Ano ang ibig sabihin ng paglikha ng modelong matematikal. Iba't ibang paraan ng pagbuo ng isang mathematical model. Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "isang modelo (Latin modulus - sukat) ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay sa tulong ng isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." (p. 6) “Sa ilalim ng mathematical modelling mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na object ng ilang mathematical object, na tinatawag na mathematical model, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa pagkuha ng mga katangian ng tunay na object na isinasaalang-alang. . Tingnan matematikal na modelo depende pareho sa likas na katangian ng tunay na bagay, at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Madalas na binuo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, ang isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies ay:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o non-linear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang (sa mga tuntunin ng mga parameter), ipinamahagi na mga modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng kanilang kinakatawan sa bagay:

Mga istruktura o functional na modelo

Mga Modelong Pang-istruktura kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga "black box" na mga modelo. Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinutukoy bilang "mga modelo" kulay abong kahon».

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon ay itinayo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o isang mathematical model lang na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng content model na ito (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring isagawa gamit ang isang hanay ng mga handa na mga ideyalisasyon, tulad ng sa mga mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. mga elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomolde. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay higit na kumplikado.

Makabuluhang pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, nangangahulugan ito na ito ay pansamantalang kinikilala bilang totoo at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pananaliksik, ngunit isang pansamantalang paghinto lamang: ang katayuan ng modelo ng unang uri ay maaari lamang maging pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (kumilos na parang…)

Ang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang maayos sa magagamit na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ito ay kinakailangan upang ipagpatuloy ang paghahanap para sa "true mechanisms". Ang Peierls ay tumutukoy, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle sa pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang ilipat sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ay pumasa ito sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay napunta mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (ang isang bagay ay itinuturing na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip. na may mga haka-haka na entity na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang natin ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo at isang load ng mass , na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang pag-load ay maaaring ilipat lamang sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng isang spring at isang load gamit Batas ni Hooke() pagkatapos nito ay ginagamit natin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple(“inaalis namin ang ilang detalye para sa kalinawan”), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na feature (halimbawa, dissipation) ay inalis. Sa ilang pagtatantya (sabihin, hangga't ang paglihis ng load mula sa ekwilibriyo ay maliit, na may kaunting alitan, sa loob ng hindi masyadong mahabang panahon at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistemang mekanikal, dahil ang Ang mga itinapon na salik ay may maliit na epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagaman muli ay limitado) na saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Madalas pa simpleng modelo nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama") isa.

Kung ilalapat natin ang harmonic oscillator model sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang makabuluhang katayuan nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiugnay ito sa uri 6 pagkakatulad("Isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na perturbation ng "mahirap" isa. Maaari itong itakda, halimbawa, sumusunod na equation:

Dito - ilang pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pagtitiwala ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pag-uunat nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng function ay hindi interesado sa amin sa ngayon. Kung patunayan natin na ang pag-uugali ng isang malambot na modelo ay hindi pangunahing naiiba sa pag-uugali ng isang matigas na modelo (anuman ang tahasang anyo ng mga nakababagabag na salik, kung sila ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil kung isasaalang-alang ang isang system na may arbitraryong maliit na friction (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, ito ay sinasabing structurally stable. Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, maaaring gamitin ang modelong ito upang pag-aralan ang mga proseso sa limitadong agwat ng oras.

Universality ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang katangian pagiging pangkalahatan: sa panimula iba't ibang tunay na phenomena ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng parehong matematikal na modelo. Halimbawa, inilalarawan ng isang harmonic oscillator hindi lamang ang pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin ang iba pang mga proseso ng oscillatory, madalas na may ganap na kakaibang kalikasan: maliit na mga oscillations ng isang pendulum, mga pagbabago sa antas ng likido sa isang hugis na sisidlan, o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na humantong kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kinakailangan na makabuo ng pangunahing pamamaraan ng bagay na ginagaya, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay ibinibigay bilang karaniwang mekanikal na ideyalisasyon nito (densidad, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay iginuhit, kasama ang paraan. ang ilang mga detalye ay itinatapon bilang hindi gaanong mahalaga , ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng bumubuo nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang problema: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang kayang tiisin ng tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dinamikong pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay babagsak sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang tanong ay hindi tatanungin, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang magandang modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, ang isang metal na tulay sa kabila ng River Tey ay gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa mga hangin na patuloy na umiihip sa mga lugar na iyon. . At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ay kilala, ito ay kinakailangan upang pumili ng isang tiyak na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o sa mga kinakailangan para sa bagay ( gawain sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang birtuoso na solusyon ng isang kabaligtaran na problema na may ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na ginawa ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay nililimitahan ng mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na problema, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang pagmomodelo ng matematika, binuo ang mga sistema ng matematika ng computer, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sa iyo ang mga ito na lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo sa panahon ng simulation. I-block ang mga Modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphical), ang hanay at koneksyon na kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ng Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang isang tiyak na parameter ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng pagkamatay. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay titigil na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang refinement ng modelong Malthus ay maaaring ang logistic model, na inilalarawan ng Verhulst differential equation.

