Муниципальное автономное общеобразовательное учереждение «Лицей №1» г. Новтроицка

Исследовательская работа

Методы решения уравнений и неравенств с параметром

Математическое моделирование

Выполнил:

ученик 11 А класса МОАУ

«Лицей №1»

Руководитель:

учитель высшей

Новотроицк

Введение. 3

Параметр. 5

Методы решения тригонометрических уравнений с параметром. 9

Методы решения показательных и логарифмических уравнений и неравенств с параметром. 17

Методы решения систем уравнений и неравенств. 22

Заключение. 31

Список используемой литературы.. 32

Введение

Уравнения с параметром вызывают большие затруднения у учащихся 9-11 классов. Это связано с тем, что решение таких уравнений требует не только знания свойств функций и уравнений, умения выполнять алгебраические преобразования, но также высокой логической культуры и техники исследования.

Трудности при изучении данного вида уравнений связаны со следующими их особенностями:

· обилие формул и методов, используемых при решении уравнений данного вида;

· возможность решения одного и того же уравнения, содержащего параметр, различными способами.

Актуальность темы обуславливается недостаточным содержанием задач по данной теме в учебнике «Алгебра 11 класс ».

Важность данной темы определяется необходимостью уметь решать такие уравнения с параметрами как и при сдачи Единого Государственного экзамена, так и при вступительных экзаменах в высшие учебные заведения.

Объект исследования : задачи с параметрами.

Цель данной работы :

Выявить, обосновать и наглядно показать способы решения всех типов уравнений с параметрами;

Решить уравнения с параметрами;

Углубить теоретические знания по решению уравнений с параметрами;

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Дать определения понятиям уравнение с параметрами;

2. Показать способы решения уравнений с параметрами.

Достоинство моей работы заключается в следующем: указываются алгоритмы решения уравнений с параметрами; задачи часто встречаются на различных экзаменах и олимпиадах. Работа поможет ученикам сдать Единый Государственный Экзамен.

Мои действия:

1. Подобрать и изучить литературу;

2. Решить подобранные задачи;

Параметр

Имеется несколько определений параметра:

- Параметр – это величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но в другой задаче меняет свои значения (, - «Толковый словарь математических терминов»).

- Переменныеa , b , c , …, k , которые при решении уравнения или неравенства считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение (неравенство) называется уравнением (неравенством), содержащим параметры (– «Репетитор по математике», Ростов-на-Дону «Феникс» 1997).

Решение большинства уравнений, содержащих параметр, сводится к квадратным уравнениям с параметром . Следовательно, чтобы научиться решать показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и системы уравнений с параметром, нужно сначала приобрести навыки решения квадратных уравнений с параметром .

Уравнение вида ax 2 + bx + c =0 , где х – неизвестная, a, b, c – выражения, зависящие только от параметров, а¹0, называется квадратным уравнением относительно х. Допустимыми будем считать только те значения параметров, при которых a, b, c действительны.

Контрольные значения параметра

Для решения квадратных уравнений с параметром необходимо находить контрольные значения параметра.

Контрольные значения параметра – те значения, при которых обращается в 0:

Старший коэффициент в уравнении или в неравенстве;

Знаменатели в дроби;

Дискриминант квадратного двучлена.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром.

Общая схема решения уравнений, приводимых к квадратным уравнениям с параметром:

1. Указать и исключить все значения параметра и переменной, при которых уравнение теряет смысл.

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель, не равный нулю.

3. Преобразовать уравнение-следствие к виду https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - действительные числа или функции от параметра.

4. Решить полученное уравнение, рассмотрев случаи:

а) ; б) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Так как х должен лежать на промежутке от 1 до 6, то:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

у(1)>0 у=1-4b+4b2– 1>0

у(6)> 0 у=36-24b+4b2– 1>0

хвÎ(1; 6) 1<-<6

bÎ(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bÎ(1; 2,5)

Ответ: корни уравнения х2-4bх+4b2–1=0 лежат на промежутке от

Департамент образования Владимирской области

Управления образования Судогодского района

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Мошокская средняя общеобразовательная школа»

« Решение уравнений и неравенств с параметром »

Разработала: Гаврилова Г.В.

учитель математики

моу «Мошокская средняя

общеобразовательная школа»

2009 год

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Пояснительная записка
Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.

7 класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.

8 класс – при изучении квадратных уравнений.

Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных экзаменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

Основная задача курса – познакомить учащихся с общими подходами решения заданий с параметрами, подготовить учащихся таким образом, чтобы они смогли в атмосфере конкурсного экзамена успешно справиться с задачами, содержащие параметры.

Решить уравнение, определить количество решений, исследовать уравнение, найти положительные корни, доказать, что неравенство не имеет решений и т.д.- все это варианты параметрических примеров. Поэтому невозможно дать универсальных указаний по решению примеров, в данном курсе рассматриваются различные примеры с решениями. Материал курса представлен по схеме: справочные сведения, примеры с решениями, примеры для самостоятельной работы, примеры для определения успешности усвоения материала.

Решение заданий с параметрами способствуют формированию навыков исследовательской деятельности, интеллектуальному развитию.

Цели курса:

Систематизировать знания учащихся, полученные в 7 и 8 классах, при решении линейных и квадратных уравнений и неравенств;

Выявить и развить их математические способности;

Создать целостное представление о решении линейных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Создать целостное представление о решении квадратных уравнений и неравенств, содержащих параметры;

Углубить знания по математике, предусматривающие формирование у учащихся устойчивого интереса к предмету;

• 
  обеспечить подготовку к профессиональной деятельности, требующей высокой математической культуры.

Учебно-тематический план

№ п/п	Тема	Кол-во часов	Виды деятельности
1.			Практикум
2.	Первоначальные сведения о задачах с параметром.		Семинар
3.	Решение линейных уравнений, содержащих параметры.
4.	Решение линейных неравенств, содержащих параметры.		Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа.
5.	Квадратные уравнения. Теорема Виета.	3	Исследовательская работа; отработка навыков; самостоятельная работа.
6.	Успешность усвоения курса	1	Итоговая контрольная работа

Тема 1. Решение линейных уравнений и неравенств, квадратных уравнений и неравенств, решение задач на применение теоремы Виета.
Тема 2. Первоначальные сведения о задачах с параметром.

Понятие параметра. Что означает «решить задачу с параметром»? Основные типы задач с параметром. Основные способы решения задач с параметром.

Примеры решения линейных уравнений с параметром.
Тема 4. Решение линейных неравенств, содержащих параметры.

Примеры решения линейных неравенств с параметром.

Тема 5. Квадратные уравнения. Теорема Виета.

Примеры решения квадратных уравнений с параметром.

Дидактический материал к элективному курсу

«Решение уравнений и

неравенств с параметром»
Тема 1. Примеры для этой темы.
Тема 2. Примеры, где учащиеся уже встречались с параметрами:

Функция прямая пропорциональность: у = kx (х и у – переменные; k – параметр, k ≠ 0);

Функция обратной пропорциональности: у = k / х (х и у – переменные, k – параметр, k ≠ 0)

Линейная функция: у = kх + b (х и у – переменные; k и b – параметры);

Линейное уравнение: ах + b = 0 (х – переменная; а и b – параметры);

Квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 (х – переменная; а, b и c – параметры,

Что такое параметр?

Если в уравнение или неравенство некоторые коэффициенты заменены не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами, то они называются параметрами, а уравнение или неравенство параметрическим.

Параметры обычно обозначаются первыми буквами латинского алфавита: а, в, с, … или а 1 , а 2 , а 3 , … , а неизвестные последними буквами латинского алфавита х, у, z, … Эти обозначения не являются обязательными, но если в условии не указано, какие буквы являются параметрами, а какие – неизвестны-

ми, то используются такие обозначения.

Например, решить уравнение (4х – ах)а = 6х – 10 . Здесь х – неизвестное, а – параметр.

Что означает «решить задачу с параметром»?

Решить задачу с параметром – значит, для каждого значения параметра а найти значение х, удовлетворяющие этой задаче, т.е. это зависит от вопроса в задаче.

