Ang dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkapareho o magsalubong.

Ang mga eroplano ay parallel kung ang dalawang intersecting na linya ng isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya ng isa pang eroplano.

Ang pagpili ng mga gilid ng mga tatsulok ay di-makatwiran, dahil sa pamamagitan lamang ng pagtatayo ay maaaring matukoy ng isa kung aling panig ng kung aling tatsulok ang aktwal na bumalandra sa eroplano ng isa pa. Ang pagpili ng auxiliary plane ay arbitrary din, dahil ang tuwid na linya pangkalahatang posisyon, na lahat ng panig ∆ ABC at ∆ DEF, ay maaaring nakapaloob sa isang horizontally projecting o frontally projecting na eroplano.

1. Upang bumuo ng isang punto M ginamit na horizontally projecting auxiliary plane F (F AB tatsulok ABC (AB Î F).

2. Binubuo namin ang linya ng intersection (sa pagguhit ay ibinibigay ng mga puntos 1 at 2) ng auxiliary plane F (F 2) at ang eroplano ∆ DEF.

3. Humanap ng punto M intersection ng linya 1–2 na may linya AB.

Isang punto ang natagpuan M gustong linya ng intersection.

4. Upang bumuo ng isang punto N ginamit na horizontal projection plane R (R 2) kung saan ang partido ay nakapaloob EF tatsulok DEF.

Ang konstruksiyon ay katulad ng mga nauna.

5. Pagtukoy sa visibility ng mga elemento sa eroplano P Ang 2 ay ginawa gamit ang mga puntos na nakikipagkumpitensya sa harap na 1=2 at 5=2.

Punto 5 (5О AB) ay matatagpuan mas malayo mula sa axis X kaysa sa punto 1 (1О D.F.), kaya sa eroplano P 2 bahaging tatsulok ABC, na matatagpuan patungo sa punto 1, ay sumasaklaw sa isang bahagi ng tatsulok DEF matatagpuan mula sa intersection line patungo sa point 5.

Sa planimetry, ang eroplano ay isa sa mga pangunahing figure, samakatuwid, napakahalaga na magkaroon ng isang malinaw na ideya ng bit. Ang artikulong ito ay nilikha upang masakop ang paksang ito. Una, ang konsepto ng isang eroplano, ang graphical na representasyon nito, at ang mga pagtatalaga ng mga eroplano ay ipinapakita. Dagdag pa, ang eroplano ay isinasaalang-alang kasama ng isang punto, isang tuwid na linya o ibang eroplano, habang ang mga pagpipilian ay lumabas mula sa kamag-anak na posisyon sa kalawakan. Sa pangalawa, pangatlo at ikaapat na talata ng artikulo, ang lahat ng mga variant ng magkaparehong pag-aayos ng dalawang eroplano, isang tuwid na linya at isang eroplano, pati na rin ang isang punto at isang eroplano, ay nasuri, ang mga pangunahing axiom at mga graphic na paglalarawan ay ibinigay. Sa konklusyon, ang mga pangunahing paraan ng pagtukoy ng isang eroplano sa espasyo ay ibinigay.

Pag-navigate sa pahina.

Plane - mga pangunahing konsepto, notasyon at imahe.

Ang pinakasimple at basic mga geometric na hugis sa tatlong-dimensional na espasyo ay isang punto, isang linya at isang eroplano. Mayroon na kaming ideya ng isang punto at isang linya sa eroplano. Kung maglalagay tayo ng isang eroplano kung saan ang mga punto at linya ay inilalarawan sa tatlong-dimensional na espasyo, pagkatapos ay makakakuha tayo ng mga puntos at linya sa kalawakan. Ang ideya ng isang eroplano sa kalawakan ay nagpapahintulot sa iyo na makuha, halimbawa, ang ibabaw ng isang mesa o dingding. Gayunpaman, ang isang mesa o dingding ay may mga may hangganang sukat, at ang eroplano ay lumalampas sa kanilang mga hangganan hanggang sa kawalang-hanggan.