kung saan ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang equilibrium value , at ang pag-uugaling ito ay structurally stable.

sistema ng predator-prey

Sabihin nating dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na lugar: kuneho (kumakain ng mga halaman) at fox (kumakain ng mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga kuneho, ang bilang ng mga fox. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang pagwawasto, na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, na nagtataglay ng pangalan mga modelo ng tray - Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kung saan pare-pareho ang bilang ng mga kuneho at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago ng populasyon ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng balanse ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto, ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot: kinakailangan ang karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga pilosopikal na tanong ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., naitama. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Ilaw at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: mga modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o non-linear, depende sa kung ano - linear o non-linear - mathematical apparatus, ano - linear o non-linear - mathematical models na ginagamit nito. ... nang hindi tinatanggihan ang huli. Makabagong pisiko, kung kinailangan niyang muling tukuyin ang ganoong mahalagang entity bilang non-linearity, malamang na iba ang pagkilos niya, at, mas pinipili ang non-linearity bilang mas mahalaga at karaniwan sa dalawang magkasalungat, ay ilalarawan ang linearity bilang "hindi non-linearity ”. Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap na serye. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na namodelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na lumped o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na alinman sa puro o ibinahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay differential equation sa mga partial derivatives, integral equation o ordinaryong equation na may retarded argument. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
“Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay nagpapakita ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. … Ginagamit ang static na pagmomodelo upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, habang ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ang discrete modeling ay nagsisilbing ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa iyo na ipakita ang mga tuluy-tuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung saan gusto mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang modelong matematikal ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng bagay na ginagaya, ang mga katangian at pagkakaugnay ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pag-aaral; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Malinaw, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay upang makuha ang pinakamalinaw na posibleng ideya ng bagay na ginagaya at upang pinuhin ang modelo ng nilalaman nito batay sa mga impormal na talakayan. Ang oras at pagsisikap ay hindi dapat ilaan sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Higit sa isang beses nangyari na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng bagay. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa sub-stage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) ang isang paglalarawan ng modelo ay ibinigay gamit ang mga tipikal na mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng isang pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay napatunayan. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Apat na ikapitong baitang.

Mayroong 15 babae at 13 lalaki sa 7A,

sa 7B - 12 babae at 12 lalaki,

sa 7B - 9 na babae at 18 lalaki,

sa 7G - 20 babae at 10 lalaki.

Kung kailangan nating sagutin ang tanong kung gaano karaming mga mag-aaral ang nasa bawat ikapitong baitang, kailangan nating gawin ang parehong operasyon ng pagdaragdag ng 4 na beses:

sa 7A 15 + 13 = 28 mag-aaral;
sa 7B 12 +12 = 24 na mag-aaral;
sa 7B 9 + 18 = 27 mag-aaral;
sa 7D 20 + 10 = 30 mag-aaral.

