Основанием прямого параллелепипеда является в общем случае. Наклонный параллелепипед: свойства, формулы и задачи репетитора по математике. Текстовая расшифровка урока
Теорема. Во всяком параллелепипеде противоположные грани равны и параллельны.
Так, грани (рис.) BB 1 С 1 С и AA 1 D 1 D параллельны, потому, что две пересекающиеся прямые BB 1 и B 1 С 1 одной грани параллельны двум пересекающимся прямым AA 1 и A 1 D 1 другой. Эти грани и равны, так как B 1 С 1 =A 1 D 1 , B 1 B=A 1 A (как противоположные стороны параллелограммов) и ∠BB 1 С 1 = ∠AA 1 D 1 .
Теорема. Во всяком параллелепипеде все четыре диагонали пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Возьмем (рис.) в параллелепипеде какие-нибудь две диагонали, например, AС 1 и DB 1 , и проведем прямые AB 1 и DС 1 .
Так как ребра AD и B 1 С 1 соответственно равны и параллельны ребру BС, то они равны и параллельны между собой.
Вследствие этого фигура ADС 1 B 1 есть параллелограмм, в котором С 1 A и DB 1 - диагонали, а в параллелограмме диагонали пересекаются пополам.
Это доказательство можно повторить о каждых двух диагоналях.
Поэтому диагональ AC 1 пересекается с BD 1 пополам, диагональ BD 1 с A 1 С пополам.
Таким образом, все диагонали пересекаются пополам и, следовательно, в одной точке.
Теорема. В прямоугольном параллелепипеде квадрат любой диагонали равен сумме квадратов трех его измерений.
Пусть (рис.) AC 1 есть какая-нибудь диагональ прямоугольного параллелепипеда.
Проведя AC, получим два треугольника: AC 1 С и ACB. Оба они прямоугольные:
первый потому, что параллелепипед прямой, и следовательно, ребро СС 1 перпендикулярно к основанию,
второй потому, что параллелепипед прямоугольный, значит в основании его лежит прямоугольник.
Из этих треугольников находим:
AC 2 1 = AC 2 + СС 2 1 и AC 2 = AB 2 + BC 2
Следовательно, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + СС 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1
Следствие. В прямоугольном параллелепипеде все диагонали равны .
Прямоугольный параллелепипед
Прямоугольный параллелепипед – это такой прямой параллелепипед, у которого все грани являются прямоугольниками.
Достаточно посмотреть вокруг себя, и мы увидим, что окружающие нас предметы имеют форму похожую на параллелепипед. Они могут отличать по цвету, иметь массу дополнительных деталей, но если эти тонкости отбросить, то можно сказать, что например шкаф, коробка и т.д., имеют приблизительно одинаковую форму.
С понятием прямоугольного параллелепипеда мы сталкиваемся практически каждый день! Оглянитесь вокруг и скажите, где вы видите прямоугольные параллелепипеды? Посмотрите на книгу, ведь она как раз такой формы! Эту же форму имеют кирпич, спичечный коробок, деревянный брусок, и даже прямо сейчас вы находитесь внутри прямоугольного параллелепипеда, ведь классная комната – это ярчайшая интерпретация этой геометрической фигуры.
Задание: А какие примеры параллелепипеда вы можете назвать?
Давайте более тщательно рассмотрим прямоугольный параллелепипед. И что мы видим?
Во-первых, мы видим, что эта фигура образована из шести прямоугольников, которые являются гранями прямоугольного параллелепипеда;
Во-вторых, прямоугольный параллелепипед имеет восемь вершин и двенадцать ребер. Ребра прямоугольного параллелепипеда – это стороны его граней, а вершины параллелепипеда являются вершинами граней.
Задание:
1. Какое название носит каждая из граней прямоугольного параллелепипеда? 2. Благодаря каким параметрам можно измерить параллелограмм? 3. Дайте определение противоположных граней.
Виды параллелепипедов
Но параллелепипеды бывают не только прямоугольными, но также они могут¬¬ быть прямыми и наклонными, а прямые как раз таки и делятся на прямоугольные, непрямоугольные и кубы.
Задание: Посмотрите на картинку и скажите, какие параллелепипеды на ней изображены. Чем прямоугольный параллелепипед отличается от куба?