Решить уравнение или неравенство с параметрами означает:

Определить, при каких значениях параметров существует решения;

Для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующее множество решений.

Какие основные типы задач с параметром?
Тип 1. Уравнения, неравенства, которые необходимо решить либо для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговорённому множеству. Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами».

Тип 2. Уравнения, неравенства, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.

Тип 3. Уравнения, неравенства, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения и неравенства имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Задачи типа 3 в каком-то смысле обратные задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решения второго уравнения и т.д.

Основные способы решения задач с параметром.
Способ 1. (аналитический) Этот способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные способы нахождения ответа в задачах без параметра.

Способ 2. (графический) В зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х;у), или в координатной плоскости (х;а).

Способ 3. (решение относительно параметра) При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение признаётся более простым. После естественных упрощений возвращаемся к исходному смыслу переменных х и а и заканчиваем решение.

Замечание. Существенным этапом решения задач с параметрами является запись ответа. Особенно это относится к тем примерам, где решение как бы «ветвится» в зависимости от значений параметра. В подобных случаях составление ответа – это сбор раннее полученных результатов. И здесь очень важно не забыть отразить в ответе все этапы решения.

Рассмотрим примеры. 2.1. Сравнить -а и 5а.

Решение. Надо рассмотреть три случая: если а 5а;

если а = 0, то –а = 5а;

если а > 0, то –а

Ответ. При а 5а; при а = 0 , –а = 5а; при а > 0, -а

1. 
   Решить уравнение ах = 1.

Решение. Если а = 0, то уравнение не имеет решений.

Если а ≠ 0, то х = 1 / а.

Ответ. При а = 0 нет решений; при а ≠ 0, х = 1 / а.

1. 
   Сравнить с и – 7с.
2. 
   Решить уравнение сх = 10

Тема 3.

Линейные уравнения

Уравнения вида

где а, в – принадлежат множеству действительных чисел, а х – неизвестное, называется линейным уравнением относительно х.

Схема исследования линейного уравнения (1).

1.Если а ≠ 0, в – любое действительное число. Уравнение имеет единственное решение х = в/а.

2. Если а=0, в=0, то уравнение примет вид 0 ∙ х = 0, решением уравнения будет множество всех действительных чисел.

3. Если а=0, в ≠ 0, то уравнение 0 ∙ х = в не имеет решений.

Замечание. Если линейное уравнение не представлено в виде (1), то сначала нужно привести его к виду (1) и только после этого проводить исследование.
Примеры. 3.1 Решить уравнение (а -3)х = в+2а

Уравнение записано в виде (1).

Решение: Если а≠ 3, то уравнение имеет решение х = в+2а/ а-3 при любом в.

Значит единственное значение а, при котором могут отсутствовать решения уравнения, это а=3. В этом случае уравнение (а -3)х = в+2а принимает вид

0 ∙ х = в+6. (2)

Если в≠ - 6, то уравнение (2) не имеет решений.

Если в = - 6, то любое х является решением (2).

Следовательно, в = - 6 единственное значение параметра в, при котором уравнение (1) имеет решение при любом а (х=2 при а ≠3 и х принадлежит множеству действительных чисел при а=3).

Ответ: в = -6.

3.2. Решить уравнение 3(х-2а) = 4(1-х).

3.3. Решить уравнение 3/kx-12=1/3x-k

3.4. Решить уравнение (a 2 -1)x = a 2 – a -2

3.5. Решить уравнение х 2 + (2а +4)х +8а+1=0
Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнения: а) вх + 2 = - 1;

б) (а – 1)х = а – 2;

в) (а 2 – 1)х – а 2 + 2а – 1 = 0.

Вариант 2. Решить уравнения: а) – 8 = вх + 1;

б) (а + 1)х = а – 1;

в) (9а 2 – 4)х – 9а 2 + 12а – 4 = 0.
Тема 4.

Линейные неравенства с параметром

Неравенства

ах > в, ах
где а, в – выражения, зависящие от параметров, а х – неизвестное, называются линейными неравенствами с параметрами.

Решить неравенство с параметрами – значит для всех значений параметров найти множество решений неравенства.

Схема решения неравенства а х > в.

1. 
   Если а > 0, то х > в/а.
2. 
   Если а
3. 
   Если а = 0, то неравенство примет вид 0 ∙ х > в. При в ≥ 0 неравенство не имеет решений; при в

Схемы для решения остальных неравенств учащиеся делают самостоятельно.
Примеры. 4.1. Решить неравенство а(3х-1)>3х – 2.

Решение: а(3х-1)>3х – 2, значит 3х(а-1)> а-2.

Рассмотрим три случая.

1. 
   а=1, решением 0 ∙ х > -1 является любое действительное число.
2. 
   а>1, 3х(а-1)> а-2, значит х > а-2/3 (а-1).
3. 
   а а-2, значит х

Ответ: х > а-2/3 (а-1) при а>1; х Решить неравенства. 4.2. (а – 1)х > а 2 – 1.

1. 
   2ах +5 > a+10x .
2. 
   (а + 1)х – 3а + 1 ≤ 0.
3. 
   Х 2 +ах +1 > 0 .

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить неравенства: а) (а – 1)х ≤ а 2 – 1;

б) 3х-а > ах – 2.

Вариант 2. Решить неравенства: а) (а – 1)х – 2а +3 ≥ 0;

б) ах-2в
Тема 5.

Квадратные уравнения, содержащие параметры. Теорема Виета.

Уравнение вида

ах 2 +вх + с = 0, (1)

где а,в,с – выражения, зависящие от параметров, а ≠ 0, х – неизвестное, называется квадратным уравнением с параметрами.
Схема исследования квадратного уравнения (1).

1. 
   Если а = 0, то имеем линейное уравнение вх +с = 0.
2. 
   Если а ≠ 0 и дискриминант уравнения D = в 2 – 4ас
3. 
   Если а ≠ 0 и D = 0, то уравнение имеет единственное решение х = - в/ 2а или как еще говорят, совпадающие корни х 1 = х 2 = - В / 2а.
4. 
   Если а ≠ 0 и D > 0, то уравнение имеет два различных корня х 1,2 = (- В ± √D) / 2а

Примеры. 5.1. Для всех значений параметра а решить уравнение

(а – 1)х 2 – 2ах + а + 2 = 0.

Решение. 1. а – 1 = 0, т.е. а = 1.Тогда уравнение примет вид -2х + 3 = 0, х = 3 / 2 .

2. а ≠ 1. Найдём дискриминант уравнения D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 2) = - 4а + 8.

Возможны случаи: а) D 8, а > 2. Уравнение не имеет

б) D = 0, т.е. -4а + 8 = 0, 4а = 8, а = 2. Уравнение имеет один

корень х = а / (а – 1) = 2 / (2 – 1) = 2.

в) D > 0, т.е. -4а + 8 > 0, 4а

корня х 1,2 = (2а ± √ -4а + 8) / 2(а – 1) = (а ± √ 2 – а) / (а – 1)

Ответ. При а = 1 х = 3 / 2 ;

при а =2 х = 2;

при а >2 нет корней;

Для всех значений параметра решить уравнения:

1. 
   ах 2 + 3ах – а – 2 = 0;
2. 
   ах 2 +6х – 6 = 0;
3. 
   вх 2 – (в + 1)х +1 = 0;
4. 
   (в + 1)х 2 – 2х + 1 – в = 0.

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Решить уравнение ах 2 - (а+3)х + 3 = 0.

Вариант 2. Решить уравнение а 2 +(а+1)х + 2а-4 = 0.
Задачи.

1. 
   . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение

(а -1)х 2 + 2(2а + 1)х + 4а + 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Решение. Данное уравнение по условию является квадратным, значит,

а – 1 ≠ 0, т.е. а ≠ 1. Найдём дискриминант D = 4(2а + 1) 2 – 4(а – 1)(4а +3) =

4(4а 2 + 4а + 1 – 4а 2 + а + 3) = 4(5а + 4).

Имеем: 1) При а ≠ 1 и D > 0, т.е. 4(5а + 4) > 0, а > - 4 / 5 уравнение имеет два

различных корня.