A. V. Pogorelov, Geometry para sa mga baitang 7-11, Textbook para sa mga institusyong pang-edukasyon

Nilalaman ng aralin buod ng aralin suporta frame lesson presentation accelerative methods interactive na mga teknolohiya Magsanay mga gawain at pagsasanay mga workshop sa pagsusuri sa sarili, pagsasanay, kaso, quests homework discussion questions retorikal na mga tanong mula sa mga mag-aaral Mga Ilustrasyon audio, mga video clip at multimedia mga larawan, mga larawang graphics, mga talahanayan, mga scheme ng katatawanan, mga anekdota, mga biro, mga parabula sa komiks, mga kasabihan, mga crossword puzzle, mga quote Mga add-on mga abstract articles chips for inquisitive cheat sheets textbooks basic and additional glossary of terms other Pagpapabuti ng mga aklat-aralin at mga aralinpagwawasto ng mga pagkakamali sa aklat-aralin pag-update ng isang fragment sa aklat-aralin na mga elemento ng pagbabago sa aralin na pinapalitan ng mga bago ang hindi na ginagamit na kaalaman Para lamang sa mga guro perpektong mga aralin plano sa kalendaryo para sa taon mga alituntunin mga programa sa talakayan Pinagsanib na Aralin

Ang mga gawain na nalutas sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng LP ay lubhang magkakaibang sa nilalaman. Ngunit ang kanilang mga modelo sa matematika ay magkatulad at may kondisyong pinagsama sa tatlong malalaking grupo ng mga problema:

mga gawain sa transportasyon;
pagpaplano ng mga gawain;

Isaalang-alang natin ang mga halimbawa ng mga partikular na problema sa ekonomiya ng bawat uri, at talakayin nang detalyado ang pagbuo ng modelo para sa bawat problema.

Gawain sa transportasyon

Sa dalawang base ng kalakalan PERO at AT Mayroong 30 set ng muwebles, 15 para sa bawat isa. Ang lahat ng muwebles ay kailangang maihatid sa dalawang tindahan ng muwebles, MULA SA at D at sa MULA SA kailangan mong maghatid ng 10 headset, at papasok D- 20. Ito ay kilala na ang paghahatid ng isang headset mula sa base PERO sa tindahan MULA SA nagkakahalaga ng isang monetary unit, sa tindahan D- sa tatlong yunit ng pananalapi. Ayon sa base AT sa mga tindahan MULA SA at D: dalawa at limang yunit ng pananalapi. Gumawa ng plano sa transportasyon upang ang halaga ng lahat ng transportasyon ay pinakamababa.
Para sa kaginhawahan, minarkahan namin ang mga gawaing ito sa isang talahanayan. Sa intersection ng mga row at column ay may mga numerong nagpapakilala sa halaga ng kaukulang transportasyon (Talahanayan 3.1).