Ang mga punto at linya sa espasyo ay tinutukoy sa parehong paraan tulad ng sa isang eroplano - sa malaking titik at maliliit na Latin na titik, ayon sa pagkakabanggit. Halimbawa, ang mga puntong A at Q, mga linyang a at d. Kung ang dalawang puntos ay ibinigay na kasinungalingan sa isang linya, kung gayon ang linya ay maaaring tukuyin ng dalawang titik na tumutugma sa mga puntong ito. Halimbawa, ang linyang AB o BA ay dumadaan sa mga puntong A at B. Ang mga eroplano ay karaniwang tinutukoy ng maliliit na letrang Griyego, halimbawa, mga eroplano, o.

Kapag nilulutas ang mga problema, kinakailangan na ilarawan ang mga eroplano sa pagguhit. Ang eroplano ay karaniwang inilalarawan bilang isang paralelogram o isang arbitrary na simpleng saradong lugar.

Ang eroplano ay karaniwang isinasaalang-alang kasama ng mga punto, tuwid na linya o iba pang mga eroplano, at iba't ibang mga variant ng kanilang mutual arrangement ay lumitaw. Bumaling kami sa kanilang paglalarawan.

Mutual arrangement ng isang eroplano at isang punto.

Magsimula tayo sa isang axiom: may mga puntos sa bawat eroplano. Mula dito ay sumusunod sa unang variant ng magkaparehong pag-aayos ng eroplano at ang punto - ang punto ay maaaring kabilang sa eroplano. Sa madaling salita, ang isang eroplano ay maaaring dumaan sa isang punto. Upang ipahiwatig ang pag-aari ng isang punto sa anumang eroplano, ang simbolo na "" ay ginagamit. Halimbawa, kung ang eroplano ay dumaan sa punto A, maaari mong isulat sa madaling sabi ang .

Dapat itong maunawaan na mayroong walang katapusang maraming mga punto sa isang naibigay na eroplano sa kalawakan.

Ang sumusunod na axiom ay nagpapakita kung gaano karaming mga punto sa espasyo ang dapat markahan upang matukoy nila ang isang partikular na eroplano: sa pamamagitan ng tatlong mga punto na hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, isang eroplano ang pumasa, at isa lamang. Kung ang tatlong puntos ay kilala na nasa isang eroplano, kung gayon ang eroplano ay maaaring tukuyin ng tatlong titik na tumutugma sa mga puntong ito. Halimbawa, kung ang eroplano ay dumaan sa mga puntong A, B at C, maaari itong italagang ABC.

Bumuo tayo ng isa pang axiom, na nagbibigay ng pangalawang variant ng magkaparehong pag-aayos ng eroplano at ang punto: mayroong hindi bababa sa apat na puntos na hindi nakahiga sa parehong eroplano. Kaya, ang isang punto sa kalawakan ay maaaring hindi kabilang sa eroplano. Sa katunayan, sa pamamagitan ng naunang axiom, ang isang eroplano ay dumadaan sa tatlong punto ng espasyo, at ang ikaapat na punto ay maaaring o hindi nakahiga sa eroplanong ito. Kapag shorthand, ang simbolo na "" ay ginagamit, na katumbas ng pariralang "ay hindi kabilang."

Halimbawa, kung ang punto A ay hindi namamalagi sa eroplano, pagkatapos ay isang maikling notasyon ang ginagamit.

Linya at eroplano sa kalawakan.

Una, ang isang linya ay maaaring magsinungaling sa isang eroplano. Sa kasong ito, hindi bababa sa dalawang punto ng linyang ito ang nasa eroplano. Ito ay itinatag ng axiom: kung ang dalawang punto ng isang linya ay nasa isang eroplano, kung gayon ang lahat ng mga punto ng linyang ito ay nasa eroplano. Para sa isang maikling tala ng pag-aari sa isang tiyak na linya ng isang naibigay na eroplano, gamitin ang simbolo na "". Halimbawa, ang entry ay nangangahulugan na ang linya a ay nasa eroplano.

Pangalawa, ang linya ay maaaring bumalandra sa eroplano. Sa kasong ito, ang linya at ang eroplano ay may isang solong karaniwang punto, na tinatawag na punto ng intersection ng linya at ng eroplano. Sa isang maikling tala, ang intersection ay tinutukoy ng simbolo na "". Halimbawa, ang entry ay nangangahulugan na ang linya a ay nag-intersect sa eroplano sa puntong M. Kapag ang isang tiyak na linya ay nagsalubong sa isang eroplano, ang konsepto ng isang anggulo sa pagitan ng isang linya at isang eroplano ay lumitaw.

