ang nagsalubong. Sa kasong ito, isang punto lamang mula sa isang linya ang mapapabilang din sa kabilang linya.
3. Dalawang linya ay parallel. Sa kasong ito, ang bawat isa sa mga linyang ito ay may sariling hanay ng mga puntos na naiiba sa bawat isa.

Perpendicularity ng mga linya

Isaalang-alang ang dalawang arbitrary na intersecting na linya. Malinaw, sa punto ng kanilang intersection, 4 na sulok ang nabuo. Pagkatapos

Kahulugan 1

Ang mga intersecting na linya ay tatawaging patayo kung ang kahit isang anggulo na nabuo ng kanilang intersection ay katumbas ng $90^0$ (Fig. 2).

Notasyon: $a⊥b$.

Isaalang-alang ang sumusunod na problema:

Halimbawa 1

Hanapin ang mga anggulo 1, 2 at 3 mula sa figure sa ibaba

Ang anggulo 2 ay patayo para sa anggulo na ibinigay sa amin, kaya

Ang anggulo 1 ay katabi ng anggulo 2, samakatuwid

$∠1=180^0-∠2=180^0-90^0=90^0$

Sulok 3 ay patayo sa sulok 1, samakatuwid

$∠3=∠1=90^0$

Mula sa problemang ito maaari nating gawin ang sumusunod na pangungusap

Puna 1

Ang lahat ng mga anggulo sa pagitan ng mga perpendicular na linya ay $90^0$.

Pangunahing teorama ng mga patayong linya

Ipinakilala namin ang sumusunod na teorama:

Teorama 1

Ang dalawang linya na patayo sa pangatlo ay hindi magsasalubong.

Patunay.

Isaalang-alang ang Figure 3 ayon sa kondisyon ng problema.

Hatiin natin ang figure na ito sa dalawang bahagi ng tuwid na linya $(ZP)$. Ilagay natin ang kanang bahagi sa kaliwa. Pagkatapos, dahil ang mga linyang $(NM)$ at $(XY)$ ay patayo sa linyang $(PZ)$ at, dahil dito, tama ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito, kung gayon ang sinag na $NP$ ay ganap na nakapatong sa sinag $ PM$, at ang ray na $XZ $ ay ganap na ipapatong sa ray na $YZ$.

Ngayon, ipagpalagay na ang kabaligtaran: hayaan ang mga linyang ito na magsalubong. Ipagpalagay nang walang pagkawala ng pangkalahatan na sila ay bumalandra sa kaliwang bahagi, iyon ay, hayaan ang sinag na $NP$ na bumalandra sa sinag na $YZ$ sa puntong $O$. Pagkatapos, sa pamamagitan ng konstruksyon na inilarawan sa itaas, makukuha natin na ang sinag na $PM$ ay nag-intersect din sa sinag na $YZ$ sa puntong $O"$. Ngunit pagkatapos ay nakukuha natin iyon sa pamamagitan ng dalawang puntos na $O$ at $O"$, mayroong dalawang linya na $(NM)$ at $(XY)$, na sumasalungat sa axiom ng 3 linya.

Samakatuwid, ang mga linyang $(NM)$ at $(XY)$ ay hindi nagsalubong.

Ang teorama ay napatunayan.

Halimbawa ng gawain

Halimbawa 2

Ibinigay ang dalawang linya na may punto ng intersection. Sa pamamagitan ng isang punto na hindi kabilang sa alinman sa mga ito ay iginuhit ang dalawang tuwid na linya, ang isa ay patayo sa isa sa mga linyang inilarawan sa itaas, at ang isa ay patayo sa isa pa sa kanila. Patunayan na hindi sila magkatugma.

Gumuhit tayo ng isang larawan ayon sa kalagayan ng problema (Larawan 4).

Mula sa kalagayan ng problema ay magkakaroon tayo ng $m⊥k,n⊥l$.

Ipagpalagay ang kabaligtaran, hayaan ang mga linyang $k$ at $l$ na magkasabay. Hayaan itong maging tuwid na linya $l$. Pagkatapos, ayon sa kondisyon, $m⊥l$ at $n⊥l$. Samakatuwid, sa pamamagitan ng Theorem 1, ang mga linyang $m$ at $n$ ay hindi nagsasalubong. Nakakuha kami ng kontradiksyon, na nangangahulugan na ang mga linyang $k$ at $l$ ay hindi nagtutugma.

Ang perpendicularity ay ang relasyon sa pagitan ng iba't ibang bagay sa Euclidean space - mga linya, eroplano, vector, subspace, at iba pa. Sa materyal na ito, susuriin natin ang mga patayong linya at ang mga katangiang katangian na nauugnay sa kanila. Ang dalawang linya ay maaaring tawaging patayo (o magkabilang patayo) kung ang lahat ng apat na anggulo na nabuo ng kanilang intersection ay eksaktong siyamnapung digri.

Mayroong ilang mga katangian ng mga patayong linya na natanto sa isang eroplano:

Konstruksyon ng mga patayong linya

Ang mga perpendikular na linya ay itinayo sa isang eroplano gamit ang isang parisukat. Dapat tandaan ng sinumang draftsman na ang isang mahalagang katangian ng bawat parisukat ay ang pagkakaroon nito ng tamang anggulo. Upang lumikha ng dalawang patayong linya, kailangan nating itugma ang isa sa dalawang panig ng tamang anggulo ng ating

pagguhit ng parisukat na may ibinigay na tuwid na linya at gumuhit ng pangalawang tuwid na linya kasama ang pangalawang bahagi ng kanang anggulong ito. Ito ay lilikha ng dalawang patayong linya.

tatlong dimensional na espasyo

Ang isang kawili-wiling katotohanan ay ang mga patayong linya ay maaaring maisakatuparan at sa kasong ito ang dalawang linya ay tatawaging tulad kung sila ay kahanay, ayon sa pagkakabanggit, sa alinmang dalawang iba pang mga linya na nakahiga sa parehong eroplano at patayo din dito. Bilang karagdagan, kung dalawang tuwid na linya lamang ang maaaring patayo sa isang eroplano, kung gayon sa tatlong-dimensional na espasyo mayroon nang tatlo. Bukod dito, ang bilang ng mga patayong linya (o mga eroplano) ay maaaring higit pang madagdagan.