Talahanayan 3.1

Gumawa tayo ng mathematical model ng problema.
Dapat ilagay ang mga variable. Ang mga salita ng tanong ay nagsasabi na kinakailangan na gumuhit ng isang plano sa transportasyon. Tukuyin sa pamamagitan ng X 1 , X 2 bilang ng mga headset na inilipat mula sa base PERO sa mga tindahan MULA SA at D ayon sa pagkakabanggit, at sa pamamagitan ng sa 1 , sa 2 - ang bilang ng mga headset na dinala mula sa base AT sa mga tindahan MULA SA at D ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ay ang dami ng kasangkapang inalis sa bodega PERO, katumbas ng ( X 1 + X 2) mahusay mula sa stock AT - (sa 1 + sa 2). Kailangan ng tindahan MULA SA ay katumbas ng 10 headset, at dinala nila ito ( X 1 + sa 1) mga piraso, i.e. X 1 + sa 1 = 10. Katulad nito, para sa tindahan D meron kami X 2 + sa 2 = 20. Tandaan na ang mga pangangailangan ng mga tindahan ay eksaktong katumbas ng bilang ng mga headset na nasa stock, kaya X 1 + sa 2 = 15 at sa 1 + sa 2 = 15. Kung kukuha ka ng mas mababa sa 15 set mula sa mga bodega, kung gayon ang mga tindahan ay walang sapat na kasangkapan upang matugunan ang kanilang mga pangangailangan.
Kaya ang mga variable X 1 , X 2 , sa 1 , sa 2 ay hindi negatibo sa kahulugan ng problema at nagbibigay-kasiyahan sa sistema ng mga hadlang:
(3.1)
Tinutukoy sa pamamagitan ng F gastos sa pagpapadala, bilangin natin. para sa transportasyon ng isang hanay ng mga kasangkapan mula sa PERO sa MULA SA gumugol ng isang araw. mga yunit, para sa transportasyon x 1 set - x 1 araw mga yunit Gayundin, para sa transportasyon x 2 set ng PERO sa D gastos 3 x 2 araw mga yunit; mula sa AT sa MULA - 2y 1 araw mga yunit, mula sa AT sa D - 5y 2 araw mga yunit
Kaya,
F = 1x 1 + 3x 2 + 2y 1 + 5y 2 → min (3.2)
(Gusto namin na ang kabuuang halaga ng pagpapadala ay mas mababa hangga't maaari).
Bumuo tayo ng problema sa matematika.
Sa hanay ng mga solusyon ng constraint system (3.1), maghanap ng solusyon na nagpapaliit sa layunin ng function F(3.2), o hanapin ang pinakamainam na plano ( x 1 , x 2, y 1 , y 2) natutukoy ng sistema ng mga hadlang (3.1) at ang layunin ng function (3.2).
Ang problema na aming isinasaalang-alang ay maaaring ilarawan sa higit pa pangkalahatang pananaw, kasama ang anumang bilang ng mga supplier at consumer.
Sa problemang aming isinasaalang-alang, ang pagkakaroon ng kargamento mula sa mga supplier (15 + 15) ay katumbas ng kabuuang pangangailangan ng mga mamimili (10 + 20). Ang ganitong modelo ay tinatawag sarado, at ang kaukulang gawain ay balanseng transportasyon gawain.
Sa mga kalkulasyon sa ekonomiya, ang tinatawag na bukas na mga modelo, kung saan ang ipinahiwatig na pagkakapantay-pantay ay hindi sinusunod, ay may mahalagang papel din. Maaaring ang supply ng mga supplier ay mas malaki kaysa sa demand ng mga mamimili, o ang demand ay lumampas sa availability ng mga kalakal. tandaan na ang sistema ng mga hadlang ng hindi balanseng problema sa transportasyon, kasama ang mga equation, ay magsasama rin ng mga hindi pagkakapantay-pantay.

Mga tanong para sa pagpipigil sa sarili
1. Pahayag ng problema sa transportasyon. ilarawan ang pagbuo ng isang mathematical model.
2. Ano ang balanse at hindi balanseng problema sa transportasyon?
3. Ano ang kinakalkula sa layunin ng tungkulin ng gawain sa transportasyon?
4. Ano ang ipinapakita ng bawat hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ng mga hadlang ng problema sa plano?
5. Ano ang ipinapakita ng bawat hindi pagkakapantay-pantay ng sistema ng mga hadlang ng pinaghalong problema?
6. Ano ang ibig sabihin ng mga variable sa problema sa plano at sa pinaghalong problema?

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "isang modelo (Latin modulus - sukat) ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay sa tulong ng isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." (p. 6) “Sa ilalim ng mathematical modelling mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na object ng ilang mathematical object, na tinatawag na mathematical model, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa pagkuha ng mga katangian ng tunay na object na isinasaalang-alang. . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay sa parehong likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng kanilang kinakatawan sa bagay:

Mga istruktura o functional na modelo

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon ay itinayo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o isang mathematical model lang na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng content model na ito (pre-model). Ang isang makabuluhang modelo ay maaaring itayo gamit ang isang hanay ng mga nakahandang ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga ideal na bukal, matibay na katawan, perpektong pendulum, nababanat na media, atbp. ay nagbibigay ng mga nakahandang elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay higit na kumplikado.

Makabuluhang pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Uri 2: Phenomenological na modelo (kumilos na parang…)

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (ang isang bagay ay itinuturing na napakalaki o napakaliit)

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Halimbawa

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama") isa.

Matigas at malambot na mga modelo

Universality ng mga modelo

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Mga sistema ng simulation ng computer

