Antiderivative m. Antiderivative function at pangkalahatang view. Mula sa mga rational function

Sa isang naunang materyal, ang isyu ng paghahanap ng derivative ay isinasaalang-alang at ang iba't ibang mga aplikasyon nito ay ipinakita: pagkalkula ng slope ng tangent sa graph, paglutas ng mga problema sa pag-optimize, pag-aaral ng mga function para sa monotonicity at extrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Larawan 1.

Isinaalang-alang din ang problema sa paghahanap ng agarang bilis na $v(t)$ gamit ang derivative na may kinalaman sa dating kilalang distansyang nilakbay, na ipinahayag ng function na $s(t)$.

Figure 2.

Ang kabaligtaran na problema ay karaniwan din, kapag kailangan mong hanapin ang landas na $s(t)$ na nilakbay ng isang punto sa oras $t$, alam ang bilis ng puntong $v(t)$. Kung natatandaan mo, ang agarang bilis na $v(t)$ ay makikita bilang derivative ng path function na $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Kaya para makapagdesisyon baligtad na problema, iyon ay, upang kalkulahin ang landas, kailangan mong makahanap ng isang function na ang derivative ay magiging katumbas ng speed function. Ngunit alam natin na ang derivative ng landas ay ang bilis, iyon ay: $s'(t) = v(t)$. Ang bilis ay katumbas ng produkto ng acceleration at oras: $v=at$. Madaling matukoy na ang gustong function ng path ay magkakaroon ng form: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Ngunit hindi ito isang kumpletong solusyon. Ang kumpletong solusyon ay magmumukhang: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, kung saan ang $C$ ay medyo pare-pareho. Kung bakit ganito ay tatalakayin sa ibang pagkakataon. Pansamantala, suriin natin ang kawastuhan ng nahanap na solusyon: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.

Ito ay nagkakahalaga ng pagpuna na ang paghahanap ng landas sa pamamagitan ng bilis ay ang pisikal na kahulugan ng antiderivative.

Ang resultang function na $s(t)$ ay tinatawag na antiderivative ng $v(t)$. Medyo isang kawili-wili at hindi pangkaraniwang pangalan, hindi ba. Mayroong maraming kahulugan dito, na nagpapaliwanag ng kakanyahan konseptong ito at humahantong sa pagkakaunawaan. Makikita mo na naglalaman ito ng dalawang salitang "una" at "larawan". Nagsasalita sila para sa kanilang sarili. Ibig sabihin, ito ang function na orihinal para sa derivative na mayroon tayo. At sa pamamagitan ng derivative na ito hinahanap namin ang function na nasa simula, ay ang "first", "first image", iyon ay, ang antiderivative. Minsan ito ay tinatawag ding primitive function o isang anti-derivative.

Tulad ng alam na natin, ang proseso ng paghahanap ng derivative ay tinatawag na differentiation. At ang proseso ng paghahanap ng antiderivative ay tinatawag na integration. Ang integration operation ay ang kabaligtaran ng differentiation operation. Totoo rin ang kabaligtaran.

Kahulugan. Ang isang antiderivative para sa isang function na $f(x)$ sa ilang interval ay isang function na $F(x)$ na ang derivative ay katumbas ng function na ito $f(x)$ para sa lahat ng $x$ mula sa tinukoy na interval: $F'( x)=f (x)$.

Maaaring may isang tao na may tanong: saan nagmula ang $F(x)$ at $f(x)$ sa kahulugan, kung sa simula ito ay tungkol sa $s(t)$ at $v(t)$. Ang katotohanan ay ang $s(t)$ at $v(t)$ ay mga espesyal na kaso ng pagtatalaga ng mga function na may partikular na kahulugan sa kasong ito, iyon ay, sila ay isang function ng oras at isang function ng bilis, ayon sa pagkakabanggit. Ang parehong ay totoo para sa variable na $t$ - ito ay kumakatawan sa oras. At ang $f$ at $x$ ay tradisyonal na bersyon ang pangkalahatang pagtatalaga ng isang function at isang variable, ayon sa pagkakabanggit. Ito ay nagkakahalaga ng pagbibigay ng espesyal na pansin sa notasyon ng antiderivative na $F(x)$. Una, ang $F$ ay kapital. Ang mga antiderivative ay tinutukoy malaking titik. Pangalawa, ang mga titik ay pareho: $F$ at $f$. Ibig sabihin, para sa function na $g(x)$ ang antiderivative ay ilalarawan ng $G(x)$, para sa $z(x)$ - ng $Z(x)$. Anuman ang notasyon, ang mga patakaran para sa paghahanap ng antiderivative function ay palaging pareho.

Tingnan natin ang ilang halimbawa.

Halimbawa 1 Patunayan na ang function na $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ ay ang antiderivative ng function na $f(x)=\cos5x$.

Upang patunayan ito, ginagamit namin ang kahulugan, o sa halip ang katotohanan na $F'(x)=f(x)$, at hanapin ang derivative ng function na $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Kaya ang $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ ay ang antiderivative ng $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Halimbawa 2 Hanapin kung aling mga function ang tumutugma sa mga sumusunod na antiderivatives: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

Upang mahanap ang nais na mga function, kinakalkula namin ang kanilang mga derivatives:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Halimbawa 3 Ano ang magiging antiderivative para sa $f(x)=0$?
Gamitin natin ang kahulugan. Pag-isipan natin kung aling function ang maaaring magkaroon ng derivative na katumbas ng $0$. Ang pag-alala sa talahanayan ng mga derivatives, nakuha namin na ang anumang pare-pareho ay magkakaroon ng ganoong derivative. Nakukuha namin na ang antiderivative na hinahanap namin: $F(x)= C$.

Ang resultang solusyon ay maaaring ipaliwanag sa geometriko at pisikal na paraan. Sa geometriko, nangangahulugan ito na ang tangent sa graph na $y=F(x)$ ay pahalang sa bawat punto ng graph na ito at, samakatuwid, ay tumutugma sa axis na $Ox$. Pisikal na ipinaliwanag sa pamamagitan ng katotohanan na ang isang punto na may bilis na katumbas ng zero ay nananatili sa lugar, iyon ay, ang landas na nilakbay nito ay hindi nagbabago. Batay dito, maaari nating bumalangkas ang sumusunod na teorama.

Teorama. (Pag-andar ng patuloy na sign). Kung $F'(x) = 0$ sa ilang interval, ang function na $F(x)$ ay pare-pareho sa interval na ito.

Halimbawa 4 Tukuyin ang mga antiderivative kung aling mga function ang mga function a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, kung saan ang $a$ ay ilang numero.
Gamit ang kahulugan ng isang antiderivative, napagpasyahan namin na upang malutas ang gawaing ito, kailangan naming kalkulahin ang mga derivatives ng mga antiderivative function na ibinigay sa amin. Kapag nagkalkula, tandaan na ang derivative ng isang pare-pareho, iyon ay, anumang numero, ay katumbas ng zero.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) – 3\right)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

Ano ang nakikita natin? Ang ilang magkakaibang function ay mga antiderivatives ng parehong function. Nangangahulugan ito na ang anumang function ay may walang katapusang maraming antiderivatives, at mayroon silang anyong $F(x) + C$, kung saan ang $C$ ay isang arbitrary na pare-pareho. Iyon ay, ang pagpapatakbo ng pagsasama ay multi-valued, sa kaibahan sa pagpapatakbo ng pagkita ng kaibhan. Batay dito, bumubuo kami ng isang teorama na naglalarawan sa pangunahing katangian ng mga antiderivatives.