2) При а ≠ 1 и D

3) При а ≠ 1 и D = 0, т.е. а = - 4 / 5 уравнение имеет один корень.

Ответ. Если а > - 4 / 5 и а ≠ 1, то уравнение имеет два различных корня;

если а = - 4 / 5 , то уравнение имеет один корень.

1. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а + 6)х 2 + 2ах +1 = 0 имеет единственное решение?
2. 
   .При каких значениях параметра а уравнение (а 2 – а – 2)х 2 + (а +1)х + 1 = 0 не имеет решений?
3. 
   .При каких значениях параметра а уравнение ах 2 - (2а+3)х+а+5=0 имеет два различных корня?

Самостоятельная работа.

Вариант 1. Найдите все значения параметра а , для которых квадратное уравнение (2а – 1)х 2 +2х – 1 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.

Вариант 2. . Найдите все значения параметра а, для которых квадратное уравнение (1 – а )х 2 +4х – 3 = 0 имеет два различных корня; не имеет корней; имеет один корень.
Теорема Виета.

При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы.

Теорема Виета. Если х 1 , х 2 – корни квадратного уравнения ах 2 + вх +с = 0, а≠0, то х 1 + х 2 = - В /а и х 1 ∙ х 2 = С /а.
Теорема 1. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 +вх +с были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С / А > 0.

При этом оба корня будут положительны, если х 1 + х 2 = - В /а > 0, и оба корня будут отрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а
Теорема 2. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: D = в 2 – 4ас ≥ 0, х 1 ∙ х 2 = С /а≥ 0.

При этом оба корня будут неотрицательны, если х 1 + х 2 = - В /а ≥ 0, и оба корня будут неположительные, если х 1 + х 2 = - В /а ≤ 0.

Теорема 3. Для того, чтобы корни квадратного трёхчлена ах 2 + вх + с были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условия: х 1 ∙ х 2 = С /аПри этом условие D = в 2 – 4ас > 0 выполняется автоматически.
Примечание. Эти теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием знаков корней уравнения ах 2 + вх + с = 0.

Полезные равенства: х 1 2 + х 2 2 = (х 1 + х 2) 2 – 2х 1 х 2 , (1)

х 1 3 + х 2 3 = (х 1 + х 2)(х 1 2 – х 1 х 2 + х 2 2) = (х 1 + х 2)((х 1 + х 2) 2 – 3х 1 х 2), (2)

(х 1 - х 2) 2 = (х 1 + х 2) 2 – 4х 1 х 2 , (3)

(5)

5.10.

(а – 1)х 2 – 2ах + а +1 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Решение. Уравнение квадратное, значит, а ≠ 1. По теореме Виета имеем

х 1 + х 2 = 2а /(а – 1) , х 1 х 2 = (а + 1) / (а – 1) .

Вычислим дискриминант D = 4а 2 – 4(а – 1)(а + 1) = 4.

а) Согласно теоремы 1 уравнение имеет положительные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 > 0, т.е. (а + 1) / (а – 1) > 0 , 2а / (а – 1) > 0.

Отсюда а є (-1; 0).

б) Согласно теоремы 1 уравнение имеет отрицательные корни, если

D ≥ 0, х 1 х 2 > 0, х 1 + х 2 0 , 2а / (а – 1)

Отсюда а є (0; 1).

в) Согласно теоремы 3 уравнение имеет корни разных знаков, если х 1 х 2

(а + 1) /(а – 1) Ответ. а) при а є (-1; 0) уравнение имеет положительные корни;

б) при а є (0; 1) уравнение имеет отрицательные корни;

в) при а є (-1; 1) уравнение имеет корни разных знаков.
5.11. При каких значениях параметра а квадратное уравнение

(а – 1)х 2 – 2(а +1)х + а +3 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

5. 12. Не решая уравнения 3х 2 – (в + 1)х – 3в 2 +0, найдите х 1 -1 + х 2 -1 , где х 1 , х 2 – корни уравнения.

5.13. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – 2(а + 1)х + а 2 = 0 имеет корни, сумма квадратов которых равна 4.

Контрольная работа.
Вариант 1. 1. Решить уравнение (а 2 +4а)х = 2а + 8.

2. Решить неравенство (в + 1)х ≥ (в 2 – 1).

3. При каких значениях параметра а уравнение

х 2 – (2а +1)х + а 2 + а – 6 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Вариант 2. 1. Решить уравнение (а 2 – 2а)х = 3а.

2. Решить неравенство (а + 2)х ≤ а 2 – 4.

3. При каких значениях параметра в уравнение

х 2 – (2в – 1)х + в 2 – т – 2 = 0 имеет: а) два положительных корня; б) два отрицательных корня; в) корни разных знаков?

Литература.

1. 
   В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. Уравнения и неравенства с параметрами. Ч.:Изд-во ЧГУ, 2004. – 175с.
2. 
   Ястребинский Г.А. Задачи с параметрами. М.: Просвещение, 1986, - 128 с.
3. 
   Башмаков М.И. Алгебра и начала анализа. Учебник для 10 – 11 классов среднй школы. М.: Просвещение, 1991. – 351 с.
4. 
   Т. Пескова. Первое знакомство с параметрами в уравнениях. Учебно-методическая газета «Математика». №36, 1999.
5. 
   Т. Косякова. Решение линейных и квадратных неравенств, содержащих параметры. 9 кл. Учебно-методическая газета «Математика».№ 25 – 26, № 27 – 28. 2004.
6. 
   Т. Горшенина. Задачи с параметром. 8 кл. Учебно-методическая газета «Математика». №16. 2004.
7. 
   Ш. Цыганов. Квадратные трёхчлены и параметры. Учебно-методическая газета «Математика». №5. 1999.
8. 
   С. Неделяева. Особенности решения задач с параметром. Учебно-методическая газета «Математика». №34. 1999.

9. В.В. Локоть Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы. Учебно-методическое пособие.Москва 2005.

Курсовая работа

Исполнитель: Бугров С К.

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём реферате рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем, и, я надеюсь, что знания, полученные мной в процессе работы, помогут мне при сдаче школьных экзаменов и при поступлении а ВУЗ.

Неравенство

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k – параметры, а x – действительная переменная величина, называется неравенством с одним неизвестным, содержащим параметры.

Любая система значений параметров а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, при некоторой функции

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

имеют смысл в области действительных чисел, называется системой допустимых значений параметров.

называется допустимым значением х, если

¦(a, b, c, …, k, x) и

j(a, b, c, …, k, x

принимают действительные значения при любой допустимой системе значений параметров.

Множество всех допустимых значений х называется областью определения неравенства (1).

Действительное число х0 называется частным решением неравенства (1), если неравенство

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

верно при любой системе допустимых значений параметров.

Совокупность всех частных решений неравенства (1) называется общим решением этого неравенства.

Решить неравенство (1) – значит указать, при каких значениях параметров существует общее решение и каково оно.

Два неравенства

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) и (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

называются равносильными, если они имеют одинаковые общие решения при одном и том же множестве систем допустимых значений параметров.

Находим область определения данного неравенства.

Сводим неравенство к уравнению.

Выражаем а как функцию от х.

В системе координат хОа строим графики функций а =¦ (х) для тех значений х, которые входят в область определения данного неравенства.

Находим множества точек, удовлетворяющих данному неравенству.

Исследуем влияние параметра на результат.

найдём абсциссы точек пересечения графиков.

зададим прямую а=соnst и будем сдвигать её от -¥ до+¥

Записываем ответ.

Это всего лишь один из алгоритмов решения неравенств с параметрами, с использованием системы координат хОа. Возможны и другие методы решения, с использованием стандартной системы координат хОy.

§3. Примеры

I. Для всех допустимых значений параметра а решить неравенство

В области определения параметра а, определённого системой неравенств

данное неравенство равносильно системе неравенств

Если , то решения исходного неравенства заполняют отрезок .