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ng Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

sistema ng predator-prey

Mga Tala

"Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
Novik I. B., Sa mga pilosopikal na tanong ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., naitama. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Ilaw at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
Wiktionary: mga modelo ng matematika
CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
"Ang isang teorya ay itinuturing na linear o non-linear, depende sa kung ano - linear o non-linear - mathematical apparatus, ano - linear o non-linear - mathematical models na ginagamit nito. ... nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong physicist, kung sakaling muling tukuyin niya ang isang mahalagang entity bilang non-linearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, mas pinipili ang non-linearity bilang mas mahalaga at karaniwan sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "non-non- linearity”. Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap na serye. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
"Ang mga dynamic na sistema na namodelo ng isang may hangganang bilang ng mga ordinaryong differential equation ay tinatawag na lumped o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na alinman sa puro o ibinahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
“Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay nagpapakita ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. … Ginagamit ang static na pagmomodelo upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, habang ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ang discrete modeling ay nagsisilbing ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa iyo na ipakita ang mga tuluy-tuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung saan gusto mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
Karaniwan, ang modelong matematikal ay sumasalamin sa istruktura (aparato) ng bagay na ginagaya, ang mga katangian at pagkakaugnay ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pag-aaral; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
"Malinaw, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay upang makuha ang pinakamalinaw na posibleng ideya ng bagay na ginagaya at upang pinuhin ang modelo ng nilalaman nito batay sa mga impormal na talakayan. Ang oras at pagsisikap ay hindi dapat ilaan sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Higit sa isang beses nangyari na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng bagay. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
« Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa sub-stage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) ang isang paglalarawan ng modelo ay ibinigay gamit ang mga tipikal na mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng isang pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay napatunayan. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Sa artikulong dinala sa iyong pansin, nag-aalok kami ng mga halimbawa ng mga modelo ng matematika. Bilang karagdagan, bibigyan namin ng pansin ang mga yugto ng paglikha ng mga modelo at pag-aralan ang ilan sa mga problema na nauugnay sa pagmomolde ng matematika.

Ang isa pang isyu sa amin ay ang mga modelo ng matematika sa ekonomiya, mga halimbawa kung saan isasaalang-alang namin ang isang kahulugan sa ibang pagkakataon. Iminumungkahi naming simulan ang aming pag-uusap sa mismong konsepto ng "modelo", sa madaling sabi isaalang-alang ang kanilang pag-uuri at magpatuloy sa aming mga pangunahing katanungan.

Ang konsepto ng "modelo"

Madalas nating marinig ang salitang "modelo". Ano ito? Ang terminong ito ay may maraming kahulugan, narito ang tatlo lamang sa mga ito:

isang tiyak na bagay na nilikha upang tumanggap at mag-imbak ng impormasyon, na sumasalamin sa ilang mga katangian o katangian, at iba pa, ng orihinal ng bagay na ito (ang partikular na bagay na ito ay maaaring ipahayag sa iba't ibang anyo: mental, paglalarawan gamit ang mga palatandaan, at iba pa);
ang isang modelo ay nangangahulugan din ng isang pagpapakita ng anumang partikular na sitwasyon, buhay o pamamahala;
ang isang modelo ay maaaring isang pinababang kopya ng isang bagay (ginawa sila para sa isang mas detalyadong pag-aaral at pagsusuri, dahil ang modelo ay sumasalamin sa istraktura at mga relasyon).

Batay sa lahat ng sinabi nang mas maaga, maaari tayong gumuhit ng isang maliit na konklusyon: pinapayagan ka ng modelo na pag-aralan nang detalyado ang isang kumplikadong sistema o bagay.

Ang lahat ng mga modelo ay maaaring maiuri ayon sa isang bilang ng mga pamantayan:

ayon sa lugar ng paggamit (pang-edukasyon, pang-eksperimento, pang-agham at teknikal, paglalaro, simulation);
sa pamamagitan ng dinamika (static at dynamic);
ayon sa sangay ng kaalaman (pisikal, kemikal, heograpikal, historikal, sosyolohikal, pang-ekonomiya, matematika);
ayon sa paraan ng presentasyon (materyal at informational).

Ang mga modelo ng impormasyon, sa turn, ay nahahati sa sign at verbal. At iconic - sa computer at hindi computer. Ngayon ay lumipat tayo sa isang detalyadong pagsasaalang-alang ng mga halimbawa ng isang modelo ng matematika.

Matematikal na modelo

Tulad ng maaari mong hulaan, ang isang modelo ng matematika ay nagpapakita ng ilang mga tampok ng isang bagay o kababalaghan gamit ang mga espesyal na simbolo ng matematika. Ang matematika ay kailangan upang maging modelo ng mga batas ng mundo sa sarili nitong partikular na wika.