Teorama. (Ang pangunahing pag-aari ng primitives). Hayaang ang mga function na $F_1$ at $F_2$ ay mga antiderivatives ng function na $f(x)$ sa ilang pagitan. Pagkatapos ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay totoo para sa lahat ng mga halaga mula sa pagitan na ito: $F_2=F_1+C$, kung saan ang $C$ ay medyo pare-pareho.

Ang katotohanan ng pagkakaroon ng isang walang katapusang hanay ng mga antiderivatives ay maaaring bigyang-kahulugan sa geometrically. Sa tulong ng parallel na pagsasalin sa kahabaan ng axis na $Oy$ makakakuha ang isa ng mga graph ng alinmang dalawang antiderivative para sa $f(x)$ mula sa isa't isa. Ito ang geometriko na kahulugan ng antiderivative.

Napakahalagang bigyang-pansin ang katotohanan na sa pamamagitan ng pagpili ng pare-parehong $C$ posibleng gawin ang graph ng antiderivative na dumaan sa isang tiyak na punto.

Larawan 3

Halimbawa 5 Hanapin ang antiderivative para sa function na $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ na ang graph ay dumadaan sa puntong $(3; 1)$.
Hanapin muna natin ang lahat ng antiderivatives para sa $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Susunod, nakahanap kami ng numero C kung saan ang graph na $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ ay dadaan sa puntong $(3; 1)$. Upang gawin ito, pinapalitan namin ang mga coordinate ng punto sa equation ng graph at lutasin ito nang may paggalang sa $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Nakuha namin ang graph na $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, na tumutugma sa antiderivative na $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Talaan ng mga antiderivatives

Ang isang talahanayan ng mga formula para sa paghahanap ng mga antiderivative ay maaaring i-compile gamit ang mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives.

Talaan ng mga antiderivatives

Mga pag-andar	antiderivatives
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\sa R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cosx$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

Maaari mong suriin ang kawastuhan ng talahanayan tulad ng sumusunod: para sa bawat hanay ng mga antiderivative na matatagpuan sa kanang column, hanapin ang derivative, bilang isang resulta kung saan ang mga kaukulang function sa kaliwang column ay makukuha.

Ilang panuntunan para sa paghahanap ng mga antiderivative

Tulad ng alam mo, maraming mga function ang may mas kumplikadong anyo kaysa sa mga nakasaad sa talahanayan ng mga antiderivative, at maaaring maging anumang arbitrary na kumbinasyon ng mga kabuuan at produkto ng mga function mula sa talahanayang ito. At dito lumitaw ang tanong, kung paano makalkula ang mga antiderivatives ng mga katulad na pag-andar. Halimbawa, mula sa talahanayan alam natin kung paano kalkulahin ang mga antiderivative na $x^3$, $\sin x$ at $10$. Ngunit paano, halimbawa, upang kalkulahin ang antiderivative $x^3-10\sin x$? Sa hinaharap, nararapat na tandaan na ito ay magiging katumbas ng $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Kung ang $F(x)$ ay isang antiderivative para sa $f(x)$, ang $G(x)$ ay para sa $g(x)$, pagkatapos ay para sa $f(x)+g(x)$ ang antiderivative ay magiging katumbas ng $ F(x)+G(x)$.
2. Kung ang $F(x)$ ay isang antiderivative para sa $f(x)$ at ang $a$ ay isang pare-pareho, kung gayon para sa $af(x)$ ang antiderivative ay $aF(x)$.
3. Kung para sa $f(x)$ ang antiderivative ay $F(x)$, $a$ at $b$ ay constants, kung gayon ang $\frac(1)(a) F(ax+b)$ ay antiderivative para sa $f (ax+b)$.
Gamit ang nakuha na mga panuntunan, maaari nating palawakin ang talahanayan ng mga antiderivatives.

Mga pag-andar	antiderivatives
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Halimbawa 5 Maghanap ng mga antiderivative para sa:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Sa pahinang ito makikita mo ang:

1. Sa totoo lang, ang talahanayan ng mga antiderivatives - maaari itong i-download sa format na PDF at i-print;

2. Video kung paano gamitin ang talahanayang ito;

3. Isang grupo ng mga halimbawa ng pagkalkula ng antiderivative mula sa iba't ibang mga aklat-aralin at pagsusulit.

Sa mismong video, susuriin namin ang maraming mga gawain kung saan kinakailangan na kalkulahin ang mga antiderivative function, kadalasang medyo kumplikado, ngunit ang pinakamahalaga, hindi sila power-law. Ang lahat ng mga function na nakabuod sa talahanayan na iminungkahi sa itaas ay dapat na kilala sa puso, tulad ng mga derivatives. Kung wala ang mga ito, ang karagdagang pag-aaral ng mga integral at ang kanilang aplikasyon upang malutas ang mga praktikal na problema ay imposible.

Ngayon ay patuloy kaming humaharap sa mga primitive at lumipat sa isang bahagyang mas kumplikadong paksa. Kung nasa huling beses Dahil isinasaalang-alang namin ang mga antiderivative mula lamang sa mga function ng kapangyarihan at bahagyang mas kumplikadong mga istraktura, ngayon ay susuriin namin ang trigonometry at marami pa.

Tulad ng sinabi ko sa huling aralin, ang mga antiderivative, hindi katulad ng mga derivatives, ay hindi kailanman malulutas na "blangko" gamit ang anumang karaniwang mga patakaran. Bukod dito, ang masamang balita ay, hindi katulad ng hinalaw, ang antiderivative ay maaaring hindi maisaalang-alang sa lahat. Kung magsusulat tayo ng buo random function at subukang hanapin ang derivative nito, pagkatapos ay magtatagumpay tayo na may napakataas na posibilidad, ngunit ang antiderivative ay halos hindi kailanman makalkula sa kasong ito. Ngunit mayroon ding magandang balita: mayroong isang medyo malaking klase ng mga pag-andar na tinatawag na elementarya na mga pag-andar, ang mga antiderivative na kung saan ay napakadaling kalkulahin. At lahat ng iba pang mas kumplikadong mga istruktura na ibinibigay sa iba't ibang kontrol, independyente at mga pagsusulit, sa katunayan, ay binubuo ng mga ito mga pag-andar ng elementarya sa pamamagitan ng karagdagan, pagbabawas at iba pang mga simpleng operasyon. Ang mga antiderivatives ng naturang mga pag-andar ay matagal nang kinakalkula at na-summarized sa mga espesyal na talahanayan. Ito ay may ganitong mga pag-andar at mga talahanayan na gagawin namin ngayon.

Ngunit magsisimula tayo, gaya ng nakasanayan, sa isang pag-uulit: tandaan kung ano ang isang antiderivative, kung bakit mayroong walang katapusang marami sa kanila, at kung paano matukoy ang mga ito. pangkalahatang anyo. Upang gawin ito, kinuha ko ang dalawang simpleng gawain.