Свойства прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед обладаем рядом важнейших свойств:
Во-первых, квадрат диагонали этой геометрической фигуры равняется сумме квадратов трех его основных параметров: высоты, ширины и длины.
Во-вторых, все его четыре диагонали абсолютно идентичны.
В-третьих, если все три параметра параллелепипеда одинаковы, то есть длина, ширина и высота равны, то такой параллелепипед называют кубом, и все его грани будут равны одному и тому же квадрату.
Задание
1. Имеет ли прямоугольный параллелепипед равные грани? Если таковы имеются, то покажите их на рисунке. 2. Из каких геометрических форм состоят грани прямоугольного параллелепипеда? 3. Какое расположение имеют равные грани по отношению друг к другу? 4. Назовите количество пар равных граней данной фигуры. 5. Найдите в прямоугольном параллелепипеде ребра, которые обозначают его длину, ширину, высоту. Сколько вы их насчитали?
Задача
Чтобы красиво оформить подарок на день Рождения маме, Таня взяла коробку в форме прямоугольного параллелепипеда. Размер данной коробки 25см*35см*45см. Чтобы сделать эту упаковку красивой, Таня решила, оклеит ее красивой бумагой, стоимость которой 3 гривны за 1 дм2. Сколько нужно потратить денег на упаковочную бумагу?
А вы знаете, что известный иллюзионист Девид Блейн в рамках эксперимента провел 44 дня в стеклянном параллелепипеде, подвешенном над Темзой. Эти 44 дня он не ел, а только пил воду. В свое добровольное узилище Девид взял только письменные принадлежности, подушку и матрас и носовые платки.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:
Рассмотрим эти предметы:
Строительный кирпич, игральный кубик, микроволновая печь. Эти предметы объединяет форма.
Поверхность, состоящая из двух равных параллелограммов АВСD и А1В1С1D1
и четырех параллелограммов АА1В1В и ВВ1С1С, СС1D1D, АА1D1D называется параллелепипедом.
Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями. Грань А1В1С1D1. Грань ВВ1С1С. Грань АВСD.
При этом грани АВСD и А1В1С1D1 чаще называют основаниями, а остальные грани боковыми.
Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда. Ребро А1В1. Ребро СС1. Ребро АD.
Ребро СС1, не принадлежит основаниям, оно называются боковое ребро.
Вершины параллелограммов называют вершинами параллелепипеда.
Вершина D1. Вершина В. Вершина С.
Вершины D1 и В
не принадлежат одной грани и называются противоположными.
Параллелепипед можно изображать разными способами
Параллелепипед в основании, которого лежит ромб, При этом изображениями граней являются параллелограммы.
Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА1, АВ, АD изображаются штриховыми линиями.
Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат
Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм
Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом.
Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.
Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.
Рассмотрим параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и докажем, например, параллельность и равенство граней ВВ1С1С и АА1D1D.
По определению параллелепипеда грань АВСD параллелограмм, значит по свойству параллелограмма ребро ВС параллельно ребру АD.
Грань АВВ1А1 тоже параллелограмм, значит ребра ВВ1 и АА1 параллельны.
Это означает что две пересекающиеся прямые ВС и BB1 одной плоскости соответственно параллельны двум прямым АD и АА1 соответственно другой плоскости, значит плоскости АВВ1А1 и ВСС1D1 параллельны.
Все грани параллелепипеда параллелограммы а значит ВС=АD, ВВ1 =АА1.
При этом стороны углов В1ВС и А1АD соответственно сонаправлены, значит они равны.
Таким образом, две смежные стороны и угол между ними параллелограмма АВВ1А1 соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС1D1, значит эти параллелограммы равны.
Параллелепипед обладает ещё свойством о диагоналях. Диагональю параллелепипеда называется отрезок соединяющий не соседние вершины. На чертеж пунктирной линией показаны диагонали В1D, BD1, А1С.
Итак, свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.
Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ1D1D. Его диагонали В1D, BD1 являются диагоналями параллелепипеда АВСDА1В1С1D1.
В первом свойстве мы уже выяснили, что ребро ВВ1 параллельно и равно ребру АА1, но ребро АА1 параллельно и равно ребру DD1. Следовательно рёбра ВВ1 и DD1 параллельны и равны, что доказывает четырехугольник ВВ1D1D- параллелограмм. А в параллелограмме по свойству диагонали В1D, BD1 пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.