Ang pamamaraan ng pagmomolde ng matematika ay nagmula medyo matagal na ang nakalipas, libu-libong taon na ang nakalilipas, kasama ang pagdating ng agham na ito. Gayunpaman, ang impetus para sa pagbuo ng paraan ng pagmomolde na ito ay ibinigay ng hitsura ng mga computer (electronic computer).

Ngayon ay lumipat tayo sa pag-uuri. Maaari rin itong isagawa ayon sa ilang mga palatandaan. Ang mga ito ay ipinakita sa talahanayan sa ibaba.

Iminumungkahi naming ihinto at tingnan nang mabuti ang huling pag-uuri, dahil sinasalamin nito ang mga pangkalahatang pattern ng pagmomodelo at ang mga layunin ng mga modelong ginagawa.

Mga Deskriptibong Modelo

Sa kabanatang ito, ipinapanukala naming pag-isipan nang mas detalyado ang mga deskriptibong modelo ng matematika. Upang maging malinaw ang lahat, isang halimbawa ang ibibigay.

Upang magsimula sa, ang view na ito ay maaaring tawaging naglalarawan. Ito ay dahil sa katotohanan na gumagawa lang kami ng mga kalkulasyon at pagtataya, ngunit hindi namin maiimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan sa anumang paraan.

Ang isang malinaw na halimbawa ng isang mapaglarawang modelo ng matematika ay ang pagkalkula ng landas ng paglipad, bilis, distansya mula sa Earth ng isang kometa na sumalakay sa mga kalawakan ng ating solar system. Ang modelong ito ay naglalarawan, dahil ang lahat ng mga resulta na nakuha ay maaari lamang magbigay ng babala sa amin ng ilang uri ng panganib. Sa kasamaang palad, hindi namin maimpluwensyahan ang kinalabasan ng kaganapan. Gayunpaman, batay sa mga kalkulasyon na nakuha, posible na gumawa ng anumang mga hakbang upang mapanatili ang buhay sa Earth.

Mga Modelo sa Pag-optimize

Ngayon ay magsasalita tayo nang kaunti tungkol sa mga modelong pang-ekonomiya at matematika, ang mga halimbawa nito ay maaaring iba't ibang sitwasyon. Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa mga modelo na makakatulong upang mahanap ang tamang sagot sa ilang mga kundisyon. Dapat silang magkaroon ng ilang mga parameter. Upang maging napakalinaw, isaalang-alang ang isang halimbawa mula sa bahaging agraryo.

Mayroon kaming kamalig, ngunit ang butil ay napakabilis na nasisira. Sa kasong ito, kailangan nating piliin ang tamang rehimen ng temperatura at i-optimize ang proseso ng imbakan.

Kaya, maaari nating tukuyin ang konsepto ng "modelo ng pag-optimize". Sa isang matematikal na kahulugan, ito ay isang sistema ng mga equation (parehong linear at hindi), ang solusyon na tumutulong upang mahanap ang pinakamainam na solusyon sa isang partikular na sitwasyong pang-ekonomiya. Isinasaalang-alang namin ang isang halimbawa ng isang modelo ng matematika (pag-optimize), ngunit nais kong magdagdag ng isa pang bagay: ang ganitong uri ay kabilang sa klase ng mga matinding problema, nakakatulong sila upang ilarawan ang paggana ng sistemang pang-ekonomiya.

Napansin namin ang isa pang nuance: maaaring magsuot ang mga modelo magkaibang karakter(tingnan ang talahanayan sa ibaba).

Mga modelo ng multicriteria

Ngayon inaanyayahan ka naming pag-usapan nang kaunti ang tungkol sa mathematical model ng multiobjective optimization. Bago iyon, nagbigay kami ng isang halimbawa ng isang mathematical model para sa pag-optimize ng isang proseso ayon sa alinmang isang criterion, ngunit paano kung marami sa kanila?

Ang isang kapansin-pansing halimbawa ng isang multicriteria na gawain ay ang organisasyon ng wasto, malusog at kasabay na matipid na nutrisyon ng malalaking grupo ng mga tao. Ang ganitong mga gawain ay madalas na nakatagpo sa hukbo, mga kantina ng paaralan, mga kampo ng tag-init, mga ospital at iba pa.