Paglutas ng mga madaling halimbawa

Halimbawa #1

Tandaan kaagad na ang $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ at ang presensya ng $\text( )\!\!\pi\!\! Ang \ text( )$ ay agad na nagpapahiwatig sa amin na ang kinakailangang antiderivative ng function ay nauugnay sa trigonometry. At, sa katunayan, kung titingnan natin ang talahanayan, makikita natin na ang $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ay walang iba kundi $\text(arctg)x$. Kaya't magsulat tayo:

Upang mahanap, kailangan mong isulat ang sumusunod:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

Halimbawa #2

Dito pinag-uusapan din natin ang tungkol sa mga function ng trigonometriko. Kung titingnan natin ang talahanayan, kung gayon, sa katunayan, ito ay magiging ganito:

Kailangan nating hanapin sa buong hanay ng mga antiderivative ang isa na dumadaan sa tinukoy na punto:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

Sa wakas ay isulat natin ito:

Ganun kasimple. Ang tanging problema ay upang mabilang ang mga antiderivatives ng mga simpleng function, kailangan mong matutunan ang talahanayan ng mga antiderivatives. Gayunpaman, pagkatapos matutunan ang talahanayan ng mga derivatives para sa iyo, sa palagay ko hindi ito magiging problema.

Paglutas ng mga problemang naglalaman ng exponential function

Magsimula tayo sa pagsulat ng mga sumusunod na formula:

\[((e)^(x))\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

Tingnan natin kung paano ito gumagana sa pagsasanay.

Halimbawa #1

Kung titingnan natin ang mga nilalaman ng mga bracket, mapapansin natin na sa talahanayan ng mga antiderivatives ay walang ganoong expression na ang $((e)^(x))$ ay nasa isang parisukat, kaya dapat na buksan ang parisukat na ito. Upang gawin ito, ginagamit namin ang mga pinaikling formula ng pagpaparami:

Hanapin natin ang antiderivative para sa bawat isa sa mga termino:

\[((e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e) )^(-2)) \kanan))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

At ngayon kinokolekta namin ang lahat ng mga termino sa isang expression at kumuha ng isang karaniwang antiderivative:

Halimbawa #2

Sa pagkakataong ito, mas malaki na ang exponent, kaya medyo magiging kumplikado ang pinaikling formula ng multiplikasyon. Palawakin natin ang mga bracket:

Ngayon subukan nating kunin ang antiderivative ng ating formula mula sa konstruksiyon na ito:

Tulad ng makikita mo, walang kumplikado at supernatural sa mga antiderivatives ng exponential function. Kinakalkula ang lahat sa pamamagitan ng mga talahanayan, gayunpaman, tiyak na mapapansin ng mga matulunging estudyante na ang antiderivative na $((e)^(2x))$ ay mas malapit sa $((e)^(x))$ lamang kaysa sa $((a )^(x ))$. Kaya, marahil mayroong ilang higit pang espesyal na panuntunan na nagpapahintulot, alam ang antiderivative na $((e)^(x))$, upang mahanap ang $((e)^(2x))$? Oo, may ganoong tuntunin. At, bukod dito, ito ay isang mahalagang bahagi ng pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives. Susuriin namin ngayon ito gamit ang parehong mga expression na ginamit namin bilang isang halimbawa.

Mga panuntunan para sa pagtatrabaho sa talahanayan ng mga antiderivatives

Isulat muli natin ang ating function:

Sa nakaraang kaso, ginamit namin ang sumusunod na formula upang malutas:

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

Ngunit ngayon ay gumawa tayo ng ibang bagay: tandaan kung anong batayan ang $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Gaya ng nasabi na, dahil ang derivative ng $((e)^(x))$ ay walang iba kundi $((e)^(x))$, kaya ang antiderivative nito ay magiging katumbas ng parehong $((e) ^( x))$. Ngunit ang problema ay mayroon tayong $((e)^(2x))$ at $((e)^(-2x))$. Ngayon subukan nating hanapin ang derivative na $((e)^(2x))$:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

Muli nating isulat muli ang ating pagtatayo:

\[((\left(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\left(\frac(((e)^(2x)))(2) \right))^(\prime ))\]

At nangangahulugan ito na kapag hinahanap ang antiderivative na $((e)^(2x))$, nakukuha natin ang sumusunod:

\[((e)^(2x))\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Tulad ng nakikita mo, nakuha namin ang parehong resulta tulad ng dati, ngunit hindi namin ginamit ang formula upang mahanap ang $((a)^(x))$. Ngayon ito ay maaaring mukhang hangal: bakit kumplikado ang mga kalkulasyon kapag mayroong isang karaniwang formula? Gayunpaman, sa kaunti pa kumplikadong mga ekspresyon makikita mo na ang pamamaraan na ito ay napaka-epektibo, i.e. gamit ang mga derivatives upang mahanap ang mga antiderivatives.

Hayaan, bilang isang warm-up, hanapin ang antiderivative ng $((e)^(2x))$ sa katulad na paraan:

\[((\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \right))^(\prime ))\]

Kapag kinakalkula, ang aming konstruksiyon ay isusulat tulad ng sumusunod:

\[((e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Nakuha namin ang eksaktong parehong resulta, ngunit pumunta sa ibang paraan. Ito ay sa ganitong paraan, na tila sa amin ngayon ay medyo mas kumplikado, sa hinaharap ay magiging mas mahusay para sa pagkalkula ng mas kumplikadong antiderivatives at paggamit ng mga talahanayan.

Tandaan! Ito ay isang napakahalagang punto: ang mga antiderivative, tulad ng mga derivative, ay mabibilang sa maraming iba't ibang paraan. Gayunpaman, kung ang lahat ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay pantay, ang sagot ay magiging pareho. Nakita na lang natin ito sa halimbawa ng $((e)^(-2x))$ - sa isang banda, nakalkula na natin itong antiderivative na "sa kabuuan", gamit ang kahulugan at pagkalkula nito sa tulong ng mga pagbabago, sa sa kabilang banda, naalala namin na ang $ ((e)^(-2x))$ ay maaaring katawanin bilang $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ at pagkatapos gamitin ang antiderivative para sa function na $( (a)^(x))$. Gayunpaman, pagkatapos ng lahat ng mga pagbabago, ang resulta ay pareho sa inaasahan.

At ngayong naiintindihan na natin ang lahat ng ito, oras na para magpatuloy sa isang bagay na mas matibay. Ngayon ay susuriin natin ang dalawang simpleng mga konstruksyon, gayunpaman, ang pamamaraan na ilalagay kapag nilutas ang mga ito ay isang mas malakas at kapaki-pakinabang na tool kaysa sa isang simpleng "pagtakbo" sa pagitan ng mga kalapit na antiderivatives mula sa talahanayan.

Paglutas ng problema: hanapin ang antiderivative ng isang function

Halimbawa #1

Ibigay ang halaga na nasa mga numerator, mabulok sa tatlong magkakahiwalay na fraction:

Ito ay medyo natural at nauunawaan na paglipat - karamihan sa mga mag-aaral ay walang problema dito. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

Ngayon tandaan natin ang formula na ito:

Sa aming kaso, makukuha namin ang sumusunod:

Upang maalis ang lahat ng tatlong-kuwento na fraction na ito, iminumungkahi kong gawin ang sumusunod:

Halimbawa #2

Hindi tulad ng nakaraang fraction, ang denominator ay hindi ang produkto, ngunit ang kabuuan. Sa kasong ito, hindi na natin mahahati ang ating fraction sa kabuuan ng ilang simpleng fraction, ngunit kailangan nating subukang tiyakin na ang numerator ay naglalaman ng humigit-kumulang kaparehong expression ng denominator. Sa kasong ito, medyo madaling gawin:

Ang gayong notasyon, na sa wika ng matematika ay tinatawag na "pagdaragdag ng zero", ay magbibigay-daan sa amin na muling hatiin ang bahagi sa dalawang piraso:

Ngayon, hanapin natin ang hinahanap natin:

Iyon lang ang mga kalkulasyon. Sa kabila ng maliwanag na mas kumplikado kaysa sa nakaraang problema, ang halaga ng mga kalkulasyon ay naging mas maliit.