Hiwalay, ito ay nagkakahalaga ng paninirahan sa isang linya na nagsasalubong sa isang eroplano at patayo sa anumang linya na nakahiga sa eroplanong ito. Ang nasabing linya ay tinatawag na patayo sa eroplano. Para sa isang maikling talaan ng perpendicularity, ang simbolo na "" ay ginagamit. Para sa mas malalim na pag-aaral ng materyal, maaari kang sumangguni sa artikulong perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Ang partikular na kahalagahan sa paglutas ng mga problema na may kaugnayan sa eroplano ay ang tinatawag na normal na vector ng eroplano. Ang isang normal na vector ng isang eroplano ay anumang di-zero na vector na nakahiga sa isang linya na patayo sa eroplanong ito.

Pangatlo, ang isang tuwid na linya ay maaaring maging parallel sa isang eroplano, iyon ay, walang mga karaniwang punto dito. Kapag shorthand para sa parallelism, ang simbolo na "" ay ginagamit. Halimbawa, kung ang linya a ay parallel sa eroplano, maaari mong isulat ang . Inirerekomenda namin na pag-aralan mo ang kasong ito nang mas detalyado sa pamamagitan ng pagsangguni sa artikulo parallelism ng isang tuwid na linya at isang eroplano.

Dapat sabihin na ang isang tuwid na linya na nakahiga sa isang eroplano ay naghahati sa eroplanong ito sa dalawang kalahating eroplano. Ang tuwid na linya sa kasong ito ay tinatawag na hangganan ng kalahating eroplano. Ang alinmang dalawang punto ng parehong kalahating eroplano ay nasa magkabilang panig ng linya, at dalawang punto ng magkaibang kalahating eroplano ay nasa magkabilang panig ng boundary line.

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano.

Dalawang eroplano sa kalawakan ang maaaring magkasabay. Sa kasong ito, mayroon silang hindi bababa sa tatlong puntos na magkakatulad.

Dalawang eroplano sa kalawakan ang maaaring magsalubong. Ang intersection ng dalawang eroplano ay isang tuwid na linya, na itinatag ng axiom: kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon mayroon silang isang karaniwang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga karaniwang punto ng mga eroplano ay namamalagi.

Sa kasong ito, lumitaw ang konsepto ng anggulo sa pagitan ng mga intersecting na eroplano. Ang partikular na interes ay ang kaso kapag ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay siyamnapung degree. Ang ganitong mga eroplano ay tinatawag na patayo. Napag-usapan namin ang tungkol sa mga ito sa artikulong perpendicularity ng mga eroplano.

Sa wakas, ang dalawang eroplano sa kalawakan ay maaaring magkatulad, iyon ay, walang mga karaniwang punto. Inirerekomenda namin na basahin mo ang artikulo parallelism ng mga eroplano upang makakuha ng kumpletong larawan ng variant na ito ng kamag-anak na posisyon ng mga eroplano.

Mga pamamaraan ng kahulugan ng eroplano.

Ngayon ay inilista namin ang mga pangunahing paraan upang magtakda ng isang tiyak na eroplano sa kalawakan.

Una, ang isang eroplano ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng pag-aayos ng tatlong punto sa espasyo na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Ang pamamaraang ito ay batay sa axiom: sa pamamagitan ng anumang tatlong puntos na hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya, mayroon lamang isang eroplano.

Kung ang isang eroplano ay naayos at nakatakda sa tatlong-dimensional na espasyo sa pamamagitan ng pagtukoy sa mga coordinate ng tatlo nito iba't ibang puntos, hindi nakahiga sa isang tuwid na linya, pagkatapos ay maaari nating isulat ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa tatlong ibinigay na mga punto.

Dalawa ang mga sumusunod na paraan Ang mga pagtatalaga sa eroplano ay bunga ng nauna. Ang mga ito ay batay sa mga kahihinatnan ng axiom tungkol sa isang eroplano na dumadaan sa tatlong punto:

• ang isang eroplano ay dumadaan sa isang linya at isang punto na hindi nakahiga dito, bukod dito, isa lamang (tingnan din ang artikulong equation ng isang eroplano na dumadaan sa isang linya at isang punto);
• ang isang solong eroplano ay dumadaan sa dalawang intersecting na linya (inirerekumenda namin na pamilyar ka sa materyal ng artikulo ang equation ng isang eroplano na dumadaan sa dalawang intersecting na linya).