II. При каких значениях параметра а имеет решение система

Найдем корни трехчлена левой части неравенства –

(*)

Прямые, заданные равенствами (*), разбивают координатную плоскость аОх на четыре области, в каждой из которых квадратный трехчлен

сохраняет постоянный знак. Уравнение (2) задает окружность радиуса 2 с центром в начале координат. Тогда решением исходной системы будет пересечение заштрихован

ной области с окружностью, где , а значения и находятся из системы

а значения и находятся из системы

Решая эти системы, получаем, что

III. Решить неравенство на в зависимости от значений параметра а.

Находим область допустимых значений –

Построим график функции в системе координат хОу.

при неравенство решений не имеет.

при для решение х удовлетворяет соотношению , где

Ответ: Решения неравенства существуют при

Где , причем при решения ; при решения .

IV. Решить неравенство

Находим ОДЗ или линии разрыва (асимптоты)

Найдем уравнения функций, графики которых нужно построить в ПСК; для чего перейдем к равенству:

Разложим числитель на множители.

т. к. то

Разделим обе части равенства на при . Но является решением: левая часть уравнения равна правой части и равна нулю при .

3. Строим в ПСК хОа графики функций

и нумеруем образовавшиеся области (оси роли не играют). Получилось девять областей.

4. Ищем, какая из областей подходит для данного неравенства, для чего берем точку из области и подставляем в неравенство.

Для наглядности составим таблицу.

		неравенство:

5. Найдем точки пересечения графиков

6. Зададим прямую а=сonst и будем сдвигать её от -¥ до +¥.

при

при решений нет

при

Список литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Москва 1996 г.

ФБГОУ ВПО «Мордовский государственный

педагогический институт имени М.Е. евсевьева»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

Кафедра математики и методики обучения математики

КУРСОВАЯ РАБОТА

Методика формирования умений решать уравнения и неравенства с параметрами в курсе основной общеобразовательной школе

студентка группы МДМ-110 А.И. Зимина

Специальность: 050201.65 «Математика» с дополнительной специальностью 050202 «Информатика»

Саранск 2014

Введение

Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

1 Виды уравнений в школьном курсе математики

2 Виды неравенств в школьном курсе математики

3 Особенности решения уравнений с параметрами

4 Особенности решения неравенств с параметрами

Заключение

Список используемой литературы

Введение

На современном этапе развития школьного образования становятся приоритетными развивающие цели обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач таких, как уравнения и неравенства с параметрами. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных задач такого рода.

Изучением задач с параметрами, их роли в обучении, понятий, связанных с их решением, в разные годы занимались М.И. Башмаков, Г.В. Дорофеев, М.И. Зайкин, Т.А. Иванова, Г.Л. Луканкин, Я.Л. Крейнин, В.К. Марков, А.Г. Мордкович, Н.Х. Розов, Г.И. Саранцев, Р.А. Утеева и др. Многие из них подчеркивали важность обучения школьников приемам решения уравнений и неравенств с параметрами прежде всего в связи с необходимостью подготовки учащихся к выполнению работ итоговой аттестации и различного рода конкурсных испытаний. При этом большинство авторов характеризует задачи с параметрами как исследовательские задачи, требующие высокой логической культуры и техники исследования; как наиболее сложные в логическом и семантическом плане вопросы элементарной математики. В этой связи В.В. Вересова, В.И. Горбачев, Н.С. Денисова, В.Н. Литвиненко, А.Г. Мордкович, Т.Н. Полякова, Г.А. Ястребинецкий и др. справедливо замечают, что для описания процесса их решения необходимо использовать систему понятий, математических утверждений и фактов, определяемую фундаментальными математическими идеями; некоторые из них предпринимают попытки к ее разработке. Однако в многочисленных пособиях и руководствах справочного и методического характера для поступающих в вузы рассматриваются лишь частные приемы решения конкретных уравнений и неравенств с параметрами, чаще всего в рамках широкого спектра конкурсных заданий.

Уравнения и неравенства, содержащие параметр, не изучаются систематически в школьном курсе математики, а рассматриваются лишь отдельные их простейшие примеры. Поэтому методы и приемы решения таких задач большинству учащихся не известны.

Актуальность данной темы состоит в том, что анализируя экзаменационные работы по математике, приходишь к выводу, что за курс математики в общеобразовательной школе учащимися должны быть отработаны умения решения задач с параметрами. Кроме непосредственной подготовки учащихся к экзаменам по данному разделу математики (решение задач с параметрами), главная его задача - поднять на более высокий уровень изучение математики в школе, следующий за развитием умений и навыков решения определенного набора стандартных задач.

Объект исследования: процесс формирования умений решать уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе метематике основной школы.

Предмет исследования: уравнения и неравенства с параметрами.

Цель исследования: выделить виды, методы решения уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математике.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

) Изучить и проанализировать специальную литературу по проблеме исследования;

)Рассмотреть роль уравнений и неравенств в школьном курсе математике;

1. Теоретические основы линий уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики.

Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, поскольку он связан с обучением приемам, используемым в приложениях математики.

В настоящее время ведущее положение в приложениях математики занимает математическое моделирование. Используя это понятие, можно сказать, что прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они являются основной частью математических средств, используемых в математическом моделировании.

б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых, в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекта необходимы в курсе школьной математики. Основные классы уравнений и неравенств связаны с простейшими и одновременно наиболее важными математическими моделями. Использование обобщенных понятий и методов позволяет логически упорядочить изучение линии в целом, поскольку они описывают то общее, что имеется в процедурах и приемах решения, относящихся к отдельным классам уравнений, неравенств, систем. В свою очередь, эти общие понятия и методы опираются на основные логические понятия: неизвестное, равенство, равносильность, логическое следование, которые также должны быть раскрыты в линии уравнений и неравенств.

в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики. Эта линия тесно связана с числовой линией. Основная идея, реализуемая в процессе установления взаимосвязи этих линий, - это идея последовательного расширения числовой системы. Все числовые области, рассматриваемые в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Например, числовые промежутки выделяются неравенствами или системами неравенств. Области иррациональных и логарифмических выражений связаны соответственно с уравнениями (k-натуральное число, большее 1.

Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Приведенные примеры показывают влияние уравнений и неравенств на развертывание числовой системы. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей приложения методов, разрабатываемых в линии уравнений и неравенств, к исследованию функции (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д.). С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние как на содержание линии уравнений и неравенств, так и на стиль ее изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

1 Виды уравнений в школьном курсе математике

Понятие «уравнение » относится к важнейшим общематематическим понятиям.

Существуют различные трактовки понятия «уравнение».

И.Я. Виленкин и др. приводит логико - математическое определение уравнения. Пусть на множестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х - переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно x называется предикат вида, где и - термы относительно заданных операций, в запись которого входит символ.Аналогично определиться уравнение от двух и более переменных.

Принятые в логики термины «терм» и «предикат» соответствуют такие термины школьной математики как «выражение» и «предложение с переменной». Поэтому наиболее близко к приведенному формальному определению можно считать следующее определение: «Предложение с переменной, имеющий вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением». Такое определение приведено в учебнике «Алгебра и начала анализа» А.Н Колмогоров и др. Равенство с переменной называется уравнением. Значение переменной при котором равенство с переменной обращается в верное числовое равенство, называется корнем уравнения.

Часто, особенно в начале систематического курса алгебры, понятие уравнение вводится по средством выделение его из алгебраического метода решения задач. Например, в учебнике Ш.А.Алимова и др. понятие уравнение вводиться на материале текстовой задачи. Переход к понятию уравнения осуществляется на основе анализа некоторых формальных особенностей записи, выражающих содержание данной задачи в алгебраической форме: «Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называется уравнением». Указываемый способ введения понятия уравнения соответствует еще одному компоненту понятия уравнения - прикладному.

Еще один подход к понятию уравнения получается при составления области определения уравнения и множества его корней. Например, в учебнике Д.К.Фадеева «Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в верное числовое равенство при допустимых наборов букв, называется уравнение».

Можно встретить и третий вариант определения, роль которого проявляется при изучения графического метода решения уравнений: «Уравнение - это равенство двух функций».