Nuances ng solusyon

At ito ay kung saan ang pangunahing kahirapan ng pagtatrabaho sa tabular primitives ay namamalagi, ito ay lalong kapansin-pansin sa pangalawang gawain. Ang katotohanan ay upang pumili ng ilang mga elemento na madaling mabibilang sa pamamagitan ng talahanayan, kailangan nating malaman kung ano ang eksaktong hinahanap natin, at nasa paghahanap para sa mga elementong ito na binubuo ang buong pagkalkula ng mga antiderivatives.

Sa madaling salita, hindi sapat na kabisaduhin lamang ang talahanayan ng mga antiderivatives - kailangan mong makita ang isang bagay na wala pa, ngunit kung ano ang ibig sabihin ng may-akda at tagatala ng problemang ito. Iyon ang dahilan kung bakit maraming mga mathematician, guro at propesor ang patuloy na nagtatalo: "Ano ang pagkuha ng mga antiderivatives o pagsasama - ito ba ay isang tool lamang o ito ba ay tunay na sining?" Sa katunayan, sa aking personal na opinyon, ang pagsasama-sama ay hindi isang sining - walang kahanga-hanga dito, ito ay pagsasanay at pagsasanay lamang muli. At para magsanay, lutasin natin ang tatlo pang seryosong halimbawa.

Magsanay ng pagsasama sa pagsasanay

Gawain 1

Isulat natin ang mga sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

Isulat natin ang sumusunod:

Gawain #2

Isulat muli natin ito tulad ng sumusunod:

Ang kabuuang antiderivative ay magiging katumbas ng:

Gawain #3

Ang pagiging kumplikado ng gawaing ito ay nakasalalay sa katotohanan na, hindi katulad ng mga nakaraang pag-andar, walang variable na $x$ sa itaas, i.e. hindi malinaw sa amin kung ano ang idadagdag, ibawas upang makakuha ng kahit na isang bagay na katulad ng nasa ibaba. Gayunpaman, sa katunayan, ang expression na ito ay itinuturing na mas simple kaysa sa anumang expression mula sa nakaraang mga konstruksyon, dahil ang function na ito ay maaaring muling isulat tulad ng sumusunod:

Maaari mo na ngayong itanong: bakit pantay ang mga function na ito? Suriin natin:

Muli nating isulat:

Baguhin natin ng kaunti ang ating ekspresyon:

At kapag ipinaliwanag ko ang lahat ng ito sa aking mga mag-aaral, ang parehong problema ay halos palaging lumitaw: sa unang pag-andar ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw, sa pangalawa maaari mo ring malaman ito nang may swerte o pagsasanay, ngunit anong uri ng alternatibong kamalayan ang ginagawa kailangan mong magkaroon upang malutas ang ikatlong halimbawa? Sa totoo lang, huwag kang matakot. Ang pamamaraan na ginamit namin kapag kinakalkula ang huling antiderivative ay tinatawag na "pagbubulok ng isang function sa pinakasimpleng", at ito ay isang napakaseryosong pamamaraan, at isang hiwalay na aralin sa video ang ilalaan dito.

Pansamantala, iminumungkahi kong bumalik sa kung ano ang aming pinag-aralan, ibig sabihin, sa exponential function at medyo kumplikado ang mga gawain sa kanilang nilalaman.

Mas kumplikadong mga problema para sa paglutas ng mga antiderivative exponential function

Gawain 1

Tandaan ang sumusunod:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\kaliwa(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

Upang mahanap ang antiderivative ng expression na ito, gamitin lamang ang karaniwang formula na $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

Sa aming kaso, ang primitive ay magiging ganito:

Of course, against the background of the construction that we just solve, this one looks simpler.

Gawain #2

Muli, madaling makita na ang function na ito ay madaling hatiin sa dalawang magkahiwalay na termino - dalawang magkahiwalay na fraction. Muli nating isulat:

Ito ay nananatiling hanapin ang antiderivative ng bawat isa sa mga terminong ito ayon sa formula sa itaas:

Sa kabila ng tila kumplikado exponential function kumpara sa mga kapangyarihan, ang kabuuang halaga ng mga kalkulasyon at kalkulasyon ay naging mas simple.

Siyempre, para sa mga mag-aaral na may kaalaman, ang kakaharap lang natin (lalo na sa background ng kung ano ang napag-usapan natin noon) ay maaaring mukhang elementarya. Gayunpaman, sa pagpili ng dalawang gawaing ito para sa video tutorial ngayon, hindi ko itinakda sa aking sarili ang layunin na sabihin sa iyo ang isa pang kumplikado at nakakalito na trick - ang gusto ko lang ipakita sa iyo ay hindi ka dapat matakot na gumamit ng mga karaniwang algebra trick upang mabago ang orihinal na mga function. .

Gamit ang "lihim" na pamamaraan

Sa konklusyon, nais kong pag-aralan ang isa pa kawili-wiling trick, na, sa isang banda, ay lumampas sa kung ano ang pangunahing pinag-aralan natin ngayon, ngunit, sa kabilang banda, ito ay, una, sa anumang paraan ay hindi kumplikado, i.e. kahit na ang mga baguhang mag-aaral ay maaaring makabisado ito, at, pangalawa, ito ay madalas na matatagpuan sa lahat ng uri ng kontrol at pansariling gawain, ibig sabihin. ang pag-alam na ito ay magiging lubhang kapaki-pakinabang bilang karagdagan sa pag-alam sa talahanayan ng mga antiderivatives.

Gawain 1

Malinaw, mayroon kaming isang bagay na halos kapareho sa isang power function. Paano tayo dapat magpatuloy sa kasong ito? Pag-isipan natin ito: ang $x-5$ ay naiiba sa $x$ na hindi gaanong - nagdagdag lang ng $-5$. Isulat natin ito ng ganito:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

Subukan nating hanapin ang derivative ng $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right)))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Ito ay nagpapahiwatig:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac(((\left(x-5 \right)))^(5)))(5) \ kanan))^(\prime ))\]

Walang ganoong halaga sa talahanayan, kaya nakuha na namin ang formula na ito sa aming sarili, gamit ang karaniwang antiderivative formula para sa isang power function. Isulat natin ang sagot tulad nito:

Gawain #2

Sa maraming mag-aaral na tumitingin sa unang solusyon, maaaring mukhang napakasimple ng lahat: sapat na upang palitan ang $x$ sa power function ng isang linear na expression, at lahat ay mahuhulog sa lugar. Sa kasamaang palad, ang lahat ay hindi gaanong simple, at ngayon ay makikita natin ito.

Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa unang expression, isinusulat namin ang sumusunod:

\[((x)^(9))\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\kaliwa(4-3x \kanan))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

Pagbabalik sa aming derivative, maaari naming isulat:

\[((\left(((\left(4-3x \right)))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\left(4-3x \right))^(9))=((\left(\frac(((\left(4-3x \right)))^(10)))(-30) \kanan))^(\prime ))\]

Mula dito ay agad itong sumusunod:

Nuances ng solusyon

Pakitandaan: kung sa huling pagkakataon ay walang nagbago, sa pangalawang kaso, $-30$ ang lumitaw sa halip na $-10$. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng $-10$ at $-30$? Malinaw, sa kadahilanang $-3$. Tanong: saan ito nanggaling? Kung titingnang mabuti, makikita mo na kinuha ito bilang resulta ng pagkalkula ng derivative kumplikadong pag-andar- ang coefficient na nakatayo sa $x$ ay makikita sa antiderivative sa ibaba. Ito ay lubhang mahalagang tuntunin, na sa una ay hindi ko binalak na pag-aralan ang lahat sa video tutorial ngayon, ngunit kung wala ito, ang pagtatanghal ng mga tabular na antiderivative ay hindi kumpleto.

Kaya ulitin natin. Hayaan ang aming pangunahing function ng kapangyarihan:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

At ngayon sa halip na $x$ palitan natin ang expression na $kx+b$. Ano kaya ang mangyayari? Kailangan nating hanapin ang mga sumusunod:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+ 1 \kanan)\cdot k)\]

Sa anong batayan natin ito iginigiit? Napakasimple. Hanapin natin ang derivative ng construction na nakasulat sa itaas:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right)))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\kaliwa(kx+b \kanan))^(n))\]

Ito ang parehong expression na orihinal. Kaya, ang formula na ito ay tama rin, at maaari itong magamit upang madagdagan ang talahanayan ng mga antiderivatives, ngunit mas mahusay na tandaan lamang ang buong talahanayan.

Mga konklusyon mula sa "lihim: pagtanggap:

• Ang parehong mga pag-andar na isinasaalang-alang natin, sa katunayan, ay maaaring mabawasan sa mga antiderivative na ipinahiwatig sa talahanayan sa pamamagitan ng pagbubukas ng mga degree, ngunit kung higit pa o mas kaunti ay makakayanan natin ang ika-apat na antas, kung gayon hindi ko gagawin ang ikasiyam na antas. nagbakasakali na ihayag.
• Kung bubuksan natin ang mga degree, makakakuha tayo ng ganoong dami ng mga kalkulasyon na simpleng gawain aabutin tayo ng hindi naaangkop na tagal ng oras.
• Iyon ang dahilan kung bakit ang mga naturang gawain, sa loob kung saan may mga linear na expression, ay hindi kailangang malutas na "blangko". Sa sandaling matugunan mo ang isang antiderivative, na naiiba mula sa isa sa talahanayan lamang sa pagkakaroon ng expression na $kx+b$ sa loob, agad na tandaan ang formula na nakasulat sa itaas, palitan ito sa iyong tabular antiderivative, at lahat ay magiging marami. mas mabilis at mas madali.

Naturally, dahil sa pagiging kumplikado at kabigatan ng diskarteng ito, paulit-ulit kaming babalik sa pagsasaalang-alang nito sa hinaharap na mga video tutorial, ngunit para sa ngayon ay mayroon akong lahat. Sana ay talagang makatulong ang araling ito sa mga mag-aaral na gustong maunawaan ang mga antiderivatives at integration.

Ang araling ito ay ang una sa isang serye ng mga video sa pagsasama. Sa loob nito, susuriin natin kung ano ang antiderivative ng isang function, at pag-aaralan din ang mga elementarya na pamamaraan para sa pagkalkula ng mga antiderivative na ito.

Sa katunayan, walang kumplikado dito: sa esensya, ang lahat ay bumaba sa konsepto ng isang derivative, na dapat ay pamilyar ka na. :)

Napansin ko kaagad iyon, dahil ito ang pinakaunang aralin sa aming bagong paksa, ngayon ay walang mga kumplikadong kalkulasyon at formula, ngunit ang pag-aaralan natin ngayon ay magiging batayan ng mas kumplikadong mga kalkulasyon at istruktura kapag kinakalkula ang mga kumplikadong integral at mga lugar.

Bilang karagdagan, kapag nagsimulang mag-aral ng integration at integrals sa partikular, ipinapalagay namin na ang mag-aaral ay pamilyar na sa mga konsepto ng derivative at mayroon nang hindi bababa sa elementarya na kasanayan sa pagkalkula ng mga ito. Kung walang malinaw na pag-unawa dito, talagang walang magagawa sa pagsasama.

Gayunpaman, narito ang isa sa mga pinaka-madalas at mapanlinlang na mga problema. Ang katotohanan ay na, simula upang kalkulahin ang kanilang mga unang antiderivatives, maraming mga mag-aaral ang nalilito sa kanila sa mga derivatives. Bilang resulta, ang mga hangal at nakakasakit na pagkakamali ay nagagawa sa mga pagsusulit at independiyenteng trabaho.

Samakatuwid, ngayon ay hindi ako magbibigay ng isang malinaw na kahulugan ng antiderivative. At bilang kapalit, iminumungkahi kong tingnan mo kung paano ito isinasaalang-alang sa isang simpleng kongkretong halimbawa.

Ano ang primitive at paano ito isinasaalang-alang

Alam namin ang formula na ito:

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

Ang derivative na ito ay itinuturing na elementarya:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

Tingnan nating mabuti ang resultang expression at ipahayag ang $((x)^(2))$:

\[((x)^(2))=\frac(((\kaliwa(((x)^(3)) \kanan))^(\prime )))(3)\]

Ngunit maaari rin nating isulat ito sa ganitong paraan, ayon sa kahulugan ng derivative:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \right))^(\prime ))\]

At ngayon pansinin: ang isinulat lang namin ay ang kahulugan ng antiderivative. Ngunit upang maisulat ito ng tama, kailangan mong isulat ang sumusunod:

Isulat natin ang sumusunod na expression sa parehong paraan:

Kung i-generalize natin ang panuntunang ito, maaari nating makuha ang sumusunod na formula:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Ngayon ay maaari tayong magbalangkas ng isang malinaw na kahulugan.

Ang antiderivative ng isang function ay isang function na ang derivative ay katumbas ng orihinal na function.

Mga tanong tungkol sa antiderivative function

Ito ay tila isang medyo simple at naiintindihan na kahulugan. Gayunpaman, kapag narinig ito, ang matulungin na estudyante ay magkakaroon kaagad ng ilang katanungan:

1. Sabihin nating, mabuti, tama ang formula na ito. Gayunpaman, sa kasong ito, kapag $n=1$, mayroon kaming mga problema: "zero" ay lilitaw sa denominator, at imposibleng hatiin sa "zero".
2. Ang formula ay limitado lamang sa mga kapangyarihan. Paano makalkula ang antiderivative, halimbawa, sine, cosine at anumang iba pang trigonometrya, pati na rin ang mga constants.
3. Isang eksistensyal na tanong: laging posible bang makahanap ng isang antiderivative? Kung gayon, paano ang antiderivative sum, pagkakaiba, produkto, atbp.?

Sasagutin ko agad ang huling tanong. Sa kasamaang palad, ang antiderivative, hindi katulad ng derivative, ay hindi palaging isinasaalang-alang. Walang ganoong unibersal na pormula, ayon sa kung saan, mula sa anumang paunang konstruksyon, makakakuha tayo ng isang function na magiging katumbas ng katulad na konstruksiyon. Tungkol naman sa powers and constants, pag-uusapan natin iyan ngayon.