Ang ikaapat na paraan upang tukuyin ang isang eroplano sa kalawakan ay batay sa kahulugan ng mga parallel na linya. Alalahanin na ang dalawang linya sa kalawakan ay tinatawag na parallel kung nakahiga sila sa parehong eroplano at hindi nagsalubong. Kaya, sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang magkatulad na linya sa espasyo, tinutukoy natin ang tanging eroplano kung saan namamalagi ang mga linyang ito.

Kung sa tatlong-dimensional na espasyo na may paggalang sa isang rectangular coordinate system, ang isang eroplano ay ibinibigay sa ganitong paraan, kung gayon maaari tayong bumuo ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa dalawang magkatulad na linya.

alam ko mataas na paaralan sa mga aralin sa geometry, ang sumusunod na teorama ay napatunayan: ang isang eroplano ay dumadaan sa isang nakapirming punto sa espasyo, patayo sa isang naibigay na linya. Kaya, maaari nating tukuyin ang isang eroplano kung tinukoy natin ang isang punto kung saan ito dumadaan at isang linya na patayo dito.

Kung ang isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ay naayos sa tatlong-dimensional na espasyo at ang isang eroplano ay ibinigay sa ipinahiwatig na paraan, kung gayon posible na bumuo ng isang equation para sa isang eroplano na dumadaan sa isang ibinigay na punto na patayo sa isang ibinigay na tuwid na linya.

Sa halip na isang tuwid na linya na patayo sa isang eroplano, maaaring tukuyin ang isa sa mga normal na vector ng eroplanong ito. Sa kasong ito, posible na magsulat

Sa bisa ng axiom: dalawang eroplano na may isang karaniwang punto ay may isang karaniwang linya - dalawang kaso lamang ng lokasyon ng mga eroplano ang posible: 1) ang mga eroplano ay may isang karaniwang linya, iyon ay, sila ay nagsalubong; 2) ang mga eroplano ay walang isang solong karaniwang punto, ang mga naturang eroplano ay tinatawag na parallel. Ang pagkakaroon ng mga parallel na eroplano ay sumusunod mula sa sumusunod na konstruksyon. Sumakay sa eroplano (Larawan 331) anumang dalawang magkasalubong na linya a at b.

Sa pamamagitan ng puntong M, na hindi kabilang sa X plane, gumuhit kami ng mga linya a at b, ayon sa pagkakabanggit, parallel sa data. Ipakita natin na ang eroplanong naglalaman ng mga linyang ito ay parallel sa eroplano. Sa katunayan, kung ang mga eroplanong ito ay bumalandra sa ilang linya c, kung gayon ang linyang ito, na kabilang sa eroplano, ay magsa-intersect ng hindi bababa sa isa sa mga linya a, at ang naturang intersection point ay ang punto ng intersection ng isa sa mga linyang ito sa eroplano . Samantala, ang parehong mga linya ay parallel sa eroplano sa pamamagitan ng konstruksiyon. Kaya, ang pagpapalagay na ang mga eroplano ay bumalandra ay humahantong sa isang kontradiksyon. Samakatuwid, ang mga eroplano ay parallel. ito ay nagpapahiwatig

Isang tanda ng parallel na eroplano. Kung ang dalawang intersecting na linya sa isang eroplano ay parallel sa dalawang intersecting na linya sa isa pang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay parallel.

Eroplano, linya, punto - ang mga pangunahing konsepto ng geometry. Mahirap para sa amin na bigyan sila ng malinaw na mga kahulugan, ngunit intuitively naiintindihan namin kung ano ang mga ito. Dalawang dimensyon lang ang eroplano. Wala siyang lalim. Ang isang tuwid na linya ay may isang dimensyon lamang, at ang isang punto ay walang mga sukat - walang haba, walang lapad, walang taas.

Ang eroplano ay walang katapusan. Samakatuwid, sa mga gawain ay gumuhit lamang kami ng bahagi ng eroplano. Kailangan mong i-portray ito kahit papaano.