Среди всех изучаемых в курсе математике типов уравнений В.И. Мишин выделяет сравнительно ограничение количество основных типов. к их числу относится: линейное уравнение с одним неизвестным, систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, квадратные уравнения, простейшие иррациональные и трансцендентные.

Ю.М.Колягин и др. классифицируют по виду функций, представляющих правую и левую части уравнений:

Уравнение называется:

алгебраическим, если и - алгебраические функции;

трансцендентным, если хотя одним из функций и трансцендентная;

рациональным алгебраическим (или просто рациональным) , если алгебраические функции и рациональные;

иррациональным алгебраическим(или просто иррациональным), если хотя бы одна из алгебраических функций и иррациональная;

целым рациональным, если функция и целые рациональные;

дробным рациональным, если хотя бы одна из рациональных функций и дробная рациональная.

Уравнение, где - многочлен стандартного вида, называется линейным (первой степени), квадратным(во второй степени), кубическим (третьей степени) и вообще - ой степени, если многочлен, имеет соответственно первую, вторую, третью и вообще - ую степень.

В школе изучаются несколько типов уравнений. К их числу относятся: линейные уравнения с одной не известной, квадратные уравнения, иррациональные и трансцендентные уравнения, рациональные уравнения. Эти типы уравнений изучаются с большой тщательностью, для них указывается и доводиться до автоматизма выполнение алгоритма решения, указывается форма, в котором должен записываться ответ.

Виды уравнений и методы решения:

) Линейное уравнение

Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.

Корнем (или решением) уравнения называется такое значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство.

Найти все корни уравнения или доказать, что их нет - это значит решить уравнение.

Пример 1: Решить уравнение.

;

;

) Квадратное уравнение

Квадратное уравнение - это уравнение вида, где коэффициенты a, b и c - любые действительные числа, причем а≠0.

Корнями квадратного уравнения называют такие значения переменной, при которых квадратное уравнение обращается в верное числовое равенство.

Решить квадратное уравнение - значит найти все его корни или установить, что корней нет.

Пример 2: Решить уравнение

Данное уравнение можно решить либо через Теорему Виета, либо через дискриминант.

Ответ: х1=-1, х2=-2.

) Рациональные уравнения

рациональные уравнения - уравнения вида

где и многочлены, атак же уравнения вида, где и - рациональные.

Пример 3: Решить уравнение

) Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения - это уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Пример 4: Решить уравнение

Возведем обе части в квадрат:

) Показательные и логарифмические уравнения

При решения показательных уравнений используются два основных метода: а) переход от уравнения к уравнению;б) введения новых переменных. Иногда приходиться применять исскуственные приемы.

Логарифмические уравнения - решаются тремя методами, то есть переход от уравнения к уравнению - следствию;метод введения новых переменных логарифмирования, то есть переход от уравнения к уравнению.

А так же во многих случаях при решения логарифмического уравнения приходиться использовать свойства логарифма произведения, частного, степени, корня.

2 Виды неравенств в школьном курсе

В целом изучение неравенств в школьном курсе математики организовано так же, как и уравнений.

Отметим ряд особенностей изучения неравенств.

Как и в случае уравнений отсутствует теория равносильности неравенств. Учащимся предлагаются её незначительные фрагменты, приведённые в содержании учебного материала.

Большинство приёмов решения неравенств состоит в переходе от данного неравенства a>b к уравнению а=b и последующем переходе от найденных корней уравнения к множеству решений исходного неравенства. Например, такая ситуация возникает при решении рациональных неравенств методом интервалов, при решении простейших тригонометрических неравенств.

В изучении неравенств большую роль играют наглядно - графические средства.

Два выражения (числовые или буквенные), соединённые одним из знаков: «больше» (>), «меньше» (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным.

В зависимости от знака неравенства мы имеем либо строгие неравенства (> , <), либо нестроги (≥ , ≤).

Буквенные величины, входящие в неравенство, могут быть как известными, так и неизвестными.

Решить неравенство - это найти границы, внутри которых должны находиться неизвестные, так чтобы неравенство было тождественным.

Основные свойства неравенств:

Если a < b, то b > a; или если a > b, то b < a .

Если a > b, то a + c > b + c; или если a < b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства.

Если a > b и c > d, то a + c > b + d . То есть, неравенства одного смысла (с одинаковым знаком > или <) можно почленно складывать.

Если a > b и c < d, то a - c > b - d . Или, если a < b и c > d, то a - c < b - d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым.

Если a > b и m > 0, то ma > mb и a/m > b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число. Неравенство при этом сохраняет свой знак.

Если a > b и m < 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.

Неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются на:

¾алгебраические;

¾трансцендентные;

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство - алгебраическое, первой степени.

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

Виды неравенства и способы их решения:

)Линейные неравенства

Пример 5: Решить неравенство

Ответ: x<-2.

2) Квадратные неравенства

Пример 6: Решить неравенство х2> 4

х2> 4

(х - 2)∙(х + 2) > 0.

Решаем методом интервалов.

) Рациональные неравенства

Пример 7: Найти все целые значения, удовлетворяющие неравенству

Методом интервалов:

Решение неравенства:

Целые числа, принадлежащие интервалу: -6;-5;-4;1.

Ответ:-6;-5;-4;1.

4) Иррациональные неравенства

Начинать решение иррациональных неравенств нужно с нахождения области определения.

Пример 8: Решить неравенство

Область определения:

Так как арифметический корень не может быть отрицательным числом, то

Ответ: [-2;7)/

) Показательные, логарифмические неравенства

Пример 9: Решите неравенство..

Пример 10: Решите неравенство.

Ответ:.

3 Особенности решения уравнения с параметрами

Рассмотрим уравнение

F(х,у,...,z;б,в,...,г)=0(1)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами б,в, ..., г;при всякой допустимой системе значений параметров б0,в0, ..., г 0 уравнение (1) обращается в уравнение

F(х,у,...,z;б0,в0,...,г0)=0(2)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (2) имеет некоторое вполне определенное множество решений.

Решить уравнение содержащее параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти множество всех решений данного уравнения.

Основные виды уравнений с параметрами:

) Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр

Линейные и квадратные уравнения, содержащие параметр, можно объединить в одну группу - группу уравнений с параметром не выше второй степени.

Уравнения с параметром не выше второй степени являются самыми распространенными в практике итоговых и конкурсных заданий. Их общий вид определяется многочленом.

Контрольные значения параметра определяются уравнением. На выделенных контрольными значениями промежутках допустимых значений параметра дискриминант имеет определенный знак, соответствующие частные уравнения принадлежат одному из двух последних типов.

Тогда решением всякого уравнения с параметром не выше второй степени осуществляется по следующим этапам:

На числовой прямой отмечаются все контрольные значения параметра, для которых соответствующие частные уравнения не определены.

На области допустимых значений параметра исходного уравнения при помощи равносильных преобразований приводится к виду.

Выделяют множество контрольных значений параметра, для которых уравнение имеет конечное множество решений, то для каждого найденного контрольного значения параметра соответствующее частное уравнение решается отдельно.

Проводится классификация частных уравнений по первым трем типам. На бесконечном множестве решений уравнения проводится решение уравнения, выделяются типы бесконечных и пустых особых частных уравнений. Множеству значений параметра, для которых и, соответствует третий тип не особых частных уравнений.

Выделяются контрольные значения параметра, для которых дискриминант обращается в нуль. Соответствующие не особые частные уравнения имеют двукратный корень.

Найденные контрольные значения параметра разбивают область допустимых значений параметра на промежутки. На каждом из промежутков определяется знак дискриминанта.

) Дробно-рациональные уравнения, содержащие параметр, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробно-рациональных уравнений протекает по обычной схеме: данное уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, то есть числа, которые обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта задача более сложная. Здесь, чтобы посторонние корни исключить, требуется находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, то есть решать соответствующие уравнения относительно параметра.

) Иррациональные уравнения, содержащие параметр.

Главными особенностями при решении уравнений такого типа являются:

Ограничение области определения неизвестной х, так как она меняется в зависимости от значения параметра;

При рассмотрении всех особых случаев и возведении обеих частей иррационального уравнения в квадрат мы переходим к решению квадратного уравнения с параметром.

) Показательные уравнения, содержащие параметр.

Большинство показательных уравнений с параметрами сводится к показательным уравнениям вида: аf(x) = bg(х), где а>0, b>0.

Область допустимых значений такого уравнения находится как пересечение областей допустимых значений функций f(x) и g(х). Для решения уравнения аf(x) = bg(х) необходимо рассмотреть следующие случаи:

При а=b=1 решением уравнения аf(x) = bg(х) является область его допустимых значений D.

При а=1, b≠1 решением уравнения аf(x) = bg(х) служит решение уравнения g(х)=0 на области допустимых значений D.

При а≠1, b=1 решение уравнения аf(x) = bg(х) находится как решение уравнения f(х) = 0 на области D.

При а=b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение аf(x) = bg(х) равносильно уравнению f(х) = g(х) на области D.

При а≠b (а>0, а≠1, b>0, b≠1) уравнение аf(x) = bg(х) тождественно уравнению (c>0, c≠1) на области D.

) Логарифмические уравнения, содержащие параметр.

Решение логарифмических уравнений с параметрами сводится к нахождению корней элементарного логарифмического уравнения.

Важным моментом решения уравнений такого типа является проверка принадлежности найденных корней ОДЗ исходного уравнения.

Основные методы решения уравнений, содержащих параметр:

Аналитический метод

4 Особенности решения неравенства с параметрами

Неравенство с параметрами - математическое неравенствовнешний вид и решение которого зависит от значений одного или нескольких параметров. Как при решении уравнения, так и при решении неравенства требуется найти все те значения неизвестной величины, для каждого из которых указанное соотношение оказывается верным.

Решение неравенства (уравнения) может включать в себя несколько методов решения, соответствующих каждому виду уравнения при определенных значениях параметра. Например, при каком-то значении параметра неравенство линейное, поэтому решаем его аналитически тождественными преобразованиями; при остальных значениях параметра неравенство квадратичное, - решаем его функционально-графическим способом.

Аналогично уравнениям с параметрами, неравенства с параметрами имеют ту же классификацию видов и методов решения.

) Линейные и квадратные неравенства, содержащие параметр

) Дробно-рациональные неравенства, содержащие параметр, сводящиеся к линейным.

Решение некоторых дробно-рациональных неравенств сводится к решению неравенств первой или второй степени.

) Иррациональные неравенства, содержащие параметр.

) Показательные неравенства, содержащие параметр.

) Логарифмические неравенств, содержащие параметр.

Основные методы решения неравенств, содержащих параметр:

Аналитический метод

Свойства функций в задачах, содержащих параметр. Функциональный подход.

Графический метод. Координатная плоскость (x;y).

Графический метод. Координатная плоскость (x;a).

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. При решении задач с параметрами требуется, кроме хорошего знания стандартных методов решений уравнений и неравенств, умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратность и внимательность для того, чтобы не потерять решений и не приобрести лишних. Это требует от школьника более развитого логического мышления и математической культуры, но, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию. Опыт вступительных экзаменов показывает, что учащиеся, владеющие методами их решения, обычно успешно справляются и с другими задачами.

К сожалению, в программах по математике для неспециализированных школ задачам с параметром практически не отводится места, а, например, в учебнике для учащихся школ и классов с углубленным изучением курса математики («Алгебра и математический анализ для 10 и 11 классов», Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд) им отведено место только в 11-м классе. Между тем, задачи с параметрами можно и нужно использовать уже начиная с линейных и квадратных уравнений и неравенств. Это могут быть задачи нахождения решений в общем виде, определения корней, удовлетворяющих каким-либо свойствам, исследования количества корней в зависимости от значений параметра. Так сделано в «Сборнике задач по алгебре для 8-9 классов», 1994 г. (авторы: М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич). Важно, чтобы школьники уже на первых простых примерах усвоили: во-первых, необходимость аккуратного обращения с параметром - фиксированным, но неизвестным числом, поняли, что оно имеет двойственную природу (с одной стороны, это некоторое число, с другой стороны, степень свободы общения с ним ограничивается его неизвестностью); во-вторых, что запись ответа существенно отличается от записи ответов аналогичных уравнений и неравенств без параметра.

Методически было бы правильно каждый пройденный тип уравнений (неравенств) завершать задачами с использованием параметра. Во-первых, школьнику трудно привыкнуть к параметру за два-три занятия - нужно время; во-вторых, использование подобных задач улучшает закрепление пройденного материала; в-третьих, оно способствует развитию его математической и логической культуры, а также развитию интереса к математике, поскольку открывает перед ним новые методы и возможности для самостоятельного поиска.

Понятие параметра является математическим понятием, которое часто используется в школьном курсе математики и в смежных дисциплинах.

класс - при изучении линейной функции и линейного уравнения с одной переменной.

класс - при изучении квадратных уравнений.

Общеобразовательная программа школьного курса математики не предусматривает решение задач с параметрами, а на вступительных к заменах в вузы и на ЕГЭ по математике задачи с параметрами присутствуют, решение которых вызывает большие затруднения учащихся.Задачи с параметрами обладают диагностической и прогностической ценностью, которые позволяют проверить знания основных разделов школьного курса математики, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности.

При решении уравнения (неравенства) можно пользоваться следующим алгоритмом.

Алгоритм решения уравнения или неравенства с параметром

1. Определяют ограничения, налагаемые на значения неизвестного и параметра, вытекающие из того, что функции и арифметические операции в или имеют смысл.

Определяют формальные решения, записываемые без учета ограничений. Если при решении возникают контрольные значения параметра, то их наносят на числовую ось. Эти значения разбивают область допустимых значений параметра на подмножества. На каждом из подмножеств решают заданное уравнение..

Исключают те значения параметра, при которых формальные решения не удовлетворяют полученным ограничениям.

На числовую ось. добавляют значения параметра, найденные в п.3. Для каждого из промежутков на оси. записывают все полученные решения в зависимости от значений параметра. (В случае достаточно простых уравнений п.4 можно опустить).

Выписывают ответ, т.е. записывают решения в зависимости от значений параметра.

Наличие параметра в задаче предполагает специальную форму записи ответа, позволяющую установить, каков ответ для любого допустимого значения параметра. Недопустимые значения также указываются в ответе, и считается, что при этих значениях параметра задача не имеет решения. При записи ответа обычно значения параметра перечисляются в порядке возрастания от −∞ до +∞, но иногда для компактности ответа объединяют промежутки для параметра, на которых формулы решения совпадают.

В случае ветвления решения удобно использовать числовую прямую., на которую наносятся контрольные значения параметра, а на промежутках, на которые эти значения разбили прямую, указываются ответы задачи. Данный прием позволяет в дальнейшем не потерять найденные ответы и четко указать значения параметра, которым они соответствуют.

Продемонстрируем сказанное выше на примере.

Пример 10: Решить неравенство.

Контрольные значения параметра получаются из условия, так как при неравенство не содержит переменной x.

Нанесем на числовую ось Oa контрольные значения. Они разбивают ось Oa на промежутки:

) a<0; 2) 0< a <2; 3) a>2

На каждом из этих промежутков решим данное неравенство. Значения a=0 и. a=2 требуют отдельного рассмотрения.

Если a<0, то a(a-2)>0. Разделив обе части неравенства на множитель a(a − 2) ≠ 0 , получим x>.

Если 2>a>0, a(a − 2) < 0 и, следовательно, x<.

Если a>2, a(a − 2) > 0 и x>/

Нанесем получаемые в ходе решения ответы на соответствующие промежутки числовой оси Oa и запишем ответ.

Промежуток, к которому относится соответствующее решение, помечается на рисунке дугой. На ее конце ставится стрелочка в том случае, если это решение не относится к крайней точке промежутка.

Ответ: Если a<0, то x>; если 02, то x>; если a=0 и a=2, то решений нет.

Главная особенность задач с параметрами - ветвления решения в зависимости от значений параметров. Другими словами, процесс решения осуществляется классификаций частных уравнений (неравенств) по типам с последующим поиском решений каждого типа.

Одновременно решение бесконечной совокупности частных уравнений и неравенств с учетом требования равносильности преобразований возможно лишь при развитии достаточного уровня логического мышления. С другой стороны, формирование методов решения уравнений и неравенств с параметрами обеспечивает значительный процесс в развитии математической культуры учащихся. Развивающий характер уравнений и неравенств с параметрами определяется их способностью реализовывать многие виды мыслительной деятельности учащихся:

Выработка определенных алгоритмов мышления.

Умение определить наличие и количество корней в уравнении.

Решение семейств уравнений, являющихся следствием данного.

Выражение одной переменной через другую.

Повторение большого объема формул при решении.

Значение соответствующих методов решения.

Широкое применение словесной и графической аргументации.

Развитие графической культуры учащихся.

Все вышесказанное позволяет говорить о необходимости изучения решений задач с параметрами.

уравнение неравенство параметр

Заключение

Таким образом, в нашей курсовой работе речь шла о уравнениях и неравенствах с параметрами в школьном курсе математике, особенности их решения. Были рассмотрены уравнения и неравенства в школьном курсе математике, особенности решения уравнений и неравенств с параметрами.Была разработана методики к решению уравнений и неравенств с параметрами.

Цель нашей курсовой работы заключалась в выявление видов, методов решения уравнений и неравенств с параметрами.

Для достижения данной цели, была подобрана и изучена литература по данной проблеме, исследовано особенности решения уравнений и неарвенств с параметрамишкольном курсе математики основной школы, представлена методические рекомендации к решению уравнений(неравенств) с параметрами.

Вывод: Задачи с параметрами являются самыми сложными из всех заданий школьного курса математики. Для их решения требуется умение мыслить логически: необходимо в каждый момент проведения решения достаточно отчётливо представлять себе, что уже сделано, что ещё надо сделать, что означают уже полученные результаты. В заданиях ЕГЭ по математике проверяется умение выпускника мыслить сжато, логично и аргументировано.

Изучение уравнений и неравенств с параметрами в общеобразовательных школах дает учащимся большие возможности для анализа различных ситуаций, то есть показывает значимость этих понятий при решении многих практических задач. Именно с простейших практических задач и приложений математически постепенно формируется у школьников понимание значимости математики в жизни.

Список используемой литературы

уравнение неравенство математика

1.Алгебра. 7 класс: Учеб.для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 2010.

2.Алгебра. 7 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2010.

3.Алгебра. 7 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. 8 класс: Учеб.для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 2012.

Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2011.

Алгебра. 8 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. 9 класс: Учеб.для общеобразовательных учеб. заведений / К.С. Муравин, Г.К. Муравин, Г.В. Дорофеев. - М.: Дрофа, 2013.

Алгебра. 9 класс: В двух частях. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - М.: Мнемозина, 2013.

Алгебра. 9 класс: Учебник для общеобразоват. учреждений / С.М. Никольский, М.К. Потапов и др. - М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. Учеб.для 7 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. Учеб.для 7 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2012.

Алгебра. Учеб.для 8 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 2014.

Алгебра. Учеб.для 8 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2011.

Алгебра. Учеб.для 9 класса средней школы / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; под ред. Теляковского. - М.: Просвещение, 2010.

Алгебра. Учеб.для 9 класса средней школы /Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин и др. - М.: Просвещение, 2001.

Беляева Э.С. Математика. Уравнение и неравенство с параметрами в 2 ч.: Учебное пособие/ Беляева Э.С., Потапов А.С., Титоренко С.А. -., - М.:,2009.

Крамор В.С. Задачи с параметром и методы их решения: Учебное пособие /- М.: Оникс; Мир и Образование,2007

Козко А.И. Задачи с параметрами и другие сложные задачи: Учебное пособие для вузов/Козко А. И.,Чирский В. Г. - М.:,МЦНМО,2007.

Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика: Учебное пособие /. - М.: Экзамен,2009.

Прокофьев А.А. Задачи с параметрами: Учебное пособие. - М.: МИЭТ, 2004.

Севрюков П.Ф. Школа решения задач с параметрами: Учебное пособие /Севрюков П.Ф., Смоляков А. Н.-2-е изд.- М.:,2009.

Класс: 11

Цели:

Образовательная:

• систематизировать и обобщить знания о решении уравнения с параметром;
• показать основные приемы решения таких уравнений.

Развивающая: расширить и углубить изучение различных приемов решения уравнений с параметром.

Воспитательная: показать значимость зависимости ответа в задаче с параметром от выбранного значения параметра.

Используемые методы обучения – их применение .

• Объяснительно-иллюстративный.
• Обобщения, аналогии и сравнения.
• УДЕ – создание ключевых задач, аналогия изображений на плоскости.
• Интегрированный – сопоставление алгебры и геометрические интерпретации, слайды.

Формирование общеучебных умений и навыков:

• Выделение существенных признаков изучаемых объектов;
• Выработка практических навыков;
• Используемые методы работы с аудиторией: работа в диалоговом режиме;
• Психологические аспекты урока;
• Создание комфортной рабочей атмосферы;
• Побуждение к активной диалоговой деятельности.

Ход урока

Введение . Вступительное слово учителя .

Уравнения стали привычной частью вариантов вступительных экзаменов ЕГЭ.

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера.
Каждое такое уравнение – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но тем не менее каждое из них должно быть решено. Поэтому возникает необходимость в рассмотрении системы понятий и поиске методов решения уравнений с параметрами (линейных, рациональных и т.д.)

Пусть дано уравнение F(х;а) = 0. Если придать параметру а какое – либо фиксированное значение, то данное уравнение можно рассматривать как «обычное» уравнение с одной переменной.

Поставим задачу : Выяснить, какой может быть ситуация при выбранном значении параметра?

Работа с учащимися в диалоговом режиме.

Обозначим основные проблемы:

1. Установить основные понятия уравнений с параметрами.
2. Для каждого вида уравнений школьного курса математики установить общий метод решения соответствующих уравнений с параметрами – единый как для одного, так и для двух параметров.
3. Рассмотреть примеры заданий на исследование уравнений.
4. Каково установление числа корней уравнений.
5. Нахождение общего корня двух уравнений – в чем его суть?
6. Геометрические интерпретации.

I этап – решение первой проблемы .

Работа с учащимися в диалоговом режиме .

Какие вопросы вы себе определите для установления основных понятий?

Что такое задача с параметром? Что является областью допустимых значений параметра? Что значит решить задачу с параметром? Сколько видов задач с параметрами существует? Что необходимо учитывать при их решении?

Появляется слайд и конспект - Задача с параметром – это множество задач, каждая из которых получается из условия подстановкой конкретного значения параметра. - Область допустимых значений параметра – это множество значений параметра, при подстановке которых получается задача, имеющая смысл. - Решить задачу с параметром означает для любого допустимого значения параметра найти множество всех решений данной задачи. - Рассматривать мы с вами будем задачи с параметром двух основных типов. В задачах I типа требуется для каждого значения параметра решить задачу. Для этого необходимо: разбить ОДЗ параметра на части, на каждой из которых задачу можно решить одним и тем же способом; на каждой из полученных частей решить задачу. В задачах II типа требуется найти все значения параметра, при которых выполнены те или иные заданные условия. - Ответ в задаче с параметром – это описание множества ответов к задачам, полученных при конкретных значениях параметра.

Например.

1) Решить уравнение а (а – 1) = а – 1.

Решение . Перед нами линейное уравнение, имеющее смысл при всех допустимых значениях а. Будем решать его «как обычно»: делим обе части уравнения на коэффициент при неизвестном. Но всегда ли возможно деление?

Делить на ноль нельзя. Придется рассмотреть отдельно случай, когда коэффициент при неизвестном равен о. Получим:

Ответ: 1) если а 0, а 1, то х = ;

2) если а = 1, то х – любое число;

3) если а = 0, то корней нет.

2) Решить уравнение (а – 1)х 2 + 2 (2а – 1)х + 4 а + 3 = 0.

Решение . Рассмотрим два случая:

Рассмотрим дискриминант: D = (2а – 1) 2 – (а – 1)(4а + 3) = - 3а + 4.