Paglutas ng mga problema sa mga function ng kapangyarihan

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

Gaya ng nakikita mo, ang formula na ito para sa $((x)^(-1))$ ay hindi gumagana. Ang tanong ay lumitaw: ano ang gumagana? Hindi ba natin mabilang ang $((x)^(-1))$? Syempre kaya natin. Magsimula lang tayo dito:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

Ngayon isipin natin: ang derivative kung saan ang function ay katumbas ng $\frac(1)(x)$. Malinaw, ang sinumang mag-aaral na medyo nakikibahagi sa paksang ito ay maaalala na ang expression na ito ay katumbas ng derivative ng natural logarithm:

\[((\kaliwa(\ln x \kanan))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

Samakatuwid, maaari naming kumpiyansa na isulat ang sumusunod:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

Kailangang malaman ang formula na ito, tulad ng derivative ng isang power function.

Kaya ang alam natin sa ngayon:

• Para sa isang power function — $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
• Para sa isang pare-pareho - $=const\to \cdot x$
• Isang espesyal na kaso ng isang power function - $\frac(1)(x)\to \ln x$

At kung magsisimula tayong dumami at hatiin ang pinakasimpleng mga pag-andar, kung paano pagkatapos ay kalkulahin ang antiderivative ng isang produkto o isang quotient. Sa kasamaang palad, ang mga pagkakatulad sa derivative ng isang produkto o isang quotient ay hindi gumagana dito. Walang karaniwang formula. Para sa ilang mga kaso, may mga nakakalito na espesyal na formula - makikilala natin ang mga ito sa hinaharap na mga video tutorial.

Gayunpaman, tandaan: walang pangkalahatang formula na katulad ng formula para sa pagkalkula ng derivative ng isang quotient at isang produkto.

Paglutas ng mga tunay na problema

Gawain 1

Kalkulahin natin ang bawat isa sa mga function ng kapangyarihan nang hiwalay:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Bumabalik sa aming pagpapahayag, isinulat namin ang pangkalahatang konstruksyon:

Gawain #2

Tulad ng nasabi ko na, ang mga primitive na gawa at pribadong "blank through" ay hindi isinasaalang-alang. Gayunpaman, dito maaari mong gawin ang mga sumusunod:

Hinati namin ang fraction sa kabuuan ng dalawang fraction.

Kalkulahin natin:

Ang magandang balita ay kapag alam mo na ang mga formula para sa pagkalkula ng mga antiderivative, magagawa mo nang kalkulahin ang mas kumplikadong mga istruktura. Gayunpaman, magpatuloy tayo at palawakin pa ang ating kaalaman. Ang katotohanan ay maraming mga constructions at expression na, sa unang tingin, ay walang kinalaman sa $((x)^(n))$, ay maaaring katawanin bilang isang degree na may rational exponent, ibig sabihin:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

Ang lahat ng mga diskarteng ito ay maaari at dapat pagsamahin. Ang mga pagpapahayag ng kapangyarihan ay maaari

• multiply (ang mga kapangyarihan ay idinagdag);
• hatiin (ang mga degree ay ibinabawas);
• multiply sa pamamagitan ng isang pare-pareho;
• atbp.

Paglutas ng mga expression na may degree na may rational exponent

Halimbawa #1

Bilangin natin ang bawat ugat nang hiwalay:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot ((( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4))))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

Sa kabuuan, ang aming buong konstruksiyon ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Halimbawa #2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \right))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \kanan))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

Samakatuwid, makakakuha tayo ng:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

Sa kabuuan, ang pagkolekta ng lahat sa isang expression, maaari naming isulat:

Halimbawa #3

Una, tandaan na nakalkula na namin ang $\sqrt(x)$:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4))))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

Muli nating isulat:

Sana ay hindi ako magsorpresa sa sinuman kung sasabihin ko na ang ating pinag-aralan ay ang pinakasimpleng kalkulasyon lamang ng mga antiderivative, ang pinaka elementarya na mga konstruksyon. Tingnan natin ngayon ang kaunti pa kumplikadong mga halimbawa, kung saan, bilang karagdagan sa mga tabular na antiderivative, kakailanganin din itong alalahanin kurikulum ng paaralan, ibig sabihin, ang pinababang mga formula ng pagpaparami.

Paglutas ng Mas Masalimuot na Halimbawa

Gawain 1

Alalahanin ang formula para sa parisukat ng pagkakaiba:

\[((\kaliwa(a-b \kanan)))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

Isulat muli natin ang ating function:

Kailangan na nating hanapin ang antiderivative ng naturang function:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3))))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3))))(4)\]

Kinokolekta namin ang lahat sa isang karaniwang disenyo:

Gawain #2

Sa kasong ito, kailangan nating buksan ang difference cube. Tandaan natin:

\[((\kaliwa(a-b \kanan)))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((b)^(3))\]

Dahil sa katotohanang ito, maaari itong isulat bilang mga sumusunod:

Baguhin natin ng kaunti ang ating function:

Isinasaalang-alang namin, gaya ng dati, para sa bawat termino nang hiwalay:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\to \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\sa \ln x\]

Isulat natin ang nagresultang konstruksiyon:

Gawain #3

Sa itaas mayroon tayong parisukat ng kabuuan, buksan natin ito:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \right)))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\kaliwa(\sqrt(x) \kanan))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

Isulat natin ang huling solusyon:

At ngayon pansin! Isang napakahalagang bagay, na nauugnay sa malaking bahagi ng mga pagkakamali at hindi pagkakaunawaan. Ang katotohanan ay hanggang ngayon, ang pagbibilang ng mga antiderivatives sa tulong ng mga derivatives, na nagbibigay ng mga pagbabagong-anyo, hindi namin inisip kung ano ang katumbas ng derivative ng isang pare-pareho. Ngunit ang derivative ng isang pare-pareho ay katumbas ng "zero". At nangangahulugan ito na maaari mong isulat ang mga sumusunod na pagpipilian:

1. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
2. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
3. $((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

Napakahalaga nitong maunawaan: kung ang derivative ng isang function ay palaging pareho, ang parehong function ay may walang katapusang bilang ng mga antiderivatives. Maaari lamang kaming magdagdag ng anumang pare-parehong numero sa aming mga primitive at makakuha ng mga bago.

Ito ay hindi nagkataon na sa paliwanag ng mga gawain na kakalutas pa lang natin, ito ay nakasulat na "Isulat ang pangkalahatang hitsura ng mga antiderivatives." Yung. ito ay ipinapalagay nang maaga na walang isa, ngunit isang buong karamihan ng mga ito. Ngunit, sa katunayan, nagkakaiba lamang sila sa pare-parehong $C$ sa dulo. Samakatuwid, sa ating mga gawain, itatama natin ang hindi natin natapos.

Muli, muling isinulat namin ang aming mga konstruksyon:

Sa ganitong mga kaso, dapat idagdag ng isa na ang $C$ ay pare-pareho — $C=const$.

Sa aming pangalawang pag-andar, nakukuha namin ang sumusunod na konstruksyon:

At ang huli:

At ngayon nakuha na talaga namin ang hinihingi sa amin sa paunang kondisyon ng problema.

Paglutas ng mga problema sa paghahanap ng mga antiderivative na may ibinigay na punto

Ngayon, kapag alam natin ang tungkol sa mga pare-pareho at tungkol sa mga kakaiba ng pagsulat ng mga antiderivative, ang mga sumusunod na uri ng mga problema ay medyo lohikal na lumitaw, kapag mula sa hanay ng lahat ng mga antiderivative ay kinakailangan upang makahanap ng isa at isa lamang na dadaan sa isang naibigay na punto. Ano ang gawaing ito?