Четырехугольник ВС1D1А также является параллелограммом и его диагонали С1А, пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали параллелограмма С1А, ВD1 являются диагоналями параллелепипеда, а значит сформулированное свойство доказано.
Для закрепления теоретических знаний о параллелепипеде рассмотрим задачу на доказательство.
На рёбрах параллелепипеда отмечены точки L,M,N,P так, что BL=CM=A1N=D1P. Доказать, что ALMDNB1C1P параллелепипед.
Грань ВВ1А1А параллелограмм, значит ребро ВВ1 равно и параллельно ребру АА1, но по условию отрезки BL и A1N, значит равны и параллельны отрезки LB1 и NA.
3)Следовательно, четырехугольник LB1NA по признаку параллелограмм.
4) Так как СС1D1D-параллелограмм, значит ребро СС1 равно и параллельно ребру D1D, а СМ равно D1P по условию, значит равны и параллельны отрезки МС1и DP
Следовательно, что четырехугольник MC1PD тоже параллелограмм.
5) Углы LB1N и MC1P равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.
6) Мы получили, что у параллелограммов и MC1PD соответствующие стороны равны и углы между ними равны, значит параллелограммы равны.
7) Отрезки равны по условию, значит BLMC- параллелограмм и сторона BC параллельна стороне LM параллельна стороне В1С1.
8) Аналогично из параллелограмма NA1D1P следует, что сторона A1D1 параллельна стороне NP и параллельна стороне AD.
9)Противоположные грани ABB1A1 и DCC1D1 параллелепипеда по свойству параллельны, а отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями равны, значит отрезки В1С1, LM, AD,NP равны.
Получено, что в четырехугольниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD две стороны параллельны и равны, значит они параллелограммы. Тогда наша поверхность ALMDNB1C1P состоит из шести параллелограммов, два из которых равны, а по определению это параллелепипед.
Призма называется параллелепипедом , если её основания - параллелограммы. См.Рис.1 .
Свойства параллелепипеда:
Противоположные грани параллелепипеда параллельны (т.е. лежат в параллельных плоскостях) и равны.
Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.
Смежные грани параллелепипеда – две грани, имеющие общее ребро.
Противоположные грани параллелепипеда – грани, не имеющих общих рёбер.
Противоположные вершины параллелепипеда – две вершины, не принадлежащие одной грани.
Диагональ параллелепипеда – отрезок, который соединяет противоположные вершины.
Если боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований, то параллелепипед называется прямым .
Прямой параллелепипед, основания которого – прямоугольники, называется прямоугольным . Призма, все грани которой - квадраты, называется кубом .
Параллелепипед – призма, у которой основаниями служат параллелограммы.
Прямой параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые ребра перпендикулярны плоскости основания.
Прямоугольный параллелепипед – это прямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники.
Куб – прямоугольный параллелепипед с равными ребрами.
Параллелепипедом называется призма, основание которой – параллелограмм; таким образом, параллелепипед имеет шесть граней и все они - параллелограммы.
Противоположные грани попарно равны и параллельны. Параллелепипед имеет четыре диагонали; все они пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. За основание может быть принята любая грань; объем равен произведению площади основания на высоту: V = Sh.
Параллелепипед, четыре боковые грани которого - прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все шесть граней - прямоугольники, называется прямоугольным. См.Рис.2 .
Объем (V) прямого параллелепипеда равен произведению площади основания (S) на высоту (h): V = Sh .
Для прямоугольного параллелепипеда, кроме того, имеет место формула V=abc , где a,b,c - ребра.
Диагональ (d) прямоугольного параллелепипеда связана с его ребрами соотношением d 2 = а 2 + b 2 + c 2 .
Прямоугольный параллелепипед – параллелепипед, у которого боковые рёбра перпендикулярны основаниям, а основания прямоугольниками.
Свойства прямоугольного параллелепипеда:
В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней – прямоугольники.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда прямые.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длин трёх рёбер, имеющих общую вершину).
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Прямоугольный параллелепипед, все грани которого - квадраты, называется кубом. Все ребра куба равны; объем (V) куба выражается формулой V=a 3 , где a - ребро куба.