At ano ang hitsura ng lahat ng ito sa kalawakan? Napakasimple. Ang isang sheet ng makapal na papel ay magsisilbing isang "modelo" ng eroplano. Maaari kang kumuha ng isa pang patag na bagay, halimbawa, isang CD, isang plastic card. Ang mga lapis ay maaaring maglarawan ng mga tuwid na linya. Ang lahat ng mga axiom at theorems ng stereometry ay maaaring ipakita "sa mga daliri", iyon ay, sa tulong ng mga improvised na materyales. Basahin - at agad na bumuo ng tulad ng isang "modelo".

Dalawang eroplano sa kalawakan ay magkapareho o magsalubong. Ang mga halimbawa sa nakapalibot na lugar ay madaling mahanap.

Kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, pagkatapos ay bumalandra sila sa isang tuwid na linya.

Hindi namin isinasaalang-alang nang hiwalay ang kaso ng "nagtutugma ang mga eroplano". Dahil magkasabay sila, nangangahulugan ito na ito ay isang eroplano, hindi dalawa.

Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Hayaan ang mga eroplano at ibigay ng mga equation at , ayon sa pagkakabanggit. Kinakailangang hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong ito.

Ang mga eroplano, na intersecting, ay bumubuo ng apat na dihedral na anggulo (Larawan 11.6): dalawang obtuse at dalawang acute o apat na tuwid na linya, ang parehong mga obtuse na anggulo ay pantay sa isa't isa, at ang parehong acute na anggulo ay pantay din sa isa't isa. Palagi kaming maghahanap ng isang matinding anggulo. Upang matukoy ang halaga nito, kumuha kami ng isang punto sa linya ng intersection ng mga eroplano at sa puntong ito sa bawat isa sa mga eroplano ay gumuhit kami ng mga patayo sa linya ng intersection. Gumuhit din kami ng mga normal na vector at eroplano at may mga pinagmulan sa isang punto (Larawan 11.6).

Fig. 11.6 Anggulo sa pagitan ng mga eroplano

Kung ang isang eroplano ay iginuhit sa pamamagitan ng isang puntong patayo sa linya ng intersection ng mga eroplano at , kung gayon ang mga linya at at mga imahe ng mga vectors at makikita sa eroplanong ito. Gumawa tayo ng isang pagguhit sa isang eroplano (dalawang pagpipilian ang posible: Fig. 11.7 at 11.8).

Fig. 11.7 Ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector ay talamak

Fig.11.8. Ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector ay mahina

Sa isang bersyon (Larawan 11.7) at, samakatuwid, ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector katumbas ng anggulo, na kung saan ay ang linear na anggulo ng matinding dihedral na anggulo sa pagitan ng mga eroplano at .

Sa pangalawang variant (Larawan 11.8), at ang anggulo sa pagitan ng mga normal na vector ay . kasi

pagkatapos ay sa parehong mga kaso .

Sa pamamagitan ng kahulugan ng scalar product . saan

at naaayon

Kung ang mga eroplano ay parallel, kung gayon ang kanilang mga normal na vector ay collinear. Nakukuha namin ang kondisyon ng mga parallel na eroplano

(11.6)

kung saan ang anumang numero.