Ang katotohanan ay ang lahat ng antiderivatives ng isang naibigay na function ay naiiba lamang sa na sila ay inilipat patayo sa pamamagitan ng ilang numero. At ito ay nangangahulugan na kahit anong punto sa coordinate na eroplano hindi namin kinuha ito, isang primitive ang tiyak na papasa, at, bukod dito, isa lamang.

Kaya, ang mga gawain na malulutas natin ngayon ay nabuo tulad ng sumusunod: hindi madaling hanapin ang antiderivative, alam ang formula ng orihinal na pag-andar, ngunit upang pumili ng eksaktong isa sa mga ito na dumadaan sa isang naibigay na punto, ang mga coordinate na kung saan ay ibigay sa kondisyon ng problema.

Halimbawa #1

Una, kalkulahin lang natin ang bawat termino:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

Ngayon ay pinapalitan namin ang mga expression na ito sa aming konstruksiyon:

Ang function na ito ay dapat dumaan sa puntong $M\left(-1;4 \right)$. Ano ang ibig sabihin na dumaan ito sa isang punto? Nangangahulugan ito na kung sa halip na $x$ ay maglalagay tayo ng $-1$ sa lahat ng dako, at sa halip na $F\left(x \right)$ - $-4$, dapat nating makuha ang tamang pagkakapantay-pantay ng numero. Gawin natin ito:

Nakita namin na mayroon kaming equation para sa $C$, kaya subukan nating lutasin ito:

Isulat natin ang mismong solusyon na hinahanap natin:

Halimbawa #2

Una sa lahat, kinakailangan upang buksan ang parisukat ng pagkakaiba gamit ang pinaikling formula ng multiplikasyon:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

Ang orihinal na istraktura ay isusulat tulad ng sumusunod:

Ngayon hanapin natin ang $C$: palitan ang mga coordinate ng puntong $M$:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

Ipinapahayag namin ang $C$:

Ito ay nananatiling ipakita ang panghuling expression:

Paglutas ng mga problema sa trigonometriko

Bilang isang pangwakas na chord sa kung ano ang aming nasuri, iminumungkahi kong isaalang-alang ang dalawang mas kumplikadong mga problema na naglalaman ng trigonometrya. Sa kanila, sa parehong paraan, kakailanganin upang makahanap ng mga antiderivatives para sa lahat ng mga function, pagkatapos ay piliin mula sa set na ito ang isa lamang na dumadaan sa puntong $M$ sa coordinate plane.

Sa hinaharap, nais kong tandaan na ang pamamaraan na gagamitin natin ngayon upang maghanap ng mga antiderivatives mula sa trigonometriko function, sa katunayan, ay isang unibersal na pamamaraan para sa self-testing.

Gawain 1

Tandaan natin ang sumusunod na formula:

\[((\left(\text(tg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

Batay dito, maaari tayong sumulat:

Palitan natin ang mga coordinate ng point $M$ sa ating expression:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

Isulat muli natin ang expression na nasa isip ang katotohanang ito:

Gawain #2

Dito ito ay magiging mas mahirap. Ngayon makikita mo kung bakit.

Tandaan natin ang formula na ito:

\[((\left(\text(ctg)x \right))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Upang mapupuksa ang "minus", dapat mong gawin ang mga sumusunod:

\[((\left(-\text(ctg)x \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

Narito ang aming disenyo

Palitan ang mga coordinate ng puntong $M$:

Isulat natin ang huling konstruksyon:

Iyon lang ang nais kong sabihin sa iyo ngayong araw. Pinag-aralan namin ang mismong terminong antiderivatives, kung paano mabibilang ang mga ito mula sa elementarya na pag-andar, at kung paano rin maghanap ng antiderivative na dumadaan sa isang partikular na punto sa coordinate plane.

Umaasa ako na ang araling ito ay makakatulong sa iyo kahit kaunti upang maunawaan ang masalimuot na paksang ito. Sa anumang kaso, nasa mga antiderivatives na ang mga indefinite at indefinite integral ay itinayo, kaya talagang kinakailangan na isaalang-alang ang mga ito. Para sa akin lang yan. Hanggang sa muli!

antiderivative

Kahulugan ng antiderivative function

• Function y=F(x) ay tinatawag na antiderivative para sa function y=f(x) sa isang ibinigay na pagitan X, kung para sa lahat X ∈X ang pagkakapantay-pantay ay hawak: F′(x) = f(x)

Mababasa ito sa dalawang paraan:

1. f derivative ng function F
2. F antiderivative para sa function f

pag-aari ng mga antiderivatives

• Kung ang F(x)- antiderivative para sa function f(x) sa isang naibigay na pagitan, kung gayon ang function na f(x) ay may walang katapusang maraming antiderivative, at lahat ng mga antiderivative na ito ay maaaring isulat bilang F(x) + C, kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho.

Geometric na interpretasyon

• Mga graph ng lahat ng antiderivatives ng isang ibinigay na function f(x) ay nakuha mula sa graph ng alinmang isang antiderivative sa pamamagitan ng mga parallel na paglilipat kasama ang O axis sa.

Mga panuntunan para sa pag-compute ng mga antiderivative

1. Ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives. Kung ang F(x)- primitive para sa f(x), at ang G(x) ay ang antiderivative para sa g(x), pagkatapos F(x) + G(x)- primitive para sa f(x) + g(x).
2. Ang pare-parehong kadahilanan ay maaaring alisin sa tanda ng derivative. Kung ang F(x)- primitive para sa f(x), at k ay pare-pareho, kung gayon kF(x)- primitive para sa kf(x).
3. Kung ang F(x)- primitive para sa f(x), at k,b- permanente, at k ≠ 0, pagkatapos 1/k F(kx + b)- primitive para sa f(kx + b).

Tandaan!

Anumang function F (x) \u003d x 2 + C , kung saan ang C ay isang arbitrary na pare-pareho, at ang gayong function lamang ang isang antiderivative para sa function f(x) = 2x.

• Halimbawa:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, kasi F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f(x) = 2x, kasi F "(x) \u003d (x 2 -3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Relasyon sa pagitan ng mga graph ng isang function at antiderivative nito:

1. Kung ang graph ng function f(x)>0 F(x) tumataas sa pagitan na ito.
2. Kung ang graph ng function f(x)<0 sa pagitan, pagkatapos ay ang graph ng antiderivative nito F(x) bumababa sa pagitan na ito.
3. Kung ang f(x)=0, pagkatapos ay ang graph ng antiderivative nito F(x) sa puntong ito ay nagbabago mula sa pagtaas tungo sa pagbaba (o vice versa).

Upang tukuyin ang antiderivative, ang tanda ng hindi tiyak na integral ay ginagamit, iyon ay, ang integral nang hindi nagpapahiwatig ng mga limitasyon ng pagsasama.

Indefinite integral

Kahulugan:

• Ang indefinite integral ng function na f(x) ay ang expression na F(x) + C, iyon ay, ang set ng lahat ng antiderivatives ng ibinigay na function f(x). Ang indefinite integral ay tinutukoy bilang mga sumusunod: \int f(x) dx = F(x) + C

• f(x) ay tinatawag na integrand;
• f(x) dx- ay tinatawag na integrand;
• x- ay tinatawag na variable ng integration;
• F(x)- isa sa mga antiderivatives ng function na f(x);
• MULA SA ay isang arbitrary na pare-pareho.