Anong pamantayan ang ibinigay sa atin sa gawaing ito?

Ang pagkain ay dapat na malusog.
Ang mga gastos sa pagkain ay dapat panatilihin sa pinakamababa.

Tulad ng nakikita mo, ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma sa lahat. Nangangahulugan ito na kapag nilulutas ang isang problema, kinakailangang hanapin ang pinakamainam na solusyon, isang balanse sa pagitan ng dalawang pamantayan.

Mga modelo ng laro

Sa pagsasalita tungkol sa mga modelo ng laro, kinakailangang maunawaan ang konsepto ng "teorya ng laro". Sa madaling salita, ang mga modelong ito ay sumasalamin sa mga modelo ng matematika ng mga tunay na salungatan. Ito ay nagkakahalaga lamang ng pag-unawa na, hindi katulad ng isang tunay na salungatan, ang isang modelo ng matematika ng laro ay may sariling mga tiyak na panuntunan.

Ngayon ay magbibigay ako ng isang minimum na impormasyon mula sa teorya ng laro, na tutulong sa iyo na maunawaan kung ano ang isang modelo ng laro. At kaya, sa modelo mayroong kinakailangang mga partido (dalawa o higit pa), na karaniwang tinatawag na mga manlalaro.

Ang lahat ng mga modelo ay may ilang mga katangian.

Ang modelo ng laro ay maaaring ipares o maramihan. Kung mayroon kaming dalawang paksa, pagkatapos ay ang salungatan ay ipinares, kung higit pa - maramihang. Ang isang antagonistic na laro ay maaari ding makilala, ito ay tinatawag ding zero-sum game. Ito ay isang modelo kung saan ang pakinabang ng isa sa mga kalahok ay katumbas ng pagkawala ng isa pa.

mga modelo ng simulation

Sa seksyong ito, kami ay tumutuon sa simulation mathematical models. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay:

modelo ng dynamics ng bilang ng mga microorganism;
modelo ng molecular motion, at iba pa.

Sa kasong ito, pinag-uusapan natin ang mga modelo na mas malapit hangga't maaari sa mga totoong proseso. Sa pangkalahatan, ginagaya nila ang anumang pagpapakita sa kalikasan. Sa unang kaso, halimbawa, maaari nating imodelo ang dynamics ng bilang ng mga langgam sa isang kolonya. Sa kasong ito, maaari mong obserbahan ang kapalaran ng bawat indibidwal. Sa kasong ito, ang paglalarawan sa matematika ay bihirang ginagamit, mas madalas mayroong nakasulat na mga kondisyon:

pagkatapos ng limang araw, nangingitlog ang babae;
pagkaraan ng dalawampung araw ay namatay ang langgam, at iba pa.

Kaya, ay ginagamit upang ilarawan ang isang malaking sistema. Ang konklusyon sa matematika ay ang pagproseso ng natanggap na data ng istatistika.

Mga kinakailangan

Napakahalagang malaman na mayroong ilang mga kinakailangan para sa ganitong uri ng modelo, bukod sa kung saan ay ang mga ibinigay sa talahanayan sa ibaba.

Kagalingan sa maraming bagay	Nagbibigay-daan sa iyo ang property na ito na gumamit ng parehong modelo kapag naglalarawan ng mga pangkat ng mga bagay na may parehong uri. Mahalagang tandaan na ang mga unibersal na modelo ng matematika ay ganap na independyente sa pisikal na katangian ng bagay na pinag-aaralan.
Kasapatan	Narito mahalagang maunawaan na ang ari-arian na ito ay nagbibigay-daan sa pinakatamang pagpaparami ng mga tunay na proseso. Sa mga problema sa pagpapatakbo, ang pag-aari na ito ng pagmomodelo ng matematika ay napakahalaga. Ang isang halimbawa ng isang modelo ay ang proseso ng pag-optimize ng paggamit ng isang sistema ng gas. Sa kasong ito, ang mga kinakalkula at aktwal na mga tagapagpahiwatig ay inihambing, bilang isang resulta, ang kawastuhan ng pinagsama-samang modelo ay nasuri.
Katumpakan	Ang kinakailangang ito ay nagpapahiwatig ng pagkakaisa ng mga halaga na nakukuha namin kapag kinakalkula ang modelo ng matematika at ang mga parameter ng input ng aming tunay na bagay.
ekonomiya	Ang pangangailangan ng ekonomiya para sa anumang modelo ng matematika ay nailalarawan sa pamamagitan ng mga gastos sa pagpapatupad. Kung ang gawain sa modelo ay isinasagawa nang manu-mano, pagkatapos ay kinakailangan upang kalkulahin kung gaano karaming oras ang aabutin upang malutas ang isang problema gamit ang mathematical model na ito. Kung pinag-uusapan natin ang tungkol sa disenyo na tinutulungan ng computer, kung gayon ang mga tagapagpahiwatig ng oras at memorya ng computer ay kinakalkula