23.Iba't ibang uri mga equation ng isang tuwid na linya sa espasyo Vector-parametric equation ng isang tuwid na linya saan - isang nakapirming punto na nakahiga sa isang tuwid na linya; - vector ng direksyon. Sa mga coordinate (parametric equation): Mga equation ng isang tuwid na linya sa dalawang puntos 24. Iba't ibang uri ng equation ng isang tuwid na linya sa espasyo Canonical equation ng tuwid na linya Parametric equation ng isang tuwid na linya nakukuha natin sa pamamagitan ng pagtutumbas ng bawat isa sa mga relasyon (3.4) sa parameter na t: x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . 25. Parehong posisyon ng mga linya Dalawang linya sa espasyo ay maaaring magsalubong, magsalubong at maaaring magkatulad. 1. Mga linyang interseksyon Ang mga intersecting na linya ay ang mga linyang may isang karaniwang punto. Ito ay sumusunod mula sa invariant property 5 na ang projection ng intersection point ng mga projection ng mga linya a at b ay ang intersection point ng mga linyang ito (Fig. 3.4). . kanin. 3.4. mga linyang interseksyon 2. Parallel lines Sa fig. Ang 3.5 ay nagpapakita ng mga parallel na linya - mga linyang nagsa-intersecting sa isang hindi tamang punto (mga linyang nakahiga sa parehong eroplano at nagsa-intersecting sa isang punto sa infinity). Ito ay sumusunod mula sa invariant property 6 na ang mga projection ng parallel lines a at b ay parallel. 3. Mga crossed lines Ang mga crossing lines ay mga linya na hindi nakahiga sa parehong eroplano; ang mga ito ay mga linya na walang iisang karaniwang punto. Sa kumplikadong pagguhit (Larawan 3.6), ang mga intersection point ng mga projection ng mga linyang ito ay hindi nakahiga sa parehong patayo sa X axis (hindi tulad ng mga intersecting na linya, tingnan ang Fig. 3.4). . kanin. 3.5. Larawan ng mga parallel na linya . kanin. 3.6. Mga intersecting na linya Ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang linya ay katumbas ng haba ng patayo na bumaba mula sa punto hanggang sa linya. Kung ang linya ay parallel sa projection plane (h | | P 1), pagkatapos ay upang matukoy ang distansya mula sa punto A hanggang linya h, kinakailangan na ibaba ang patayo mula sa punto A hanggang sa pahalang na h. Distansya sa pagitan ng mga skew na linya (mga salita at halimbawa) Ang karaniwang perpendicular ng dalawang intersecting na linya ay isang segment na ang mga dulo ay nasa mga linyang ito, at ito ay patayo sa bawat isa sa mga linyang ito. Ang dalawang intersecting na linya ay may isang karaniwang patayo, at higit pa rito, isa lamang. Ito ay isang karaniwang patayo ng magkatulad na mga eroplano, na ang bawat isa ay dumadaan sa isang tuwid na linya na kahanay sa isa pa. Sa fig. 36 mayroon tayong dalawang intersecting na linya a at b. Ang isang eroplano ay iginuhit sa bawat isa sa kanila (ang eroplano ay dumadaan sa a, ang eroplano ay dumaan sa b), parallel sa iba pang tuwid na linya. Ang mga segment ng parallel lines na nakapaloob sa pagitan ng parallel lines ay pantay.

Mutual na pag-aayos ng mga eroplano sa kalawakan

Sa magkaparehong pag-aayos ng dalawang eroplano sa kalawakan, posible ang isa sa dalawang magkatulad na kaso.

1. Ang dalawang eroplano ay may iisang punto. Pagkatapos, sa pamamagitan ng axiom ng intersection ng dalawang eroplano, mayroon silang isang karaniwang linya. Sabi ng Axiom R5: kung ang dalawang eroplano ay may isang karaniwang punto, kung gayon ang intersection ng mga eroplanong ito ay ang kanilang karaniwang linya. Mula sa axiom na ito ay sumusunod na para sa mga eroplano Ang nasabing mga eroplano ay tinatawag na intersecting.

Ang dalawang eroplano ay walang karaniwang punto.

3. Dalawang eroplano ang magkasabay

3. Mga vector sa eroplano at sa kalawakan

Ang vector ay isang nakadirekta na segment ng linya. Ang haba nito ay itinuturing na haba ng segment. Kung ang dalawang puntos na M1 (x1, y1, z1) at M2 (x2, y2, z2) ay ibinigay, kung gayon ang vector

Kung ang dalawang vector ay ibinigay at pagkatapos

1. Haba ng mga vector

2. Kabuuan ng mga vector:

3. Ang kabuuan ng dalawang vectors a at b ay ang dayagonal ng isang parallelogram na binuo sa mga vector na ito, na nagmumula sa isang karaniwang punto ng kanilang aplikasyon (parallelogram rule); o isang vector na nagkokonekta sa simula ng unang vector sa dulo ng huli - ayon sa tuntunin ng tatsulok. Ang kabuuan ng tatlong vectors a, b, c ay ang dayagonal ng parallelepiped na binuo sa mga vectors na ito (ang panuntunan ng parallelepiped).

Isaalang-alang:

• 1. Ang pinagmulan ng mga coordinate ay nasa punto A;
• 2. Ang gilid ng kubo ay isang solong segment.
• 3. Idinidirekta namin ang OX axis sa gilid ng AB, OY sa gilid ng AD, at ang OZ axis sa gilid ng AA1.

Para sa ilalim na eroplano ng kubo