Если же а , то х 1,2 = .

Ответ: 1) если а > , то корней нет;

2) если а = 1, то х = - 3,5;

3) если а и а1, то х 1,2 = .

II этап – решение второй проблемы .

Рассмотрим способ классификации частных уравнений с помощью модели общих решений.
Появляется слайд.

Например. В рациональном уравнении функция f 1 (а) = является общим решением для тех значений параметра, для которых . Поскольку

общее решение уравнения на А f1 = }.

Функция f 2 (а) = есть общее решение уравнения на множестве А f2 = .
Построим модель общих решений в следующем виде

На модели выделяем все типы частных уравнений: ; ; .

Итак, на примерах рассмотрены основные понятия уравнений с параметрами: область допустимых значений; область определения; общие решения; контрольные значения параметров; типы частных уравнений.

На базе введенных параметров определим общую схему решения всякого уравнения F(а;х) = 0 с параметром а (для случая двух параметров схема аналогична):

• устанавливается область допустимых значений параметра и область определения;
• определяются контрольные значения параметра, разбивающие область допустимых значений параметра на области однотипности частных уравнений;
• для контрольных значений параметра соответствующие частные уравнения исследуются отдельно;
• находятся общие решения х = f 1 (а), …, f k (а) уравнения F(а;х) =0 на соответствующих множествах А f1 , ……, А fk значений параметра;
• составляется модель общих решений, контрольных значений параметра в следующем виде (на слайде);

• на модели выделяются промежутки значений параметра с одинаковыми решениями (области однотипности);
• для контрольных значений параметра и выделенных областей однотипности записываются характеристики всех типов частных решений.

III этап – примеры заданий на исследование уравнений.

Рассмотрим примеры решения задач с параметрами 2 типа.

Особенно часто встречаются задачи на расположение корней квадратного уравнения. При их решении хорошо «работают» графические иллюстрации. Расположение корней относительно заданных точек плоскостью определяется направлением ветвей соответствующей параболы, координатами вершины, а также значениями в заданных точках.

Например.

1) При каких значениях параметра а уравнение (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5 = 0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1?

Решение . Пусть f(х) = (а 2 + а + 1)х 2 + (2а – 3)х + а – 5. Так как а 2 + а + 1 >0, то для квадратичной функции f(х) условие задачи может выполняться только при условии f (х) < 1.

Решая неравенство f(1) = а 2 + 4а – 7 < 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .

Ответ : -2 - < а < - 2 + .

2) При каких значениях параметра m корни уравнения (m – 1)х 2 – 2 mх + m + 3 = 0 положительны?

Решение . Пусть f(х) = (m-1)х 2 - 2 mх + m + 3 тогда:

1) если, m = 1,то -2х + 4=0, х= 2- корень положителен;

2) если m 1, то с помощью рисунка можно получить следующие соотношения:

Рассмотрим 2 случая:

1) если 1,5 m > 0, тогда из 2 и 3 неравенств последней системы получим, что m > 1, т.е. окончательно 1,5 m > 1;

2) если m < 0, тогда из неравенства (m-1)m > 0 получим, что m-1 < 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.

Ответ : m (-; -3)

IV этап - рассмотрим задачи на установления числа корней уравнения.

Пример 1. При каких значениях параметра, а уравнение 2 cos 2 x – (2а + 9)cosx + 9а = 0 не имеет корней.

Решение. Пусть у = cosх, тогда исходное уравнение примет вид 2у 2 – (2 а + 9)у + 9а = 0, корни которого у 1 = а, у 2 = 4,5. Уравнение cosх = 4,5 корней не имеет, а уравнение cosх = а не имеет корней, если > 1.

Ответ : (- ; -1) (1; ).

Пример 2 . Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет корней.

Решение . Данное уравнение равносильно системе: .

Уравнение не имеет решения в двух случаях: а = и

Пример 3 . При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение . Решение уравнения может быть единственным только, если х = 0. Если х = 0,то а 2 -1 = 0, и а = 1.

Рассмотрим 2 случая:

1) если а = 1, то х 2 - = 0 – корней три;

2). Если а = -1, то то х 2 + = 0, х = 0 - единственный корень.

Пример 4. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 корня?

Решение. Данное уравнение равносильно системе: . Выясним, когда квадратное уравнение х 2 – х – а = 0 имеет 2 неотрицательных корня.

Полученное уравнение имеет два корня, если 1+ 4а > 0; они неотрицательны, если

0 > а > - .

Ответ : (- ; 0] .

Во многих случаях при установлении числа корней уравнении имеет значение симметрия.

V этап - нахождение общего корня двух уравнений.

Пример 1. При каких значениях параметра а уравнение х 2 + 3х + 7а -21 =0 и х 2 +6х +5а -6 =0 имеют общий корень?

Решение. Исключим параметр а из полученной системы. Для этого первое уравнение умножим на -5, второе - на7, а результаты сложим. Получим: 2х 2 + 27х +63 =0, корни которого х 1 = -3, х 2 = -10,5. Подставим корни в одно из уравнений и найдем значение параметра а.

Ответ : 3 и – 8,25.

Пример 2. При каких значениях параметра а уравнение х 2 – ах + 2 = 0 и 3х 2 + (а - 9)х+ 3=0 равносильны?

Решение . Как известно уравнения равносильны, если множество их корней совпадают. Рассмотрим 2 случая.

1) Уравнения не имеют корней (множество корней пусто). Тогда их дискриминанты отрицательны:

Система неравенств решений не имеет.

2) Уравнения имеют общие корни. Тогда

Следовательно, данные уравнения могут иметь общие корни только при а = 3 или а = .

Проверить самостоятельно!

VI этап – геометрические интерпретации.

Решение задач с параметрами может существенно облегчить использование графиков.

Пример 1 . Решите уравнение в зависимости от параметра а: .

Решение. Понятно что при а 0:

Все ли корни подходят. Чтобы это выяснить, построим график функции а =.
Количество корней можно увидеть на рисунке:

1. если а < 0, то корней нет;
2. если а = 0 и а > 0, то 2 корня.

Найдем эти корни.

При а = 0 получим х 2 – 2х – 3 = 0 и х 1 = -1, х 2 = 3; при а > 4 это корни уравнения х 2 – 2х – 3 – а = 0.

Если 0 < а < 4 – все 4 корня подходят.

Если а = 4 – три корня:
Ответ : 1) если а < 0, то корней нет;

2) если а = 0, то х 1 = -1, х 2 =3;

3) если 0 < a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;

4) если а = 4, то х 1 = 1; х 2,3 = 1 ;

5) если а > 4, то х 1,2 = 1 .

Пример 2 . При каких значениях а уравнение имеет более двух корней?

Решение . Если подставить х = 0 в исходное уравнение, то получим 6 = 6, это означает, что х = 0 является решением уравнения при любом а.

Пусть теперь х 0, тогда можно записать . Выясним знаки выражений 2х + 3 и 2х – 3.

Раскроем модули: а = (1)

В плоскости х0а построим множество точек (х;а), координаты которых удовлетворяют соотношению (1).

Если а = 0, то уравнение имеет бесконечное множество решений на промежутке , при других значениях а число решений уравнения не превышает двух.

Ответ : а = 0.

Тестовый контроль

1 вариант	2 вариант
1) Решите уравнение: 0 · х = а Ответы	1) Решить уравнение: а х = а. Ответы : а) при а ≠ 0, х = 1, при а = 0, х R б) при а = 0, х R, при а ≠ 0 корней нет в) при а = 0 нет корней, при а ≠ х =
2) Решит уравнение: (в – 2)·х = 5 + в. Ответы:	2) Решите уравнение (в + 1)·х = 3 – в . Ответы: а) при в = 2 нет корней; при в ≠2, х = ; б) при в = -2 нет корней, при в ≠-2 х = в) при в = -1 нет корней, при а ≠ - 1
3) При каких значениях параметра с уравнение имеет бесконечное множество решений? с·(с + 1)·х = с 2 – 1 . Ответ : а) при с = -1, х R, ; Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Задачи с параметрами по алгебре и анализу, 1998 г.