Mga hakbang sa pagmomodelo

Sa kabuuan, kaugalian na makilala ang apat na yugto sa pagmomolde ng matematika.

Pagbubuo ng mga batas na nag-uugnay sa mga bahagi ng modelo.
Pag-aaral ng mga problema sa matematika.
Paghanap ng pagkakataon ng praktikal at teoretikal na mga resulta.
Pagsusuri at modernisasyon ng modelo.

Modelong pang-ekonomiya at matematika

Sa seksyong ito, maikling i-highlight natin ang isyu. Ang mga halimbawa ng mga gawain ay maaaring:

pagbuo ng isang programa sa produksyon para sa produksyon ng mga produktong karne, na tinitiyak ang pinakamataas na kita ng produksyon;
pag-maximize ng tubo ng organisasyon sa pamamagitan ng pagkalkula ng pinakamainam na bilang ng mga mesa at upuan na gagawin sa isang pabrika ng muwebles, at iba pa.

Ang modelong pang-ekonomiya-matematika ay nagpapakita ng abstraction ng ekonomiya, na ipinahayag gamit ang mga termino at palatandaang pangmatematika.

Modelo ng matematika sa computer

Ang mga halimbawa ng isang computer mathematical model ay:

mga gawaing haydrolika gamit ang mga flowchart, diagram, talahanayan, at iba pa;
mga gawain para sa mekanika matibay na katawan, at iba pa.

Ang modelo ng computer ay isang imahe ng isang bagay o sistema, na ipinakita bilang:

mga talahanayan;
block diagram;
mga diagram;
graphics, at iba pa.

Kasabay nito, ang modelong ito ay sumasalamin sa istraktura at mga pagkakaugnay ng system.

Pagbuo ng modelong pang-ekonomiya at matematika

Napag-usapan na natin kung ano ang modelong pang-ekonomiya-matematika. Ang isang halimbawa ng paglutas ng problema ay isasaalang-alang ngayon. Kailangan nating pag-aralan ang programa ng produksyon upang matukoy ang reserba para sa pagtaas ng kita na may pagbabago sa assortment.

Hindi namin ganap na isasaalang-alang ang problema, ngunit bumuo lamang ng isang pang-ekonomiya at matematikal na modelo. Ang pamantayan ng aming gawain ay ang pag-maximize ng kita. Pagkatapos ang function ay may form na: Л=р1*х1+р2*х2… tending to the maximum. Sa modelong ito, ang p ay ang tubo bawat yunit, x ay ang bilang ng mga yunit na ginawa. Dagdag pa, batay sa itinayong modelo, kinakailangan na gumawa ng mga kalkulasyon at buod.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang simpleng modelo ng matematika

Isang gawain. Bumalik ang mangingisda dala ang sumusunod na huli:

8 isda - mga naninirahan sa hilagang dagat;
20% ng catch - ang mga naninirahan sa katimugang dagat;
wala ni isang isda ang natagpuan mula sa lokal na ilog.

Ilang isda ang nabili niya sa tindahan?

Kaya, ang isang halimbawa ng pagbuo ng isang modelo ng matematika ng problemang ito ay ang mga sumusunod. Tinutukoy namin ang kabuuang bilang ng mga isda bilang x. Kasunod ng kundisyon, 0.2x ang bilang ng mga isda na naninirahan sa southern latitude. Ngayon pinagsasama namin ang lahat ng magagamit na impormasyon at kumuha ng modelong matematikal ng problema: x=0.2x+8. Lutasin namin ang equation at makuha ang sagot sa pangunahing tanong: 10 isda ang binili niya sa tindahan.