Mga katangian ng hindi tiyak na integral

1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
2. Ang pare-parehong kadahilanan ng integrand ay maaaring alisin sa integral sign: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
3. Ang integral ng kabuuan (difference) ng mga function ay katumbas ng kabuuan (difference) ng mga integral ng mga function na ito: \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
4. Kung ang k,b ay mga pare-pareho, at k ≠ 0, kung gayon \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Talaan ng mga antiderivative at hindi tiyak na integral

Function f(x)	antiderivative F(x) + C	Mga hindi tiyak na integral \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\not =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x)=\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =-l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Formula ng Newton–Leibniz

Hayaan f(x) ang function na ito, F arbitraryong primitive nito.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

saan F(x)- primitive para sa f(x)

Iyon ay, ang integral ng function f(x) sa pagitan ay katumbas ng pagkakaiba ng mga antiderivative sa mga punto b at a.

Lugar ng isang curvilinear trapezoid

Curvilinear trapezoid ay tinatawag na figure bounded ng isang graph ng isang non-negative at tuluy-tuloy na function sa isang segment f, axis Ox at mga tuwid na linya x = a at x = b.

Ang lugar ng isang curvilinear trapezoid ay matatagpuan gamit ang Newton-Leibniz formula:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

Ang pag-aaral na pagsamahin ay hindi mahirap. Upang gawin ito, kailangan mo lamang matuto ng isang tiyak, sa halip maliit, hanay ng mga patakaran at bumuo ng isang uri ng likas na talino. Siyempre, madaling matutunan ang mga patakaran at pormula, ngunit sa halip mahirap maunawaan kung saan at kailan ilalapat ito o ang panuntunang iyon ng pagsasama o pagkita ng kaibhan. Ito, sa katunayan, ay ang kakayahang magsama.

1. Antiderivative. Indefinite integral.

Ipinapalagay na sa oras ng pagbabasa ng artikulong ito, ang mambabasa ay mayroon nang ilang mga kasanayan sa pagkakaiba-iba (i.e., paghahanap ng mga derivatives).

Kahulugan 1.1: Ang isang function ay tinatawag na isang antiderivative kung ang pagkakapantay-pantay ay mayroong:

Mga komento:> Ang diin sa salitang "primordial" ay maaaring ilagay sa dalawang paraan: tungkol sa kinakabahan o orihinal a nakakaalam.

Ari-arian 1: Kung ang isang function ay isang antiderivative ng isang function, kung gayon ang function ay isa ring antiderivative ng isang function.

Patunay: Patunayan natin ito mula sa kahulugan ng isang antiderivative. Hanapin natin ang derivative ng function:

Ang unang termino sa kahulugan 1.1 katumbas ng , at ang pangalawang termino ay ang derivative ng pare-pareho, na katumbas ng 0.

.

Ibuod. Isulat natin ang simula at dulo ng chain of equalities:

Kaya, ang derivative ng function ay pantay, at samakatuwid, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang antiderivative nito. Ang ari-arian ay napatunayan na.

Kahulugan 1.2: Ang hindi tiyak na integral ng isang function ay ang buong hanay ng mga antiderivatives ng function na ito. Ito ay tinutukoy ng ganito:

.

Isaalang-alang ang mga pangalan ng bawat bahagi ng talaan nang detalyado:

ay ang pangkalahatang notasyon para sa integral,

ay isang integrand (integrand) expression, isang integrable function.

ay ang differential, at ang expression pagkatapos ng titik , sa kasong ito, ay tatawaging variable ng pagsasama.

Mga komento: Ang mga pangunahing salita sa kahulugang ito ay "ang buong hanay". Yung. kung sa hinaharap ang "plus C" na ito ay hindi nakasulat sa sagot, kung gayon ang inspektor ay may lahat ng karapatan na huwag bigyan ng kredito ang gawaing ito, dahil ito ay kinakailangan upang mahanap ang buong hanay ng mga antiderivatives, at kung C ay wala, pagkatapos ay isa lamang ang matatagpuan.

Konklusyon: Upang masuri kung ang integral ay kinakalkula nang tama, kinakailangan upang mahanap ang derivative ng resulta. Dapat itong tumugma sa integrand.
Halimbawa:
Pagsasanay: Kalkulahin hindi tiyak na integral at magsagawa ng tseke.

Solusyon:

Ang paraan ng pagkalkula ng integral na ito ay hindi mahalaga sa kasong ito. Ipagpalagay na ito ay isang paghahayag mula sa itaas. Ang aming gawain ay ipakita na ang paghahayag ay hindi tayo dinaya, at ito ay maaaring gawin sa tulong ng pagpapatunay.

Pagsusuri:

Kapag iniiba ang resulta, nakuha ang isang integrand, na nangangahulugan na ang integral ay kinakalkula nang tama.

2. Magsimula. Talaan ng mga integral.

Para sa pagsasama, hindi kailangang tandaan sa bawat oras na ang function na ang derivative ay katumbas ng ibinigay na integrand (ibig sabihin, gamitin ang kahulugan ng integral nang direkta). Ang bawat koleksyon ng mga problema o isang aklat-aralin sa pagsusuri sa matematika ay naglalaman ng isang listahan ng mga katangian ng mga integral at isang talahanayan ng mga pinakasimpleng integral.

Ilista natin ang mga katangian.

Ari-arian:
1.
Ang integral ng differential ay katumbas ng integration variable.
2. , kung saan ay isang pare-pareho.
Ang pare-parehong multiplier ay maaaring alisin sa integral sign.

3.
Ang integral ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga integral (kung ang bilang ng mga termino ay may hangganan).
Integral na talahanayan:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Kadalasan, ang gawain ay bawasan ang inimbestigahang integral sa isang tabular gamit ang mga katangian at formula.

Halimbawa:

[Gamitin natin ang ikatlong katangian ng mga integral at isulat ito bilang kabuuan ng tatlong integral.]

[Gamitin natin ang pangalawang pag-aari at alisin ang mga constant sa integration sign.]

[ Sa unang integral, ginagamit namin ang table integral No. 1 (n=2), sa pangalawa - ang parehong formula, ngunit n=1, at para sa ikatlong integral, maaari mong gamitin ang parehong table integral, ngunit may n=0, o ang unang property. ]
.
Suriin natin sa pamamagitan ng pagkita ng kaibhan:

Ang orihinal na integrand ay nakuha, samakatuwid, ang pagsasama ay isinagawa nang walang mga pagkakamali (at kahit na ang pagdaragdag ng isang di-makatwirang pare-parehong C ay hindi nakalimutan).

Ang mga integral na tabular ay dapat na matutunan sa pamamagitan ng puso para sa isang simpleng dahilan - upang malaman kung ano ang dapat pagsikapan, i.e. malaman ang layunin ng pagbabago ng ibinigay na expression.

Narito ang ilan pang halimbawa:
1)
2)
3)

Mga gawain para sa independiyenteng solusyon:

Ehersisyo 1. Kalkulahin ang hindi tiyak na integral:

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #1.

1) Gamitin ang ikatlong katangian at ipakita ang integral na ito bilang kabuuan ng tatlong integral.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #2.

+ Ipakita/itago ang pahiwatig #3.

3) Para sa unang dalawang termino, gamitin ang unang tabular integral, at para sa pangatlo - ang pangalawang tabular integral.

+ Ipakita/itago ang Solusyon at Sagot.

4) Solusyon:

Sagot: