Ang konsepto ng modelo at simulation.

Modelo sa malawak na kahulugan- ito ay anumang imahe, analogue ng isang mental o itinatag na imahe, paglalarawan, diagram, pagguhit, mapa, atbp. ng anumang dami, proseso o phenomenon, na ginamit bilang kapalit o kinatawan nito. Ang bagay, proseso o phenomenon mismo ay tinatawag na orihinal ng modelong ito.

Pagmomodelo - ito ay ang pag-aaral ng anumang bagay o sistema ng mga bagay sa pamamagitan ng pagbuo at pag-aaral ng kanilang mga modelo. Ito ay ang paggamit ng mga modelo upang matukoy o pinuhin ang mga katangian at bigyang-katwiran ang mga paraan ng pagbuo ng mga bagong gawang bagay.

Ang anumang paraan ay batay sa ideya ng pagmomodelo siyentipikong pananaliksik, sa parehong oras, sa mga teoretikal na pamamaraan, iba't ibang uri ng pag-sign, abstract na mga modelo ang ginagamit, sa mga pang-eksperimentong - mga modelo ng paksa.

Sa pag-aaral, ang isang kumplikadong tunay na kababalaghan ay pinapalitan ng ilang pinasimple na kopya o pamamaraan, kung minsan ang gayong kopya ay nagsisilbi lamang upang matandaan at makilala ang nais na kababalaghan sa susunod na pagpupulong. Minsan ang itinayong pamamaraan ay sumasalamin sa ilang mahahalagang tampok, nagbibigay-daan sa iyo upang maunawaan ang mekanismo ng hindi pangkaraniwang bagay, ginagawang posible na mahulaan ang pagbabago nito. Ang iba't ibang mga modelo ay maaaring tumutugma sa parehong kababalaghan.

Ang gawain ng mananaliksik ay hulaan ang likas na katangian ng kababalaghan at ang takbo ng proseso.

Minsan, nangyayari na ang isang bagay ay magagamit, ngunit ang mga eksperimento dito ay mahal o humantong sa malubhang kahihinatnan sa kapaligiran. Ang kaalaman tungkol sa mga naturang proseso ay nakuha sa tulong ng mga modelo.

Ang isang mahalagang punto ay ang mismong kalikasan ng agham ay nagsasangkot ng pag-aaral ng hindi isang tiyak na kababalaghan, ngunit isang malawak na klase ng mga kaugnay na phenomena. Ipinahihiwatig nito ang pangangailangang bumalangkas ng ilang pangkalahatang kategoryang pahayag, na tinatawag na mga batas. Naturally, sa gayong pagbabalangkas, maraming mga detalye ang napapabayaan. Upang mas malinaw na makilala ang pattern, sinasadya nilang pumunta para sa coarsening, idealization, schematicity, iyon ay, hindi nila pinag-aaralan ang phenomenon mismo, ngunit isang mas o mas kaunting eksaktong kopya o modelo nito. Ang lahat ng mga batas ay mga batas tungkol sa mga modelo, at samakatuwid ay hindi nakakagulat na, sa paglipas ng panahon, ang ilang mga teoryang pang-agham ay natagpuan na hindi magagamit. Hindi ito humahantong sa pagbagsak ng agham, dahil ang isang modelo ay pinalitan ng isa pa. mas makabago.

Ang isang espesyal na papel sa agham ay nilalaro ng mga modelo ng matematika, ang materyal na gusali at mga tool ng mga modelong ito - mga konsepto ng matematika. Sila ay naipon at napabuti sa loob ng libu-libong taon. Ang modernong matematika ay nagbibigay ng napakalakas at unibersal na paraan ng pananaliksik. Halos bawat konsepto sa matematika, bawat bagay sa matematika, simula sa konsepto ng isang numero, ay isang modelo ng matematika. Kapag bumubuo ng isang modelo ng matematika ng isang bagay o kababalaghan na pinag-aaralan, ang mga tampok, tampok at detalye nito ay nakikilala, na, sa isang banda, naglalaman ng higit pa o hindi gaanong kumpletong impormasyon tungkol sa bagay, at, sa kabilang banda, pinapayagan ang matematika. pormalisasyon. Ang mathematical formalization ay nangangahulugan na ang mga katangian at detalye ng isang bagay ay maaaring iugnay sa naaangkop na mga konseptong matematikal: mga numero, function, matrice, at iba pa. Pagkatapos ang mga koneksyon at relasyon na natagpuan at ipinapalagay sa bagay na pinag-aaralan sa pagitan ng mga indibidwal na bahagi at mga bahagi nito ay maaaring isulat gamit ang mga mathematical na relasyon: pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, mga equation. Ang resulta ay isang mathematical na paglalarawan ng proseso o phenomenon na pinag-aaralan, iyon ay, ang mathematical model nito.

Ang pag-aaral ng isang mathematical model ay palaging nauugnay sa ilang mga patakaran ng pagkilos sa mga bagay na pinag-aaralan. Ang mga panuntunang ito ay sumasalamin sa mga ugnayan sa pagitan ng mga sanhi at epekto.

Ang pagbuo ng isang mathematical model ay isang sentral na yugto sa pag-aaral o disenyo ng anumang sistema. Ang buong kasunod na pagsusuri ng bagay ay nakasalalay sa kalidad ng modelo. Ang pagbuo ng isang modelo ay hindi isang pormal na pamamaraan. Ito ay lubos na nakasalalay sa mananaliksik, ang kanyang karanasan at panlasa, palaging umaasa sa ilang mga pang-eksperimentong materyal. Ang modelo ay dapat na sapat na tumpak, sapat at dapat na maginhawa para sa paggamit.

Pagmomodelo sa matematika.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika.

Ang mga modelo ng matematika ay maaaringdeterminado at stochastic .

Deterministiko modelo at - ang mga ito ay mga modelo kung saan ang isang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o phenomenon.

Ang diskarte na ito ay batay sa kaalaman sa mekanismo ng paggana ng mga bagay. Ang bagay na ginagaya ay kadalasang kumplikado at ang pag-decipher ng mekanismo nito ay maaaring maging napakahirap at matagal. Sa kasong ito, nagpapatuloy sila bilang mga sumusunod: ang mga eksperimento ay isinasagawa sa orihinal, ang mga resulta ay naproseso, at, nang hindi nagsasaliksik sa mekanismo at teorya ng modelong bagay, gamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika at teorya ng posibilidad, nagtatatag sila ng mga ugnayan sa pagitan ang mga variable na naglalarawan sa bagay. Sa kasong ito, kumuhastochastic modelo . AT stochastic modelo, ang relasyon sa pagitan ng mga variable ay random, kung minsan ito ay nangyayari sa panimula. Ang epekto ng isang malaking bilang ng mga kadahilanan, ang kanilang kumbinasyon ay humahantong sa isang random na hanay ng mga variable na naglalarawan ng isang bagay o kababalaghan. Sa pamamagitan ng likas na katangian ng mga mode, ang modelo ayistatistika at pabago-bago.

Istatistikamodelomay kasamang paglalarawan ng mga ugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng kunwa na bagay sa steady state nang hindi isinasaalang-alang ang pagbabago sa mga parameter sa paglipas ng panahon.

AT pabago-bagomga modeloinilalarawan ang kaugnayan sa pagitan ng mga pangunahing variable ng kunwa na bagay sa paglipat mula sa isang mode patungo sa isa pa.

Ang mga modelo ay discrete at tuloy-tuloy, pati na rin ang magkakahalo uri. AT tuloy-tuloy ang mga variable ay kumukuha ng mga halaga mula sa isang tiyak na agwat, sadiscreteang mga variable ay kumukuha ng mga nakahiwalay na halaga.

Mga Linear na Modelo- lahat ng mga function at relasyon na naglalarawan sa modelo ay linearly nakadepende sa mga variable athindi linearkung hindi.

Pagmomodelo sa matematika.

Mga kinakailangan , iniharap sa mga modelo.

1. Kagalingan sa maraming bagay- nailalarawan ang pagkakumpleto ng pagpapakita sa pamamagitan ng modelo ng mga pinag-aralan na katangian ng tunay na bagay.

1. Adequacy - ang kakayahang ipakita ang nais na mga katangian ng bagay na may error na hindi mas mataas kaysa sa tinukoy.
2. Katumpakan - ay tinatantya ng antas ng pagkakaisa ng mga halaga ng mga katangian ng isang tunay na bagay at ang mga halaga ng mga katangiang ito na nakuha gamit ang mga modelo.
3. ekonomiya - ay tinutukoy ng halaga ng mga mapagkukunan ng memorya ng computer at oras para sa pagpapatupad at pagpapatakbo nito.

Pagmomodelo sa matematika.

Ang mga pangunahing yugto ng pagmomolde.

1. Paglalahad ng suliranin.

Pagtukoy sa layunin ng pagsusuri at mga paraan upang makamit ito at bumuo ng isang karaniwang diskarte sa problemang pinag-aaralan. Sa yugtong ito, kinakailangan ang malalim na pag-unawa sa kakanyahan ng gawain. Minsan, hindi gaanong mahirap itakda nang tama ang isang gawain kaysa sa paglutas nito. Ang pagtatanghal ay hindi isang pormal na proseso, pangkalahatang tuntunin hindi.

2. Ang pag-aaral ng mga teoretikal na pundasyon at ang koleksyon ng impormasyon tungkol sa bagay ng orihinal.

Sa yugtong ito, pinipili o binuo ang isang angkop na teorya. Kung wala ito, ang mga ugnayang sanhi ay itinatag sa pagitan ng mga variable na naglalarawan sa bagay. Tinutukoy ang data ng input at output, ginagawa ang pagpapasimple ng mga pagpapalagay.

3. Pormalisasyon.

Binubuo ito sa pagpili ng isang sistema ng mga simbolo at paggamit ng mga ito upang isulat ang kaugnayan sa pagitan ng mga bahagi ng bagay sa anyo ng mga mathematical expression. Ang isang klase ng mga gawain ay itinatag, kung saan ang resultang modelo ng matematika ng bagay ay maaaring maiugnay. Ang mga halaga ng ilang mga parameter sa yugtong ito ay maaaring hindi pa tinukoy.

4. Pagpili ng paraan ng solusyon.

Sa yugtong ito, ang mga panghuling parameter ng mga modelo ay itinakda, na isinasaalang-alang ang mga kondisyon para sa pagpapatakbo ng bagay. Para sa nakuha na problema sa matematika, ang isang paraan ng solusyon ay pinili o isang espesyal na paraan ay binuo. Kapag pumipili ng isang paraan, ang kaalaman ng gumagamit, ang kanyang mga kagustuhan, pati na rin ang mga kagustuhan ng developer ay isinasaalang-alang.

5. Pagpapatupad ng modelo.

Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang algorithm, ang isang programa ay nakasulat na na-debug, nasubok, at isang solusyon sa nais na problema ay nakuha.

6. Pagsusuri ng natanggap na impormasyon.

Ang natanggap at inaasahang solusyon ay inihambing, ang error sa pagmomodelo ay kinokontrol.

7. Sinusuri ang kasapatan ng isang tunay na bagay.

Ang mga resulta na nakuha ng modelo ay inihambingalinman sa magagamit na impormasyon tungkol sa bagay, o isang eksperimento ang isinasagawa at ang mga resulta nito ay inihambing sa mga kinakalkula.

Ang proseso ng pagmomolde ay umuulit. Sa kaso ng hindi kasiya-siyang resulta ng mga yugto 6. o 7. ang pagbabalik sa isa sa mga unang yugto, na maaaring humantong sa pagbuo ng isang hindi matagumpay na modelo, ay isinasagawa. Ang yugtong ito at ang lahat ng kasunod na yugto ay pinino, at ang gayong pagpipino ng modelo ay nangyayari hanggang sa makuha ang mga katanggap-tanggap na resulta.

Ang isang modelo ng matematika ay isang tinatayang paglalarawan ng anumang klase ng mga phenomena o mga bagay ng totoong mundo sa wika ng matematika. Ang pangunahing layunin ng pagmomodelo ay upang galugarin ang mga bagay na ito at hulaan ang mga resulta ng mga obserbasyon sa hinaharap. Gayunpaman, ang pagmomolde ay isa ring paraan ng pag-unawa sa nakapaligid na mundo, na ginagawang posible na kontrolin ito.

Ang pagmomodelo ng matematika at ang nauugnay na eksperimento sa computer ay kailangang-kailangan sa mga kaso kung saan imposible o mahirap ang isang buong sukat na eksperimento para sa isang kadahilanan o iba pa. Halimbawa, imposibleng mag-set up ng isang buong sukat na eksperimento sa kasaysayan upang suriin ang "ano ang mangyayari kung..." Imposibleng suriin ang kawastuhan nito o ng teoryang kosmolohikal na iyon. Sa prinsipyo, posible, ngunit halos hindi makatwiran, na mag-set up ng isang eksperimento sa pagkalat ng ilang sakit, tulad ng salot, o magsagawa ng pagsabog ng nuklear upang pag-aralan ang mga implikasyon nito. Gayunpaman, ang lahat ng ito ay maaaring gawin sa isang computer, na dati nang nakagawa ng mga modelo ng matematika ng mga phenomena na pinag-aaralan.

1.1.2 2. Mga pangunahing yugto ng pagmomolde ng matematika

1) Pagbuo ng modelo. Sa yugtong ito, ang ilang bagay na "di-matematika" ay tinukoy - isang natural na kababalaghan, konstruksiyon, planong pang-ekonomiya, proseso ng produksyon, atbp. Sa kasong ito, bilang panuntunan, ang isang malinaw na paglalarawan ng sitwasyon ay mahirap. Una, ang mga pangunahing tampok ng kababalaghan at ang ugnayan sa pagitan ng mga ito sa isang antas ng husay ay natukoy. Pagkatapos ang nahanap na qualitative dependencies ay binuo sa wika ng matematika, iyon ay, isang mathematical model ang binuo. Ito ang pinakamahirap na bahagi ng pagmomodelo.

2) Paglutas ng problemang pangmatematika na pinangungunahan ng modelo. Sa yugtong ito, maraming pansin ang binabayaran sa pagbuo ng mga algorithm at numerical na pamamaraan para sa paglutas ng problema sa isang computer, sa tulong kung saan ang resulta ay matatagpuan sa kinakailangang katumpakan at sa loob ng isang katanggap-tanggap na oras.

3) Interpretasyon ng mga nakuhang kahihinatnan mula sa mathematical model.Ang mga kahihinatnan na nagmula sa modelo sa wika ng matematika ay binibigyang kahulugan sa wikang tinatanggap sa larangang ito.

4) Sinusuri ang kasapatan ng modelo.Sa yugtong ito, malalaman kung ang mga resulta ng eksperimento ay sumasang-ayon sa mga teoretikal na kahihinatnan mula sa modelo sa loob ng isang tiyak na katumpakan.

5) Pagbabago ng modelo.Sa yugtong ito, maaaring maging mas kumplikado ang modelo upang ito ay mas sapat sa katotohanan, o ito ay pinasimple upang makamit ang isang praktikal na katanggap-tanggap na solusyon.

1.1.3 3. Pag-uuri ng modelo

Maaaring uriin ang mga modelo ayon sa iba't ibang pamantayan. Halimbawa, ayon sa likas na katangian ng mga problemang nilulutas, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa mga functional at structural. Sa unang kaso, ang lahat ng mga dami na nagpapakilala sa isang kababalaghan o bagay ay ipinahayag sa dami. Kasabay nito, ang ilan sa mga ito ay itinuturing na mga independiyenteng variable, habang ang iba ay itinuturing na mga function ng mga dami na ito. Ang isang mathematical model ay karaniwang isang sistema ng mga equation ng iba't ibang uri (differential, algebraic, atbp.) na nagtatatag ng quantitative na relasyon sa pagitan ng mga quantity na isinasaalang-alang. Sa pangalawang kaso, ang modelo ay nagpapakilala sa istraktura ng isang kumplikadong bagay, na binubuo ng magkahiwalay na mga bahagi, sa pagitan ng kung saan mayroong ilang mga koneksyon. Karaniwan, ang mga ugnayang ito ay hindi nasusukat. Upang makabuo ng gayong mga modelo, maginhawang gumamit ng teorya ng graph. Ang graph ay isang mathematical object, na isang set ng mga punto (vertices) sa isang eroplano o sa espasyo, na ang ilan ay konektado sa pamamagitan ng mga linya (mga gilid).

Ayon sa likas na katangian ng paunang data at mga resulta ng hula, ang mga modelo ay maaaring nahahati sa deterministic at probabilistic-statistical. Ang mga modelo ng unang uri ay nagbibigay ng tiyak, hindi malabo na mga hula. Ang mga modelo ng pangalawang uri ay batay sa istatistikal na impormasyon, at ang mga hula na nakuha sa kanilang tulong ay isang probabilistikong kalikasan.

MATHEMATICAL MODELING AT PANGKALAHATANG COMPUTERIZATION O SIMULATION MODELS

Ngayon, kapag halos unibersal na kompyuterisasyon ang nagaganap sa bansa, maririnig ang mga pahayag mula sa mga espesyalista ng iba't ibang propesyon: "Ipakilala natin ang isang computer sa ating bansa, pagkatapos ang lahat ng mga gawain ay malulutas kaagad." Ang puntong ito ng pananaw ay ganap na mali, ang mga computer mismo ay hindi makakagawa ng anuman nang walang mga modelo ng matematika ng ilang mga proseso, at maaari lamang mangarap ng unibersal na computerization.

Bilang suporta sa nabanggit, susubukan naming bigyang-katwiran ang pangangailangan para sa pagmomodelo, kabilang ang pagmomodelo ng matematika, at ihayag ang mga pakinabang nito sa katalusan at pagbabago ng tao. labas ng mundo, tutukuyin natin ang mga kasalukuyang pagkukulang at pupunta ... sa simulation modeling, i.e. pagmomodelo gamit ang mga kompyuter. Ngunit lahat ay nasa ayos.

Una sa lahat, sagutin natin ang tanong: ano ang modelo?

Ang isang modelo ay isang materyal o bagay na kinakatawan ng pag-iisip, na, sa proseso ng pag-unawa (pag-aaral), pinapalitan ang orihinal, pinapanatili ang ilang mahalagang para sa itong pag aaral tipikal na katangian.

Ang isang mahusay na binuo na modelo ay mas naa-access para sa pananaliksik kaysa sa isang tunay na bagay. Halimbawa, ang mga eksperimento sa ekonomiya ng bansa para sa mga layuning pang-edukasyon ay hindi katanggap-tanggap, dito ay hindi magagawa nang walang modelo.

Sa pagbubuod ng sinabi, masasagot natin ang tanong: para saan ang mga modelo? Upang

• maunawaan kung paano gumagana ang isang bagay (ang istraktura nito, mga katangian, mga batas ng pag-unlad, pakikipag-ugnayan sa labas ng mundo).
• matutong pamahalaan ang isang bagay (proseso) at tukuyin ang pinakamahusay na mga diskarte
• hulaan ang mga kahihinatnan ng epekto sa bagay.

Ano ang positibo sa anumang modelo? Pinapayagan ka nitong makakuha ng bagong kaalaman tungkol sa bagay, ngunit, sa kasamaang-palad, hindi ito kumpleto sa isang antas o iba pa.

Modelona nabuo sa wika ng matematika gamit ang mga pamamaraang matematikal ay tinatawag na modelong matematikal.

Ang panimulang punto para sa pagtatayo nito ay karaniwang ilang gawain, halimbawa, isang pang-ekonomiya. Laganap, parehong descriptive at optimization mathematical, characterizing iba't-ibang mga prosesong pang-ekonomiya at mga kaganapan tulad ng:

• paglalaan ng mapagkukunan
• makatwirang pagputol
• transportasyon
• pagsasama-sama ng mga negosyo
• pagpaplano ng network.

Paano nabuo ang isang mathematical model?

• Una, nabuo ang layunin at paksa ng pag-aaral.
• Pangalawa, ang pinaka mahahalagang katangian angkop para sa layuning ito.
• Pangatlo, ang mga ugnayan sa pagitan ng mga elemento ng modelo ay inilarawan sa salita.
• Dagdag pa, ang relasyon ay pormal.
• At ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa modelo ng matematika at ang pagsusuri ng nakuhang solusyon.

Gamit ang algorithm na ito, maaari mong lutasin ang anumang problema sa pag-optimize, kabilang ang isang multicriteria, i.e. isa kung saan hindi isa, ngunit maraming mga layunin, kabilang ang mga magkasalungat, ay hinahabol.

Kumuha tayo ng isang halimbawa. Teorya ng queuing - ang problema ng pagpila. Kailangan mong balansehin ang dalawang salik - ang halaga ng pagpapanatili ng mga kagamitan sa serbisyo at ang gastos ng pananatili sa linya. Ang pagkakaroon ng pagbuo ng isang pormal na paglalarawan ng modelo, ang mga kalkulasyon ay ginawa gamit ang analytical at computational na pamamaraan. Kung ang modelo ay mabuti, kung gayon ang mga sagot na natagpuan sa tulong nito ay sapat sa sistema ng pagmomolde; kung ito ay masama, dapat itong pagbutihin at palitan. Ang criterion ng kasapatan ay pagsasanay.

Ang mga modelo ng pag-optimize, kabilang ang mga multicriteria, ay mayroon karaniwang ari-arian– isang layunin (o ilang layunin) ay kilala, upang makamit kung alin ang madalas na kailangang harapin ang mga kumplikadong sistema, kung saan ito ay hindi gaanong tungkol sa paglutas ng mga problema sa pag-optimize, ngunit tungkol sa pagsasaliksik at paghula ng mga estado depende sa napiling mga diskarte sa kontrol. At dito tayo ay nahaharap sa mga kahirapan sa pagpapatupad ng nakaraang plano. Ang mga ito ay ang mga sumusunod:

• ang isang kumplikadong sistema ay naglalaman ng maraming koneksyon sa pagitan ng mga elemento
• ang tunay na sistema ay naiimpluwensyahan ng mga random na kadahilanan, imposibleng isaalang-alang ang mga ito nang analytical
• ang posibilidad ng paghahambing ng orihinal sa modelo ay umiiral lamang sa simula at pagkatapos ng aplikasyon ng mathematical apparatus, dahil ang mga intermediate na resulta ay maaaring walang mga analogue sa isang tunay na sistema.

Kaugnay ng mga nakalistang paghihirap na lumitaw kapag nag-aaral ng mga kumplikadong sistema, ang pagsasanay ay nangangailangan ng isang mas nababaluktot na pamamaraan, at ito ay lumitaw - simulation modeling " Simujation modeling".

Karaniwan, ang isang modelo ng simulation ay nauunawaan bilang isang hanay ng mga programa sa computer na naglalarawan sa paggana ng mga indibidwal na bloke ng mga system at ang mga patakaran ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga ito. Paggamit mga random na variable ginagawang kinakailangan upang magsagawa ng paulit-ulit na mga eksperimento sa isang simulation system (sa isang computer) at kasunod na istatistikal na pagsusuri ng mga resultang nakuha. Ang isang napaka-karaniwang halimbawa ng paggamit ng mga modelo ng simulation ay ang solusyon ng isang problema sa queuing sa pamamagitan ng MONTE CARLO method.

Kaya, ang pagtatrabaho sa simulation system ay isang eksperimento na isinasagawa sa isang computer. Ano ang mga benepisyo?

– Mas malapit sa tunay na sistema kaysa sa mga modelo ng matematika;

– Ginagawang posible ng prinsipyo ng block na i-verify ang bawat bloke bago ito isama sa pangkalahatang sistema;

– Ang paggamit ng mga dependency ng isang mas kumplikadong kalikasan, hindi inilarawan sa pamamagitan ng simpleng mga relasyon sa matematika.

Tinutukoy ng mga nakalistang pakinabang ang mga disadvantages

– ang pagbuo ng modelo ng simulation ay mas mahaba, mas mahirap at mas mahal;

– upang gumana sa simulation system, kailangan mong magkaroon ng isang computer na angkop para sa klase;

– ang pakikipag-ugnayan sa pagitan ng user at ng simulation model (interface) ay hindi dapat masyadong kumplikado, maginhawa at kilala;

- ang pagbuo ng isang simulation model ay nangangailangan ng mas malalim na pag-aaral ng tunay na proseso kaysa sa mathematical modeling.

Ang tanong ay lumitaw: maaari bang palitan ng simulation modeling ang mga pamamaraan ng pag-optimize? Hindi, ngunit maginhawang umakma sa kanila. Ang modelo ng simulation ay isang programa na nagpapatupad ng ilang algorithm, upang i-optimize ang kontrol kung saan unang nalutas ang isang problema sa pag-optimize.

Kaya, alinman sa isang computer, o isang modelo ng matematika, o isang algorithm para sa pag-aaral nito nang hiwalay ay hindi maaaring malutas ang isang medyo kumplikadong problema. Ngunit magkasama silang kumakatawan sa kapangyarihan na nagpapahintulot sa iyo na malaman ang mundo, pamahalaan ito sa interes ng tao.

1.2 Pag-uuri ng modelo

1.2.1 Pag-uuri na isinasaalang-alang ang kadahilanan ng oras at ang lugar ng paggamit (Makarova N.A.) Static na modelo - ito ay tulad ng isang beses na hiwa ng impormasyon sa bagay (ang resulta ng isang survey) Dynamic pinahihintulutan ng modelo makita ang mga pagbabago sa bagay sa paglipas ng panahon (Card sa klinika) Ang mga modelo ay maaaring uriin ayon sa anong larangan ng kaalaman ang kanilang kinabibilangan(biyolohikal, historikal, ekolohikal, atbp.) Bumalik sa simula

1.2.2 Pag-uuri ayon sa lugar ng paggamit (Makarova N.A.) Pagsasanay- biswal mga tulong, tagapagsanay , oh nananaginip mga programa Naranasan mga modelo-nabawasan mga kopya (kotse sa isang wind tunnel) Siyentipiko at teknikal synchrophasotron, tumayo para sa pagsubok ng mga elektronikong kagamitan laro- ekonomiya, palakasan, larong pangnegosyo kunwa- hindi sinasalamin lamang nila ang katotohanan, ngunit ginagaya ito (ang mga gamot ay nasubok sa mga daga, ang mga eksperimento ay isinasagawa sa mga paaralan, atbp. Ang pamamaraang ito ng pagmomodelo ay tinatawag na pagsubok at pagkakamali Bumalik sa simula

1.2.3 Pag-uuri ayon sa paraan ng pagtatanghal Makarova N.A.) materyal mga modelo- kung hindi matatawag na paksa. Nakikita nila ang geometriko at pisikal na katangian orihinal at laging may tunay na sagisag Pang-impormasyon mga modelo-hindi pinapayagan hawakan o tingnan. Ang mga ito ay batay sa impormasyon. .Impormasyon Ang modelo ay isang hanay ng impormasyon na nagpapakilala sa mga katangian at estado ng isang bagay, proseso, kababalaghan, pati na rin ang kaugnayan sa labas ng mundo. Verbal model - modelo ng impormasyon sa anyo ng pag-iisip o pakikipag-usap. iconic modelo-impormasyon modelo na ipinahayag sa pamamagitan ng mga palatandaan , ibig sabihin.. sa pamamagitan ng anumang pormal na wika. Modelo ng computer - m Isang modelo na ipinatupad sa pamamagitan ng isang software environment.

1.2.4 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa aklat na "Land of Informatics" (Gein A.G.)) "...narito ang isang tila simpleng gawain: gaano katagal ang tatawid sa disyerto ng Karakum? Sagot, siyempre depende sa mode ng paglalakbay. Kung ang maglakbay sa mga kamelyo, pagkatapos ay kakailanganin ang isang termino, isa pa kung sasakay ka sa kotse, pangatlo kung lilipad ka sa eroplano. At higit sa lahat, kailangan ng iba't ibang modelo para magplano ng biyahe. Para sa unang kaso, ang kinakailangang modelo ay matatagpuan sa mga memoir ng mga sikat na explorer ng disyerto: pagkatapos ng lahat, hindi magagawa ng isa nang walang impormasyon tungkol sa mga oasis at mga landas ng kamelyo. Sa pangalawang kaso, hindi maaaring palitan ang impormasyon na nakapaloob sa atlas ng mga kalsada. Sa pangatlo - maaari mong gamitin ang iskedyul ng paglipad. Magkaiba ang tatlong modelong ito - mga memoir, atlas at timetable at ang katangian ng presentasyon ng impormasyon. Sa unang kaso, ipinakita ang modelo pandiwang paglalarawan impormasyon (deskriptibong modelo), sa pangalawa - tulad ng isang larawan mula sa kalikasan (natural na modelo), sa pangatlo - isang talahanayan na naglalaman ng mga simbolo: oras ng pag-alis at pagdating, araw ng linggo, presyo ng tiket (ang tinatawag na sign model) Gayunpaman, ang dibisyong ito ay napaka-kondisyon - ang mga mapa at mga diagram (mga elemento ng isang full-scale na modelo) ay matatagpuan sa mga memoir, may mga simbolo sa mga mapa (mga elemento ng isang sign model), isang decoding ng mga simbolo (mga elemento ng isang mapaglarawang modelo ) ay ibinigay sa iskedyul. Kaya ang pag-uuri ng mga modelo ... sa aming opinyon ay hindi produktibo" Sa aking palagay, ang fragment na ito ay nagpapakita ng mapaglarawang (kahanga-hangang wika at istilo ng presentasyon) na karaniwan sa lahat ng mga aklat ni Gein at, kumbaga, ang Socratic na istilo ng pagtuturo (Akala ng lahat ay ganoon nga. Lubos akong sumasang-ayon sa iyo, ngunit kung titingnan mong mabuti, kung gayon ...). Sa ganitong mga libro medyo mahirap makahanap ng isang malinaw na sistema ng mga kahulugan (hindi ito nilayon ng may-akda). Sa textbook na inedit ni N.A. Ang Makarova ay nagpapakita ng ibang diskarte - ang mga kahulugan ng mga konsepto ay malinaw na nakikilala at medyo static.

1.2.5 Pag-uuri ng mga modelo na ibinigay sa manwal ng A.I. Bochkin Mayroong maraming mga paraan upang pag-uri-uriin .Ipinepresenta namin ilan lamang sa mga mas kilalang pundasyon at mga palatandaan: discreteness at pagpapatuloy, matris at mga modelong scalar, mga static at dynamic na modelo, mga modelo ng analitikal at impormasyon, mga modelo ng paksa at figurative-sign, malakihan at hindi sukat... Bawat tanda nagbibigay ng tiyak kaalaman tungkol sa mga katangian ng parehong modelo at ang modelong realidad. Ang tanda ay maaaring magsilbi bilang isang pahiwatig tungkol sa paraan kung paano ginanap o gagawin ang simulation. Diskrete at pagpapatuloy discreteness - tampok mga modelo ng kompyuter .Pagkatapos ng lahat ang isang computer ay maaaring nasa isang may hangganan, kahit na napakalaki, bilang ng mga estado. Samakatuwid, kahit na ang bagay ay tuloy-tuloy (oras), sa modelo ito ay magbabago sa mga jumps. Maaari itong isaalang-alang pagpapatuloy isang tanda ng mga modelong hindi uri ng kompyuter. Randomness at determinismo . kawalan ng katiyakan, aksidente sa simula ay tutol mundo ng kompyuter: Ang algorithm na tumakbo muli ay dapat na ulitin ang sarili nito at magbigay ng parehong mga resulta. Ngunit upang gayahin ang mga random na proseso, ginagamit ang mga pseudo-random na sensor ng numero. Ang pagpapasok ng randomness sa mga deterministikong problema ay humahantong sa makapangyarihan at kawili-wiling mga modelo (Random Tossing Area Calculation). Matrix - scalar. Availability ng mga parameter matris modelo ay nagpapahiwatig ng higit na kumplikado at, posibleng, katumpakan kumpara sa scalar. Halimbawa, kung hindi natin iisa-isa ang lahat ng pangkat ng edad sa populasyon ng bansa, kung isasaalang-alang ang pagbabago nito sa kabuuan, makakakuha tayo ng scalar model (halimbawa, ang Malthus model), kung iisa-isahin natin, isang matrix (kasarian at edad) modelo. Ito ang modelo ng matrix na naging posible na ipaliwanag ang mga pagbabago sa rate ng kapanganakan pagkatapos ng digmaan. static na dinamismo. Ang mga katangiang ito ng modelo ay karaniwang paunang natukoy ng mga katangian ng tunay na bagay. Walang kalayaan sa pagpili dito. Basta static modelo ay maaaring maging isang hakbang patungo pabago-bago, o ang ilan sa mga variable ng modelo ay maaaring ituring na hindi nagbabago sa ngayon. Halimbawa, ang isang satellite ay gumagalaw sa paligid ng Earth, ang paggalaw nito ay naiimpluwensyahan ng Buwan. Kung ituturing nating nakatigil ang Buwan sa panahon ng rebolusyon ng satellite, makakakuha tayo ng mas simpleng modelo. Mga Modelong Analitikal. Paglalarawan ng mga proseso analitikal, mga formula at equation. Ngunit kapag sinusubukang bumuo ng isang graph, ito ay mas maginhawang magkaroon ng mga talahanayan ng mga halaga ng function at mga argumento. mga modelo ng simulation. simulation ang mga modelo ay lumitaw nang matagal na ang nakalipas sa anyo ng mga malalaking kopya ng mga barko, tulay, atbp. na lumitaw nang matagal na ang nakalipas, ngunit may kaugnayan sa mga computer na sila ay isinasaalang-alang kamakailan. Alam kung paano konektado Ang mga elemento ng modelo ay analytically at lohikal, mas madaling hindi malutas ang isang sistema ng ilang mga relasyon at equation, ngunit upang i-map ang tunay na sistema sa memorya ng computer, na isinasaalang-alang ang mga link sa pagitan ng mga elemento ng memorya. Mga Modelo ng Impormasyon. Pang-impormasyon Nakaugalian na salungatin ang mga modelo sa mga mathematical, mas tiyak na algorithmic. Ang data/algorithm ratio ay mahalaga dito. Kung may mas maraming data o mas mahalaga sila, mayroon kami modelo ng impormasyon, kung hindi - mathematical. Mga Modelo ng Paksa. Pangunahing modelo ito ng mga bata - isang laruan. Mga modelo ng matalinghagang tanda. Pangunahing modelo ito sa isip ng tao: matalinhaga, kung nangingibabaw ang mga graphic na larawan, at iconic, kung mayroong higit sa mga salita at/o mga numero. Ang mga modelong figurative-sign ay binuo sa isang computer. mga modelo ng sukat. Upang malakihan ang mga modelo ay yaong sa paksa o matalinghagang modelo na inuulit ang hugis ng bagay (mapa).

Lektura 1

MGA BATAYANG METODOLOHIKAL NG PAGMOMODEL

Ang kasalukuyang estado ng problema ng pagmomodelo ng system

Mga Konsepto ng Pagmomodelo at Simulation

Pagmomodelo ay maaaring ituring bilang isang kapalit ng inimbestigahang bagay (orihinal) sa pamamagitan ng kondisyonal na imahe, paglalarawan o ibang bagay, na tinatawag na modelo at pagbibigay ng pag-uugali na malapit sa orihinal sa loob ng ilang mga pagpapalagay at katanggap-tanggap na mga pagkakamali. Karaniwang ginagawa ang pagmomodelo na may layuning malaman ang mga katangian ng orihinal sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo nito, at hindi ang bagay mismo. Siyempre, ang simulation ay makatwiran sa kaso kapag ito mas madaling likhain ang orihinal mismo, o kapag ang huli, para sa ilang kadahilanan, ay mas mahusay na hindi lumikha ng lahat.

Sa ilalim modelo ang isang pisikal o abstract na bagay ay nauunawaan, ang mga katangian nito ay sa isang tiyak na kahulugan na katulad ng mga katangian ng bagay na pinag-aaralan. Sa kasong ito, ang mga kinakailangan para sa modelo ay tinutukoy ng problemang niresolba at ang magagamit na paraan. Mayroong ilang mga pangkalahatang kinakailangan para sa mga modelo:

2) pagkakumpleto - pagbibigay sa tatanggap ng lahat ng kinakailangang impormasyon

tungkol sa bagay;

3) flexibility - ang kakayahang magparami ng iba't ibang sitwasyon sa lahat ng bagay

saklaw ng pagbabago ng mga kondisyon at parameter;

4) ang pagiging kumplikado ng pag-unlad ay dapat na katanggap-tanggap para sa umiiral na

oras at software.

Pagmomodelo ay ang proseso ng pagbuo ng isang modelo ng isang bagay at pag-aaral ng mga katangian nito sa pamamagitan ng pagsusuri sa modelo.

Kaya, ang pagmomodelo ay nagsasangkot ng 2 pangunahing yugto:

1) pagbuo ng modelo;

2) pag-aaral ng modelo at pagguhit ng mga konklusyon.

Kasabay nito, sa bawat yugto, ang iba't ibang mga gawain ay nalutas at

iba't ibang paraan at paraan.

Sa pagsasagawa, iba't ibang mga pamamaraan ng pagmomolde ang ginagamit. Depende sa paraan ng pagpapatupad, ang lahat ng mga modelo ay maaaring nahahati sa dalawang malalaking klase: pisikal at matematika.

Pagmomodelo sa matematika Nakaugalian na isaalang-alang ito bilang isang paraan ng pag-aaral ng mga proseso o phenomena sa tulong ng kanilang mga modelo ng matematika.

Sa ilalim pisikal na pagmomolde ay nauunawaan bilang ang pag-aaral ng mga bagay at phenomena sa mga pisikal na modelo, kapag ang prosesong pinag-aaralan ay ginawang muli sa pangangalaga ng pisikal na katangian nito o ibang pisikal na kababalaghan na katulad ng pinag-aaralan ang ginamit. Kung saan mga pisikal na modelo Bilang isang tuntunin, ipinapalagay nila ang tunay na embodiment ng mga pisikal na katangian ng orihinal na mahalaga sa isang partikular na sitwasyon. kapag nagpaplano ng isang gusali, ang mga arkitekto ay gumagawa ng isang layout na sumasalamin sa spatial na pag-aayos ng mga elemento nito. Sa bagay na ito, tinatawag din ang pisikal na pagmomolde prototyping.

Pagmomodelo ng HIL ay isang pag-aaral ng mga kinokontrol na sistema sa mga simulation complex na may kasamang tunay na kagamitan sa modelo. Kasama ng mga tunay na kagamitan, kasama sa saradong modelo ang mga simulator ng epekto at panghihimasok, mga modelo ng matematika ng panlabas na kapaligiran at mga proseso kung saan hindi alam ang isang sapat na tumpak na paglalarawan sa matematika. Ang pagsasama ng mga tunay na kagamitan o mga tunay na sistema sa circuit para sa pagmomodelo ng mga kumplikadong proseso ay ginagawang posible na bawasan ang isang priori na kawalan ng katiyakan at imbestigahan ang mga proseso kung saan walang eksaktong matematikal na paglalarawan. Sa tulong ng semi-natural na simulation, ang mga pag-aaral ay isinagawa na isinasaalang-alang ang maliit na mga constant ng oras at hindi linearity na likas sa totoong kagamitan. Sa pag-aaral ng mga modelo na may kasamang tunay na kagamitan, ginamit ang konsepto dynamic na simulation, sa pag-aaral ng mga kumplikadong sistema at phenomena - ebolusyonaryo, panggagaya at cybernetic simulation.

Malinaw, ang tunay na benepisyo ng pagmomodelo ay makukuha lamang kung ang dalawang kundisyon ay natutugunan:

1) ang modelo ay nagbibigay ng tamang (sapat) na pagpapakita ng mga katangian

ang orihinal, makabuluhan mula sa punto ng view ng operasyon sa ilalim ng pag-aaral;

2) ginagawang posible ng modelo na alisin ang mga problemang nakalista sa itaas, na likas

pagsasagawa ng pananaliksik sa mga tunay na bagay.

2. Pangunahing konsepto ng mathematical modelling

Ang solusyon ng mga praktikal na problema sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika ay patuloy na isinasagawa sa pamamagitan ng pagbabalangkas ng problema (pagbuo ng isang modelo ng matematika), pagpili ng isang pamamaraan para sa pag-aaral ng nakuhang modelo ng matematika, at pagsusuri sa nakuhang resulta ng matematika. Ang pormulasyon ng matematika ng problema ay karaniwang ipinakita sa anyo ng mga geometric na imahe, pag-andar, sistema ng mga equation, atbp. Ang paglalarawan ng isang bagay (phenomenon) ay maaaring katawanin gamit ang tuloy-tuloy o discrete, deterministic o stochastic at iba pang mga mathematical form.

Teorya ng pagmomolde ng matematika tinitiyak ang pagkakakilanlan ng mga regularidad sa kurso ng iba't ibang mga phenomena ng nakapaligid na mundo o ang pagpapatakbo ng mga system at device sa pamamagitan ng kanilang matematikal na paglalarawan at pagmomodelo nang walang mga pagsubok sa larangan. Sa kasong ito, ginagamit ang mga probisyon at batas ng matematika na naglalarawan sa mga simulate na phenomena, system o device sa isang tiyak na antas ng kanilang idealization.

Modelo ng Matematika (MM) ay isang pormal na paglalarawan ng isang sistema (o operasyon) sa ilang abstract na wika, halimbawa, sa anyo ng isang hanay ng mga relasyon sa matematika o isang algorithm scheme, i.e. e. tulad ng isang matematikal na paglalarawan na nagbibigay ng imitasyon ng pagpapatakbo ng mga system o device sa isang antas na sapat na malapit sa kanilang tunay na pag-uugali na nakuha sa buong sukat na pagsubok ng mga system o device.

Ang anumang MM ay naglalarawan ng isang tunay na bagay, kababalaghan o proseso na may ilang antas ng pagtatantya sa katotohanan. Ang uri ng MM ay nakasalalay kapwa sa likas na katangian ng tunay na bagay at sa mga layunin ng pag-aaral.

Pagmomodelo sa matematika panlipunan, pang-ekonomiya, biyolohikal at pisikal na phenomena, mga bagay, sistema at iba't ibang kagamitan ay isa sa pinakamahalagang paraan ng pag-unawa sa kalikasan at pagdidisenyo ng malawak na iba't ibang mga sistema at kagamitan. May mga kilalang halimbawa ng mabisang paggamit ng pagmomodelo sa paglikha ng mga teknolohiyang nuklear, aviation at aerospace system, sa pagtataya ng atmospheric at oceanic phenomena, panahon, atbp.

Gayunpaman, ang mga ganitong seryosong bahagi ng pagmomodelo ay kadalasang nangangailangan ng mga supercomputer at taon ng trabaho ng malalaking pangkat ng mga siyentipiko upang maghanda ng data para sa pagmomodelo at pag-debug nito. Gayunpaman, sa kasong ito, masyadong, ang pagmomodelo ng matematika ng mga kumplikadong sistema at aparato ay hindi lamang nakakatipid ng pera sa pananaliksik at pagsubok, ngunit maaari ring alisin ang mga sakuna sa kapaligiran - halimbawa, ginagawang posible na iwanan ang nuclear at mga sandatang thermonuclear pabor sa kanyang mathematical modelling o pagsubok ng aerospace system bago ang kanilang aktwal na flight. Samantala, ang mathematical modeling sa antas ng paglutas ng mas simpleng mga problema, halimbawa, mula sa larangan ng mechanics, electrical engineering, electronics, radio engineering at marami pang ibang larangan ng science at naging available na ngayon ang teknolohiya para gumanap sa mga modernong PC. At kapag gumagamit ng mga pangkalahatang modelo, nagiging posible na magmodelo ng medyo kumplikadong mga sistema, halimbawa, mga sistema ng telekomunikasyon at network, radar o mga sistema ng nabigasyon sa radyo.

Ang layunin ng pagmomodelo ng matematika ay ang pagsusuri ng mga tunay na proseso (sa kalikasan o teknolohiya) sa pamamagitan ng mga pamamaraang matematika. Kaugnay nito, nangangailangan ito ng pormalisasyon ng proseso ng MM upang maimbestigahan. Ang modelo ay maaaring isang mathematical expression na naglalaman ng mga variable na ang pag-uugali ay katulad ng pag-uugali ng isang tunay na sistema. Ang modelo ay maaaring magsama ng mga elemento ng randomness na isinasaalang-alang ang mga probabilidad ng posibleng aksyon ng dalawa o higit pa"mga manlalaro", bilang, halimbawa, sa teorya ng laro; o maaari itong kumakatawan sa mga tunay na variable ng magkakaugnay na bahagi ng operating system.

Ang pagmomodelo ng matematika para sa pag-aaral ng mga katangian ng mga sistema ay maaaring nahahati sa analytical, simulation at pinagsama. Sa turn, ang MM ay nahahati sa simulation at analytical.

Analytical Modeling

Para sa analytical modelling Ito ay katangian na ang mga proseso ng paggana ng system ay nakasulat sa anyo ng ilang mga functional na relasyon (algebraic, differential, integral equation). Ang analytical model ay maaaring siyasatin sa pamamagitan ng mga sumusunod na pamamaraan:

1) analytical, kapag nagsusumikap silang makakuha sa pangkalahatang mga termino ng tahasang dependencies para sa mga katangian ng mga system;

2) numerical, kapag hindi posible na makahanap ng solusyon sa mga equation sa pangkalahatang anyo at nalutas ang mga ito para sa tiyak na paunang data;

3) husay, kapag, sa kawalan ng isang solusyon, ang ilan sa mga katangian nito ay matatagpuan.

Ang mga analytical na modelo ay maaaring makuha lamang para sa medyo simpleng mga sistema. Para sa mga kumplikadong sistema, madalas na lumitaw ang malalaking problema sa matematika. Upang mailapat ang analytical na pamamaraan, ang isa ay pupunta sa isang makabuluhang pagpapasimple ng orihinal na modelo. Gayunpaman, ang isang pag-aaral sa isang pinasimple na modelo ay nakakatulong upang makakuha lamang ng mga indikatibong resulta. Ang mga analytical na modelo ay wastong nagpapakita ng kaugnayan sa pagitan ng input at output na mga variable at parameter. Ngunit ang kanilang istraktura ay hindi sumasalamin sa panloob na istraktura ng bagay.

Sa analytical modelling, ang mga resulta nito ay ipinakita sa anyo ng analytical expression. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagkonekta RC- circuit sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E(R, C at E ay ang mga bahagi ng modelong ito), maaari tayong gumawa ng isang analytical expression para sa pag-asa sa oras ng boltahe u(t) sa kapasitor C:

Ito ay isang linear differential equation (DE) at isang analytical na modelo ng simpleng linear circuit na ito. Ang analytical na solusyon nito, sa ilalim ng paunang kondisyon u(0) = 0 , ibig sabihin ay isang discharged capacitor C sa simula ng simulation, nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang kinakailangang pag-asa - sa anyo ng isang formula:

u(t) = E(1− exp(- t/RC)). (2)

Gayunpaman, kahit na sa pinakasimpleng halimbawang ito, ang ilang mga pagsisikap ay kinakailangan upang malutas ang differential equation (1) o mag-apply mga sistema ng matematika sa kompyuter(SCM) na may mga simbolikong kalkulasyon - mga computer algebra system. Para sa medyo maliit na kaso, ang solusyon sa problema ng pagmomodelo ng isang linear RC-chain ay nagbibigay ng analytical expression (2) sapat pangkalahatang pananaw- ito ay angkop para sa paglalarawan ng pagpapatakbo ng circuit sa anumang rating ng mga bahagi R, C at E, at inilalarawan ang exponential charge ng capacitor C sa pamamagitan ng isang risistor R mula sa isang palaging pinagmumulan ng boltahe E.

Walang alinlangan, ang paghahanap ng mga analytical na solusyon sa analytical modeling ay lumalabas na lubhang mahalaga para sa pagbubunyag ng mga pangkalahatang teoretikal na batas ng mga simpleng linear circuit, system at device. Gayunpaman, ang pagiging kumplikado nito ay tumataas nang husto habang ang mga impluwensya sa modelo ay nagiging mas kumplikado at ang pagkakasunud-sunod at bilang ng mga mga equation ng estado na naglalarawan sa namodelong pagtaas ng bagay. Maaari kang makakuha ng higit pa o hindi gaanong nakikitang mga resulta kapag nagmomodelo ng mga bagay sa pangalawa o pangatlong pagkakasunud-sunod, ngunit kahit na may mas mataas na pagkakasunud-sunod, ang mga analytical na expression ay nagiging sobrang masalimuot, kumplikado at mahirap intindihin. Halimbawa, kahit na ang isang simpleng electronic amplifier ay kadalasang naglalaman ng dose-dosenang mga bahagi. Gayunpaman, maraming mga modernong SCM, tulad ng mga sistema ng simbolikong matematika Maple, Mathematica o Miyerkules MATLAB ay may kakayahang i-automate sa isang malaking lawak ang solusyon ng mga kumplikadong problema ng analytical modeling.

Ang isang uri ng pagmomolde ay numerical simulation, na binubuo sa pagkuha ng kinakailangang dami ng data tungkol sa pag-uugali ng mga system o device sa pamamagitan ng anumang angkop na paraan ng numero, gaya ng mga pamamaraan ng Euler o Runge-Kutta. Sa pagsasagawa, ang pagmomodelo ng mga nonlinear system at device gamit ang mga numerical na pamamaraan ay mas mahusay kaysa sa analytical modeling ng mga indibidwal na pribadong linear circuit, system o device. Halimbawa, upang malutas ang DE (1) o mga sistema ng mga DE mahirap na mga kaso ang solusyon sa isang analytical form ay hindi nakuha, ngunit ang numerical simulation data ay maaaring gamitin upang makakuha ng sapat na kumpletong data sa pag-uugali ng mga simulate na system at device, pati na rin upang mag-plot ng mga graph na naglalarawan sa gawi na ito ng mga dependency.

Simulation

Sa panggagaya Sa pagmomodelo, ang algorithm na nagpapatupad ng modelo ay muling gumagawa ng proseso ng system na gumagana sa oras. Ang mga elementarya na phenomena na bumubuo sa proseso ay ginagaya, na may pagpapanatili ng kanilang lohikal na istraktura at ang pagkakasunud-sunod ng daloy sa oras.

Ang pangunahing bentahe ng mga modelo ng simulation kumpara sa mga analytical ay ang kakayahang malutas ang mas kumplikadong mga problema.

Pinapadali ng mga modelo ng simulation na isaalang-alang ang pagkakaroon ng mga discrete o tuloy-tuloy na elemento, mga hindi linear na katangian, mga random na epekto, atbp. Samakatuwid, ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa yugto ng disenyo ng mga kumplikadong sistema. Ang pangunahing tool para sa pagpapatupad ng simulation modeling ay isang computer na nagbibigay-daan sa digital modeling ng mga system at signal.

Kaugnay nito, tinukoy namin ang pariralang " pagmomodelo ng kompyuter”, na lalong ginagamit sa panitikan. Ipagpalagay natin iyon pagmomodelo ng kompyuter- ito ay mathematical modeling gamit ang computer technology. Alinsunod dito, ang teknolohiya ng computer simulation ay nagsasangkot ng mga sumusunod na aksyon:

1) kahulugan ng layunin ng pagmomodelo;

2) pagbuo ng isang konseptwal na modelo;

3) pormalisasyon ng modelo;

4) pagpapatupad ng software ng modelo;

5) pagpaplano ng mga eksperimento sa modelo;

6) pagpapatupad ng plano ng eksperimento;

7) pagsusuri at interpretasyon ng mga resulta ng simulation.

Sa pagmomolde ng simulation ang ginamit na MM ay nagpaparami ng algorithm ("lohika") ng paggana ng system na pinag-aaralan sa oras para sa iba't ibang mga kumbinasyon ng mga halaga ng mga parameter ng system at kapaligiran.

Ang isang halimbawa ng pinakasimpleng analytical na modelo ay ang equation ng pare-parehong rectilinear motion. Kapag pinag-aaralan ang ganitong proseso sa tulong ng isang modelo ng simulation, ang pagmamasid sa pagbabago sa landas na nilakbay sa paglipas ng panahon ay dapat na ipatupad. Malinaw, sa ilang mga kaso, ang analytical modeling ay mas gusto, sa iba - simulation (o isang kumbinasyon ng pareho) . Upang makagawa ng isang mahusay na pagpili, dalawang tanong ang dapat masagot.

Ano ang layunin ng pagmomodelo?

Sa anong klase maaaring italaga ang simulate phenomenon?

Ang mga sagot sa parehong mga tanong na ito ay maaaring makuha sa panahon ng pagpapatupad ng unang dalawang yugto ng pagmomodelo.

Ang mga modelo ng simulation ay hindi lamang sa mga katangian, kundi pati na rin sa istraktura ay tumutugma sa bagay na ginagaya. Sa kasong ito, mayroong isang hindi malabo at tahasang pagsusulatan sa pagitan ng mga prosesong nakuha sa modelo at ng mga prosesong nagaganap sa bagay. Ang kawalan ng simulation modeling ay nangangailangan ng mahabang oras upang malutas ang problema upang makakuha ng mahusay na katumpakan.

Ang mga resulta ng simulation modelling ng gawain ng isang stochastic system ay mga pagsasakatuparan ng mga random na variable o proseso. Samakatuwid, upang mahanap ang mga katangian ng system, maraming pag-uulit at kasunod na pagproseso ng data ay kinakailangan. Kadalasan, sa kasong ito, ginagamit ang isang uri ng simulation - istatistika

pagmomodelo(o ang Monte Carlo method), i.e. pagpaparami sa mga modelo ng mga random na kadahilanan, kaganapan, dami, proseso, mga patlang.

Ayon sa mga resulta ng statistical modeling, ang mga pagtatantya ng probabilistic na pamantayan ng kalidad, pangkalahatan at partikular, na nagpapakilala sa paggana at kahusayan ng kinokontrol na sistema ay tinutukoy. Ang pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit upang malutas ang mga problemang pang-agham at inilapat sa iba't ibang larangan ng agham at teknolohiya. Ang mga pamamaraan ng pagmomodelo ng istatistika ay malawakang ginagamit sa pag-aaral ng mga kumplikadong dynamic na sistema, pagsusuri ng kanilang paggana at kahusayan.

Ang huling yugto ng statistical modeling ay batay sa matematikal na pagproseso ng mga nakuhang resulta. Dito, ginagamit ang mga pamamaraan ng matematikal na istatistika (parametric at non-parametric estimation, hypothesis testing). Ang isang halimbawa ng isang parametric na pagtatasa ay ang sample mean ng isang sukatan ng pagganap. Kabilang sa mga nonparametric na pamamaraan, ang pinakamalawak na ginagamit paraan ng histogram.

Ang isinasaalang-alang na scheme ay batay sa maramihang mga istatistikal na pagsubok ng system at mga pamamaraan ng mga istatistika ng mga independiyenteng random na mga variable. Ang scheme na ito ay malayo sa palaging natural sa pagsasanay at pinakamainam sa mga tuntunin ng mga gastos. Ang pagbawas sa oras ng pagsubok ng system ay maaaring makamit sa pamamagitan ng paggamit ng mas tumpak na mga pamamaraan ng pagtatantya. Tulad ng nalalaman mula sa mga istatistika ng matematika, ang mga epektibong pagtatantya ay may pinakamataas na katumpakan para sa isang ibinigay na laki ng sample. Ang pinakamainam na pag-filter at ang maximum na paraan ng posibilidad ay nagbibigay ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa pagkuha ng mga naturang pagtatantya. Sa mga problema sa pagmomodelo ng istatistika, ang pagproseso ng mga pagsasakatuparan ng mga random na proseso ay kinakailangan hindi lamang para sa pagsusuri ng mga proseso ng output.

Napakahalaga din na kontrolin ang mga katangian ng input random effects. Ang kontrol ay binubuo sa pagsuri kung ang mga pamamahagi ng mga nabuong proseso ay tumutugma sa mga ibinigay na pamamahagi. Ang gawaing ito ay madalas na binabalangkas bilang gawain sa pagsubok ng hypothesis.

Ang pangkalahatang trend sa computer-assisted simulation ng mga kumplikadong kinokontrol na system ay ang pagnanais na bawasan ang simulation time, gayundin ang magsagawa ng pananaliksik sa real time. Ang mga computational algorithm ay maginhawang kinakatawan sa isang paulit-ulit na anyo na nagbibigay-daan sa kanilang pagpapatupad sa bilis ng kasalukuyang impormasyon.

MGA PRINSIPYO NG ISANG SYSTEM APPROACH SA MODELING

Mga Batayan ng Teorya ng Sistema

Ang mga pangunahing probisyon ng teorya ng mga sistema ay lumitaw sa kurso ng pag-aaral ng mga dynamic na sistema at ang kanilang mga functional na elemento. Ang isang sistema ay nauunawaan bilang isang pangkat ng magkakaugnay na mga elemento na kumikilos nang sama-sama upang maisagawa ang isang paunang natukoy na gawain. Ang pagsusuri ng mga system ay nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy ang pinaka-makatotohanang mga paraan upang maisagawa ang gawain, na tinitiyak ang maximum na kasiyahan ng mga kinakailangan.

Ang mga elemento na bumubuo ng batayan ng teorya ng mga sistema ay hindi nilikha sa tulong ng mga hypotheses, ngunit natuklasan sa eksperimentong paraan. Upang simulan ang pagbuo ng isang sistema, kinakailangan na magkaroon ng mga pangkalahatang katangian ng mga teknolohikal na proseso. Ang parehong ay totoo para sa mga prinsipyo ng paglikha ng mathematically formulated na pamantayan na ang isang proseso o ang teoretikal na paglalarawan nito ay dapat masiyahan. Ang pagmomodelo ay isa sa pinakamahalagang pamamaraan ng siyentipikong pananaliksik at eksperimento.

Kapag nagtatayo ng mga modelo ng mga bagay, ginagamit ang isang sistematikong diskarte, na isang pamamaraan para sa paglutas ng mga kumplikadong problema, na batay sa pagsasaalang-alang ng isang bagay bilang isang sistema na tumatakbo sa isang tiyak na kapaligiran. Ang diskarte sa system ay nagsasangkot ng pagsisiwalat ng integridad ng bagay, ang pagkilala at pag-aaral ng panloob na istraktura nito, pati na rin ang mga koneksyon sa panlabas na kapaligiran. Sa kasong ito, ang bagay ay ipinakita bilang isang bahagi ng totoong mundo, na kinilala at pinag-aralan na may kaugnayan sa problema ng pagbuo ng isang modelo na nalutas. Bukod sa, diskarte sa mga sistema nagsasangkot ng pare-parehong paglipat mula sa pangkalahatan patungo sa partikular, kapag ang pagsasaalang-alang ay batay sa layunin ng disenyo, at ang bagay ay isinasaalang-alang na may kaugnayan sa kapaligiran.

Ang isang kumplikadong bagay ay maaaring nahahati sa mga subsystem, na mga bahagi ng bagay na nakakatugon sa mga sumusunod na kinakailangan:

1) ang subsystem ay isang functionally independent na bahagi ng object. Ito ay konektado sa iba pang mga subsystem, nakikipagpalitan ng impormasyon at enerhiya sa kanila;

2) para sa bawat subsystem, maaaring tukuyin ang mga function o katangian na hindi tumutugma sa mga katangian ng buong system;

3) bawat isa sa mga subsystem ay maaaring higit pang hatiin sa antas ng mga elemento.

Sa kasong ito, ang isang elemento ay nauunawaan bilang isang subsystem ng mas mababang antas, ang karagdagang dibisyon na kung saan ay hindi kapaki-pakinabang mula sa pananaw ng problemang nalutas.

Kaya, ang isang sistema ay maaaring tukuyin bilang isang representasyon ng isang bagay sa anyo ng isang hanay ng mga subsystem, elemento, at mga relasyon para sa layunin ng paglikha, pananaliksik, o pagpapabuti nito. Kasabay nito, ang isang pinalaki na representasyon ng system, na kinabibilangan ng mga pangunahing subsystem at koneksyon sa pagitan nila, ay tinatawag na isang macrostructure, at isang detalyadong pagsisiwalat ng panloob na istraktura ng system sa antas ng mga elemento ay tinatawag na microstructure.

Kasama ng system, karaniwang mayroong supersystem - isang sistema ng mas mataas na antas, na kinabibilangan ng bagay na isinasaalang-alang, at ang function ng anumang sistema ay maaari lamang matukoy sa pamamagitan ng supersystem.

Kinakailangang i-highlight ang konsepto ng kapaligiran bilang isang hanay ng mga bagay ng panlabas na mundo na makabuluhang nakakaapekto sa kahusayan ng system, ngunit hindi bahagi ng system at supersystem nito.

Kaugnay ng sistematikong diskarte sa pagbuo ng mga modelo, ginagamit ang konsepto ng imprastraktura, na naglalarawan ng kaugnayan ng system sa kapaligiran nito (kapaligiran). Sa kasong ito, ang pagpili, paglalarawan at pag-aaral ng mga katangian ng isang bagay na makabuluhan. sa loob ng isang tiyak na gawain ay tinatawag na pagsasapin-sapin ng isang bagay, at anumang modelo ng isang bagay ay ang pagsasapin-sapin nitong paglalarawan.

Para sa isang sistematikong diskarte, mahalagang matukoy ang istraktura ng system, i.e. hanay ng mga link sa pagitan ng mga elemento ng system, na sumasalamin sa kanilang pakikipag-ugnayan. Upang gawin ito, isaalang-alang muna natin ang mga structural at functional na diskarte sa pagmomodelo.

Sa isang diskarte sa istruktura, ang komposisyon ng mga napiling elemento ng system at ang mga link sa pagitan ng mga ito ay ipinahayag. Ang kabuuan ng mga elemento at relasyon ay ginagawang posible upang hatulan ang istruktura ng sistema. Ang pinaka-pangkalahatang paglalarawan ng isang istraktura ay isang topological na paglalarawan. Binibigyang-daan ka nitong tukuyin ang mga bahagi ng system at ang kanilang mga ugnayan gamit ang mga graph. Ang hindi gaanong pangkalahatan ay ang functional na paglalarawan kapag ang mga indibidwal na function ay isinasaalang-alang, ibig sabihin, mga algorithm para sa pag-uugali ng system. Kasabay nito, ang isang functional na diskarte ay ipinatupad na tumutukoy sa mga function na ginagawa ng system.

Sa batayan ng isang sistematikong diskarte, ang isang pagkakasunud-sunod ng pagbuo ng modelo ay maaaring imungkahi, kapag ang dalawang pangunahing yugto ng disenyo ay nakikilala: macro-design at micro-design.

Sa yugto ng macro-design, ang isang modelo ng panlabas na kapaligiran ay binuo, ang mga mapagkukunan at mga hadlang ay natukoy, ang isang modelo ng system at pamantayan para sa pagtatasa ng kasapatan ay pinili.

Ang yugto ng microdesign ay higit na nakadepende sa partikular na uri ng modelong napili. Sa pangkalahatang kaso, ito ay nagsasangkot ng paglikha ng impormasyon, matematika, teknikal at suporta sa software para sa sistema ng pagmomolde. Sa yugtong ito, ang mga pangunahing teknikal na katangian ng nilikha na modelo ay itinatag, ang oras ng pagtatrabaho dito at ang halaga ng mga mapagkukunan upang makuha ang ibinigay na kalidad ng modelo ay tinatantya.

Anuman ang uri ng modelo, kapag itinatayo ito, kinakailangan na magabayan ng isang bilang ng mga prinsipyo ng isang sistematikong diskarte:

1) pare-parehong pag-unlad sa mga yugto ng paglikha ng isang modelo;

2) koordinasyon ng impormasyon, mapagkukunan, pagiging maaasahan at iba pang mga katangian;

3) ang tamang ratio ng iba't ibang antas ng pagbuo ng modelo;

4) ang integridad ng mga indibidwal na yugto ng disenyo ng modelo.

Upang bumuo ng isang modelo ng matematika, kailangan mo:

1. maingat na pag-aralan ang tunay na bagay o proseso;
2. i-highlight ang pinakamahalagang katangian at katangian nito;
3. tukuyin ang mga variable, i.e. mga parameter na ang mga halaga ay nakakaapekto sa mga pangunahing tampok at katangian ng bagay;
4. ilarawan ang pag-asa ng mga pangunahing katangian ng isang bagay, proseso o sistema sa halaga ng mga variable gamit ang lohikal at matematikal na relasyon (mga equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at matematikal na mga konstruksyon);
5. i-highlight ang mga panloob na koneksyon ng isang bagay, proseso o sistema gamit ang mga paghihigpit, equation, pagkakapantay-pantay, hindi pagkakapantay-pantay, lohikal at mathematical na mga konstruksyon;
6. tukuyin ang mga panlabas na ugnayan at ilarawan ang mga ito gamit ang mga hadlang, equation, equalities, inequalities, logical at mathematical constructions.

Ang pagmomodelo ng matematika, bilang karagdagan sa pag-aaral ng isang bagay, proseso o sistema at pagsasama-sama ng kanilang paglalarawan sa matematika, ay kinabibilangan din ng:

1. pagbuo ng isang algorithm na nagmomodelo ng gawi ng isang bagay, proseso o sistema;
2. pagpapatunay ng kasapatan ng modelo at bagay, proseso o sistema batay sa computational at natural na eksperimento;
3. pagsasaayos ng modelo;
4. gamit ang modelo.

Ang matematikal na paglalarawan ng mga proseso at sistemang pinag-aaralan ay nakasalalay sa:

1. ang likas na katangian ng isang tunay na proseso o sistema at pinagsama-sama batay sa mga batas ng pisika, kimika, mekanika, thermodynamics, hydrodynamics, electrical engineering, theory of plasticity, theory of elasticity, atbp.
2. ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng pag-aaral at pag-aaral ng mga tunay na proseso at sistema.

Ang pagbuo ng isang modelo ng matematika ay karaniwang nagsisimula sa pagbuo at pagsusuri ng pinakasimpleng, pinaka-magaspang na modelo ng matematika ng bagay, proseso o sistemang isinasaalang-alang. Sa hinaharap, kung kinakailangan, ang modelo ay pino, ang pagsusulatan nito sa bagay ay gagawing mas kumpleto.

Kumuha tayo ng isang simpleng halimbawa. Kailangan mong matukoy ang ibabaw na lugar ng desk. Karaniwan, para dito, ang haba at lapad nito ay sinusukat, at pagkatapos ay ang mga resultang numero ay pinarami. Ang gayong pamamaraan sa elementarya ay talagang nangangahulugan ng sumusunod: ang tunay na bagay (ibabaw ng talahanayan) ay pinalitan ng isang abstract na modelo ng matematika - isang parihaba. Ang mga sukat na nakuha bilang isang resulta ng pagsukat ng haba at lapad ng ibabaw ng talahanayan ay iniuugnay sa parihaba, at ang lugar ng naturang parihaba ay tinatayang kinuha bilang ang nais na lugar ng talahanayan. Gayunpaman, ang modelo ng desk rectangle ay ang pinakasimpleng modelo. Sa isang mas seryosong diskarte sa problema, bago gamitin ang rectangle model upang matukoy ang lugar ng talahanayan, kailangang suriin ang modelong ito. Maaaring isagawa ang mga pagsusuri tulad ng sumusunod: sukatin ang mga haba ng magkabilang panig ng talahanayan, pati na rin ang mga haba ng mga diagonal nito at ihambing ang mga ito sa bawat isa. Kung, sa kinakailangang antas ng katumpakan, ang mga haba ng magkabilang panig at ang mga haba ng mga dayagonal ay magkapares na magkapareho, kung gayon ang ibabaw ng talahanayan ay talagang maituturing na isang parihaba. Kung hindi, ang rectangle model ay kailangang tanggihan at palitan ng isang pangkalahatang quadrilateral na modelo. Sa isang mas mataas na kinakailangan para sa katumpakan, maaaring kinakailangan upang pinuhin pa ang modelo, halimbawa, upang isaalang-alang ang pag-ikot ng mga sulok ng talahanayan.

Sa tulong ng simpleng halimbawang ito, ipinakita na ang modelo ng matematika ay hindi natatanging tinutukoy ng inimbestigahang bagay, proseso o sistema.

O (kukumpirma bukas)

Mga paraan upang malutas ang banig. Mga modelo:

1, Konstruksyon ng m. sa batayan ng mga batas ng kalikasan (analytical method)

2. Pormal na paraan sa tulong ng istatistika. Pagproseso at mga resulta ng pagsukat (statistical approach)

3. Paggawa ng isang metro batay sa isang modelo ng mga elemento (kumplikadong sistema)

1, Analytical - gamitin nang may sapat na pag-aaral. Alam ang pangkalahatang kaayusan. mga modelo.

2. eksperimento. Sa kawalan ng impormasyon

3. Imitasyon m. - ginagalugad ang mga katangian ng bagay sst. Sa pangkalahatan.

Isang halimbawa ng pagbuo ng isang mathematical model.

Matematikal na modelo ay isang matematikal na representasyon ng katotohanan.

Pagmomodelo sa matematika ay ang proseso ng pagbuo at pag-aaral ng mga modelo ng matematika.

Ang lahat ng natural at panlipunang agham na gumagamit ng mathematical apparatus ay esensyal na nakikibahagi sa mathematical modelling: pinapalitan nila ang isang bagay ng mathematical model nito at pagkatapos ay pinag-aaralan ang huli. Ang koneksyon ng isang modelo ng matematika na may katotohanan ay isinasagawa sa tulong ng isang hanay ng mga hypotheses, idealization at pagpapagaan. Sa tulong ng mga pamamaraan ng matematika, bilang panuntunan, ang isang perpektong bagay ay inilarawan, na binuo sa yugto ng makabuluhang pagmomolde.

Bakit kailangan ang mga modelo?

Kadalasan, kapag nag-aaral ng isang bagay, ang mga paghihirap ay lumitaw. Ang orihinal mismo ay minsan ay hindi magagamit, o ang paggamit nito ay hindi ipinapayong, o ang paglahok ng orihinal ay magastos. Ang lahat ng mga problemang ito ay maaaring malutas sa tulong ng simulation. Ang modelo sa isang tiyak na kahulugan ay maaaring palitan ang bagay na pinag-aaralan.

Ang pinakasimpleng mga halimbawa ng mga modelo

§ Ang isang litrato ay maaaring tawaging modelo ng isang tao. Upang makilala ang isang tao, sapat na upang makita ang kanyang larawan.

§ Ginawa ng arkitekto ang layout ng bagong residential area. Maaari niyang ilipat ang isang mataas na gusali mula sa isang bahagi patungo sa isa pa sa pamamagitan ng paggalaw ng kanyang kamay. Sa katotohanan, hindi ito magiging posible.

Mga uri ng modelo

Ang mga modelo ay maaaring nahahati sa materyal" at perpekto. ang mga halimbawa sa itaas ay mga materyal na modelo. Ang mga ideal na modelo ay kadalasang may iconic na hugis. Mga Tunay na Konsepto ay pinalitan ng ilang mga palatandaan, na madaling maayos sa papel, sa memorya ng computer, atbp.

Pagmomodelo sa matematika

Ang pagmomodelo ng matematika ay kabilang sa klase ng pagmomolde ng tanda. Kasabay nito, ang mga modelo ay maaaring malikha mula sa anumang mga bagay sa matematika: mga numero, function, equation, atbp.

Pagbuo ng isang modelo ng matematika

§ Mayroong ilang mga yugto ng pagbuo ng isang mathematical model:

1. Pag-unawa sa gawain, pag-highlight ng pinakamahalagang katangian, katangian, halaga at parameter para sa amin.

2. Pagpapakilala ng notasyon.

3. Pagbubuo ng isang sistema ng mga paghihigpit na dapat matugunan ng mga inilagay na halaga.

4. Pagbubuo at pagtatala ng mga kondisyon na dapat matugunan ng nais na pinakamainam na solusyon.

Ang proseso ng pagmomolde ay hindi nagtatapos sa pagsasama-sama ng modelo, ngunit nagsisimula lamang dito. Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang modelo, pumili sila ng isang paraan para sa paghahanap ng sagot, lutasin ang problema. pagkatapos mahanap ang sagot, ihambing ito sa katotohanan. At posible na ang sagot ay hindi nasiyahan, kung saan ang modelo ay binago o kahit isang ganap na naiibang modelo ang napili.

Halimbawa ng isang modelo ng matematika

Isang gawain

Ang asosasyon ng produksyon, na kinabibilangan ng dalawang pabrika ng muwebles, ay kailangang i-upgrade ang machine park nito. Bukod dito, ang unang pabrika ng muwebles ay kailangang palitan ang tatlong makina, at ang pangalawang pito. Ang mga order ay maaaring ilagay sa dalawang pabrika ng machine tool. Ang unang pabrika ay maaaring gumawa ng hindi hihigit sa 6 na makina, at ang pangalawang pabrika ay tatanggap ng isang order kung mayroong hindi bababa sa tatlo sa kanila. Ito ay kinakailangan upang matukoy kung paano maglagay ng mga order.

Ayon sa aklat-aralin ng Sovetov at Yakovlev: "isang modelo (lat. modulus - sukat) ay isang object-substitute ng orihinal na bagay, na nagbibigay ng pag-aaral ng ilang mga katangian ng orihinal." (p. 6) "Ang pagpapalit ng isang bagay sa isa pa upang makakuha ng impormasyon tungkol sa pinakamahalagang katangian ng orihinal na bagay sa tulong ng isang modelong bagay ay tinatawag na pagmomolde." (p. 6) “Sa ilalim ng mathematical modelling mauunawaan natin ang proseso ng pagtatatag ng mga sulat sa isang naibigay na tunay na object ng ilang mathematical object, na tinatawag na mathematical model, at ang pag-aaral ng modelong ito, na nagpapahintulot sa pagkuha ng mga katangian ng tunay na object na isinasaalang-alang. . Ang uri ng modelo ng matematika ay nakasalalay kapwa sa likas na katangian ng tunay na bagay at ang mga gawain ng pag-aaral ng bagay at ang kinakailangang pagiging maaasahan at katumpakan ng paglutas ng problemang ito.

Panghuli, ang pinaka-maigsi na kahulugan ng isang modelo ng matematika: "Isang equation na nagpapahayag ng ideya».

Pag-uuri ng modelo

Pormal na pag-uuri ng mga modelo

Ang pormal na pag-uuri ng mga modelo ay batay sa pag-uuri ng mga kasangkapang pangmatematika na ginamit. Madalas na binuo sa anyo ng mga dichotomies. Halimbawa, ang isa sa mga sikat na hanay ng mga dichotomies ay:

at iba pa. Ang bawat itinayong modelo ay linear o non-linear, deterministic o stochastic, ... Natural, ang mga halo-halong uri ay posible rin: puro sa isang paggalang (sa mga tuntunin ng mga parameter), ipinamahagi na mga modelo sa isa pa, atbp.

Pag-uuri ayon sa paraan na kinakatawan ang bagay

Kasama ang pormal na pag-uuri, ang mga modelo ay naiiba sa paraan ng kanilang kinakatawan sa bagay:

• Mga istruktura o functional na modelo

Mga Modelong Pang-istruktura kumakatawan sa isang bagay bilang isang sistema na may sariling aparato at mekanismo ng paggana. mga functional na modelo huwag gumamit ng gayong mga representasyon at sumasalamin lamang sa panlabas na perceived na pag-uugali (paggana) ng bagay. Sa kanilang matinding pagpapahayag, tinatawag din silang mga "black box" na mga modelo. Posible rin ang mga pinagsamang uri ng mga modelo, na kung minsan ay tinutukoy bilang "mga modelo" kulay abong kahon».

Nilalaman at pormal na mga modelo

Halos lahat ng mga may-akda na naglalarawan sa proseso ng pagmomolde ng matematika ay nagpapahiwatig na una ang isang espesyal na perpektong konstruksyon ay itinayo, modelo ng nilalaman. Walang itinatag na terminolohiya dito, at tinatawag ng ibang mga may-akda ang perpektong bagay na ito modelong konseptwal , speculative na modelo o premodel. Sa kasong ito, ang pangwakas na konstruksyon ng matematika ay tinatawag pormal na modelo o isang mathematical model lang na nakuha bilang resulta ng pormalisasyon ng content model na ito (pre-model). Ang pagtatayo ng isang makabuluhang modelo ay maaaring isagawa gamit ang isang hanay ng mga handa na mga ideyalisasyon, tulad ng sa mekanika, kung saan ang mga perpektong bukal, solid na katawan, mainam na mga pendulum, nababanat na media, atbp. magbigay ng handa na mga elemento ng istruktura para sa makabuluhang pagmomodelo. Gayunpaman, sa mga lugar ng kaalaman kung saan walang ganap na nakumpletong pormal na mga teorya (ang cutting edge ng physics, biology, economics, sociology, psychology, at karamihan sa iba pang larangan), ang paglikha ng mga makabuluhang modelo ay higit na kumplikado.

Makabuluhang pag-uuri ng mga modelo

Walang hypothesis sa agham ang mapapatunayan minsan at para sa lahat. Malinaw itong inilagay ni Richard Feynman:

"Palagi kaming may kakayahang pabulaanan ang isang teorya, ngunit tandaan na hindi namin mapapatunayan na ito ay tama. Ipagpalagay natin na naglagay ka ng isang matagumpay na hypothesis, kalkulahin kung saan ito humahantong, at makita na ang lahat ng mga kahihinatnan nito ay nakumpirma sa eksperimentong paraan. Nangangahulugan ba ito na tama ang iyong teorya? Hindi, nangangahulugan lamang ito na nabigo kang pabulaanan ito.

Kung ang isang modelo ng unang uri ay binuo, nangangahulugan ito na ito ay pansamantalang kinikilala bilang totoo at ang isa ay maaaring tumutok sa iba pang mga problema. Gayunpaman, hindi ito maaaring maging isang punto sa pananaliksik, ngunit isang pansamantalang paghinto lamang: ang katayuan ng modelo ng unang uri ay maaari lamang maging pansamantala.

Uri 2: Phenomenological na modelo (kumilos na parang…)

Ang phenomenological model ay naglalaman ng isang mekanismo para sa paglalarawan ng phenomenon. Gayunpaman, ang mekanismong ito ay hindi sapat na nakakumbinsi, hindi sapat na makumpirma ng magagamit na data, o hindi sumasang-ayon nang maayos sa magagamit na mga teorya at naipon na kaalaman tungkol sa bagay. Samakatuwid, ang mga phenomenological na modelo ay may katayuan ng mga pansamantalang solusyon. Ito ay pinaniniwalaan na ang sagot ay hindi pa rin alam at ito ay kinakailangan upang ipagpatuloy ang paghahanap para sa "true mechanisms". Ang Peierls ay tumutukoy, halimbawa, ang caloric na modelo at ang quark na modelo ng elementarya na mga particle sa pangalawang uri.

Ang papel ng modelo sa pananaliksik ay maaaring magbago sa paglipas ng panahon, maaaring mangyari na ang mga bagong data at teorya ay nagpapatunay ng mga phenomenological na modelo at sila ay na-promote sa katayuan ng isang hypothesis. Gayundin, ang bagong kaalaman ay maaaring unti-unting sumalungat sa mga modelo-hypotheses ng unang uri, at maaari silang ilipat sa pangalawa. Kaya, ang modelo ng quark ay unti-unting lumilipat sa kategorya ng mga hypotheses; Ang atomismo sa pisika ay lumitaw bilang isang pansamantalang solusyon, ngunit sa takbo ng kasaysayan ay pumasa ito sa unang uri. Ngunit ang mga modelo ng ether ay napunta mula sa uri 1 hanggang sa uri 2, at ngayon ay wala na sila sa agham.

Ang ideya ng pagpapasimple ay napakapopular kapag nagtatayo ng mga modelo. Ngunit iba ang pagpapasimple. Tinutukoy ni Peierls ang tatlong uri ng pagpapasimple sa pagmomodelo.

Uri 3: Pagtataya (ang isang bagay ay itinuturing na napakalaki o napakaliit)

Kung posible na bumuo ng mga equation na naglalarawan sa sistemang pinag-aaralan, hindi ito nangangahulugan na maaari silang malutas kahit na sa tulong ng isang computer. Ang isang karaniwang pamamaraan sa kasong ito ay ang paggamit ng mga approximation (mga modelo ng uri 3). Sa kanila mga linear na modelo ng pagtugon. Ang mga equation ay pinalitan ng mga linear. Ang karaniwang halimbawa ay ang batas ng Ohm.

At narito ang uri 8, na malawakang ginagamit sa mga modelo ng matematika ng mga biological system.

Uri 8: Pagpapakita ng posibilidad (ang pangunahing bagay ay upang ipakita ang panloob na pagkakapare-pareho ng posibilidad)

Ito rin ay mga eksperimento sa pag-iisip. na may mga haka-haka na entity na nagpapakita nito dapat na phenomenon pare-pareho sa mga pangunahing prinsipyo at panloob na pare-pareho. Ito ang pangunahing pagkakaiba mula sa mga modelo ng uri 7, na nagpapakita ng mga nakatagong kontradiksyon.

Ang isa sa pinakatanyag sa mga eksperimentong ito ay ang geometry ni Lobachevsky (tinawag ito ni Lobachevsky na "imaginary geometry"). Ang isa pang halimbawa ay ang mass production ng mga pormal na kinetic na modelo ng kemikal at biological oscillations, autowaves, atbp. Ang Einstein-Podolsky-Rosen na kabalintunaan ay naisip bilang isang type 7 na modelo upang ipakita ang hindi pagkakapare-pareho ng quantum mechanics. Sa isang ganap na hindi planadong paraan, sa kalaunan ay naging isang type 8 na modelo - isang pagpapakita ng posibilidad ng quantum teleportation ng impormasyon.

Halimbawa

Isaalang-alang natin ang isang mekanikal na sistema na binubuo ng isang spring na naayos sa isang dulo at isang load ng mass , na nakakabit sa libreng dulo ng spring. Ipagpalagay namin na ang pag-load ay maaaring ilipat lamang sa direksyon ng spring axis (halimbawa, ang paggalaw ay nangyayari sa kahabaan ng baras). Bumuo tayo ng mathematical model ng system na ito. Ilalarawan namin ang estado ng system sa pamamagitan ng distansya mula sa gitna ng load hanggang sa posisyon ng equilibrium nito. Ilarawan natin ang interaksyon ng isang spring at isang load gamit Batas ni Hooke() pagkatapos nito ay ginagamit natin ang pangalawang batas ni Newton upang ipahayag ito sa anyo ng isang differential equation:

kung saan nangangahulugang ang pangalawang derivative ng may paggalang sa oras: .

Ang resultang equation ay naglalarawan ng mathematical model ng itinuturing na pisikal na sistema. Ang pattern na ito ay tinatawag na "harmonic oscillator".

Ayon sa pormal na pag-uuri, ang modelong ito ay linear, deterministic, dynamic, concentrated, tuluy-tuloy. Sa proseso ng pagtatayo nito, gumawa kami ng maraming mga pagpapalagay (tungkol sa kawalan ng mga panlabas na puwersa, kawalan ng alitan, liit ng mga paglihis, atbp.), Na sa katotohanan ay maaaring hindi matupad.

Kaugnay ng katotohanan, ito ay kadalasang isang uri ng 4 na modelo. pagpapasimple(“inaalis namin ang ilang detalye para sa kalinawan”), dahil ang ilang mahahalagang unibersal na feature (halimbawa, dissipation) ay inalis. Sa ilang pagtatantya (sabihin, habang ang paglihis ng load mula sa ekwilibriyo ay maliit, na may kaunting alitan, sa loob ng hindi masyadong mahabang panahon at napapailalim sa ilang iba pang mga kundisyon), ang gayong modelo ay naglalarawan ng isang tunay na sistemang mekanikal, dahil ang mga itinapon na mga kadahilanan magkaroon ng hindi gaanong epekto sa pag-uugali nito. Gayunpaman, ang modelo ay maaaring pinuhin sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa ilan sa mga salik na ito. Ito ay hahantong sa isang bagong modelo, na may mas malawak (bagaman muli ay limitado) na saklaw.

Gayunpaman, kapag ang modelo ay pino, ang pagiging kumplikado ng pag-aaral sa matematika nito ay maaaring tumaas nang malaki at gawing halos walang silbi ang modelo. Kadalasan, ang isang mas simpleng modelo ay nagbibigay-daan sa iyo upang mas mahusay at mas malalim na galugarin ang tunay na sistema kaysa sa isang mas kumplikado (at, pormal na, "mas tama") isa.

Kung ilalapat natin ang harmonic oscillator model sa mga bagay na malayo sa physics, maaaring iba ang makabuluhang katayuan nito. Halimbawa, kapag inilalapat ang modelong ito sa mga biyolohikal na populasyon, malamang na maiugnay ito sa uri 6 pagkakatulad("Isaalang-alang lamang natin ang ilang mga tampok").

Matigas at malambot na mga modelo

Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng tinatawag na "hard" na modelo. Ito ay nakuha bilang isang resulta ng isang malakas na idealization ng isang tunay na pisikal na sistema. Upang malutas ang isyu ng pagiging angkop nito, kailangang maunawaan kung gaano kahalaga ang mga salik na napabayaan natin. Sa madaling salita, ito ay kinakailangan upang siyasatin ang "malambot" na modelo, na kung saan ay nakuha sa pamamagitan ng isang maliit na perturbation ng "mahirap" isa. Maaari itong itakda, halimbawa, sumusunod na equation:

Dito - ilang pag-andar, na maaaring isaalang-alang ang puwersa ng alitan o ang pagtitiwala ng koepisyent ng higpit ng tagsibol sa antas ng pag-uunat nito - ilang maliit na parameter. Ang tahasang anyo ng function ay hindi interesado sa amin sa ngayon. Kung patunayan namin na ang pag-uugali ng isang malambot na modelo ay hindi sa panimula ay naiiba mula sa isang matigas na modelo (anuman ang tahasang anyo ng mga nakababagabag na salik, kung sila ay sapat na maliit), ang problema ay mababawasan sa pag-aaral ng mahirap na modelo. Kung hindi, ang aplikasyon ng mga resulta na nakuha sa pag-aaral ng matibay na modelo ay mangangailangan ng karagdagang pananaliksik. Halimbawa, ang solusyon sa equation ng isang harmonic oscillator ay mga function ng form , iyon ay, mga oscillations na may pare-pareho ang amplitude. Sinusundan ba ito mula dito na ang isang tunay na osileytor ay mag-oscilllate nang walang katiyakan na may palaging amplitude? Hindi, dahil kung isasaalang-alang ang isang system na may arbitraryong maliit na friction (palaging naroroon sa isang tunay na sistema), nakakakuha tayo ng mga damped oscillations. Ang pag-uugali ng sistema ay nagbago nang husay.

Kung ang isang sistema ay nagpapanatili ng kanyang husay na pag-uugali sa ilalim ng isang maliit na kaguluhan, ito ay sinasabing structurally stable. Ang harmonic oscillator ay isang halimbawa ng isang hindi matatag na sistema (hindi magaspang) na istruktura. Gayunpaman, maaaring gamitin ang modelong ito upang pag-aralan ang mga proseso sa limitadong agwat ng oras.

Universality ng mga modelo

Ang pinakamahalagang modelo ng matematika ay karaniwang may mahalagang katangian pagiging pangkalahatan: sa panimula iba't ibang tunay na phenomena ay maaaring inilarawan sa pamamagitan ng parehong matematikal na modelo. Halimbawa, ang isang harmonic oscillator ay naglalarawan hindi lamang sa pag-uugali ng isang load sa isang spring, kundi pati na rin sa iba pang mga oscillatory na proseso, kadalasan ay may ganap na kakaibang kalikasan: maliit na oscillations ng isang pendulum, pagbabago-bago sa antas ng likido sa isang hugis na sisidlan, o isang pagbabago sa kasalukuyang lakas sa isang oscillatory circuit. Kaya, ang pag-aaral ng isang modelo ng matematika, pinag-aaralan namin nang sabay-sabay ang isang buong klase ng mga phenomena na inilarawan nito. Ito ang isomorphism ng mga batas na ipinahayag ng mga modelo ng matematika sa iba't ibang bahagi ng kaalamang siyentipiko na humantong kay Ludwig von Bertalanffy na lumikha ng "General Systems Theory".

Direkta at kabaligtaran na mga problema ng pagmomolde ng matematika

Maraming mga problema na nauugnay sa pagmomodelo ng matematika. Una, kinakailangan na makabuo ng pangunahing pamamaraan ng bagay na inimodelo, upang kopyahin ito sa loob ng balangkas ng mga ideyalisasyon ng agham na ito. Kaya, ang isang kotse ng tren ay nagiging isang sistema ng mga plato at mas kumplikadong mga katawan na gawa sa iba't ibang mga materyales, ang bawat materyal ay tinukoy bilang pamantayang mekanikal na ideyalisasyon nito (density, nababanat na moduli, karaniwang mga katangian ng lakas), pagkatapos kung saan ang mga equation ay pinagsama-sama, ang ilang mga detalye ay itinapon bilang hindi gaanong mahalaga sa daan. , ang mga kalkulasyon ay ginawa, kumpara sa mga sukat, ang modelo ay pino, at iba pa. Gayunpaman, para sa pagbuo ng mga teknolohiya sa pagmomodelo ng matematika, kapaki-pakinabang na i-disassemble ang prosesong ito sa mga pangunahing elemento ng bumubuo nito.

Ayon sa kaugalian, mayroong dalawang pangunahing klase ng mga problema na nauugnay sa mga modelo ng matematika: direkta at kabaligtaran.

Direktang problema: ang istraktura ng modelo at lahat ng mga parameter nito ay itinuturing na kilala, ang pangunahing gawain ay pag-aralan ang modelo upang kunin ang kapaki-pakinabang na kaalaman tungkol sa bagay. Anong static load ang kayang tiisin ng tulay? Paano ito magiging reaksyon sa isang dynamic na pagkarga (halimbawa, sa martsa ng isang kumpanya ng mga sundalo, o sa pagpasa ng isang tren sa iba't ibang bilis), kung paano malalampasan ng eroplano ang sound barrier, kung ito ay mahuhulog mula sa flutter - ito ay karaniwang mga halimbawa ng isang direktang gawain. Ang pagtatakda ng tamang direktang problema (pagtatanong ng tamang tanong) ay nangangailangan ng espesyal na kasanayan. Kung ang mga tamang tanong ay hindi tatanungin, ang tulay ay maaaring gumuho, kahit na ang isang magandang modelo ay binuo para sa pag-uugali nito. Kaya, noong 1879, isang metal na tulay sa kabila ng River Tey ang gumuho sa Great Britain, ang mga taga-disenyo kung saan nagtayo ng isang modelo ng tulay, kinakalkula ito para sa isang 20-tiklop na margin ng kaligtasan para sa kargamento, ngunit nakalimutan ang tungkol sa mga hangin na patuloy na umiihip. mga lugar na iyon. At pagkatapos ng isang taon at kalahati ay bumagsak ito.

Sa pinakasimpleng kaso (isang oscillator equation, halimbawa), ang direktang problema ay napakasimple at bumababa sa isang tahasang solusyon ng equation na ito.

Baliktad na problema: maraming posibleng mga modelo ay kilala, ito ay kinakailangan upang pumili ng isang tiyak na modelo batay sa karagdagang data tungkol sa bagay. Kadalasan, ang istraktura ng modelo ay kilala at ang ilang hindi kilalang mga parameter ay kailangang matukoy. Ang karagdagang impormasyon ay maaaring binubuo ng karagdagang empirical na data, o sa mga kinakailangan para sa bagay ( gawain sa disenyo). Maaaring dumating ang karagdagang data anuman ang proseso ng paglutas ng kabaligtaran na problema ( pasibong pagmamasid) o maging resulta ng isang eksperimento na espesyal na binalak sa panahon ng solusyon ( aktibong pagsubaybay).

Ang isa sa mga unang halimbawa ng isang birtuoso na solusyon ng isang kabaligtaran na problema na may ganap na posibleng paggamit ng magagamit na data ay ang paraan na ginawa ni I. Newton para sa muling pagtatayo ng mga puwersa ng friction mula sa naobserbahang damped oscillations.

Ang isa pang halimbawa ay ang mga istatistika ng matematika. Ang gawain ng agham na ito ay ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa pagtatala, paglalarawan at pagsusuri ng obserbasyonal at pang-eksperimentong data upang makabuo ng mga probabilistikong modelo ng mass random phenomena. Yung. ang hanay ng mga posibleng modelo ay nililimitahan ng mga probabilistikong modelo. Sa mga partikular na problema, ang hanay ng mga modelo ay mas limitado.

Mga sistema ng simulation ng computer

Upang suportahan ang mathematical modeling, binuo ang mga computer mathematics system, halimbawa, Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, atbp. Nagbibigay-daan sila sa iyo na lumikha ng pormal at harangan ang mga modelo ng parehong simple at kumplikadong mga proseso at device at madaling baguhin ang mga parameter ng modelo sa panahon ng simulation. I-block ang mga Modelo ay kinakatawan ng mga bloke (madalas na graphical), ang hanay at koneksyon na kung saan ay tinukoy ng diagram ng modelo.

Karagdagang mga halimbawa

Modelo ng Malthus

Ang rate ng paglago ay proporsyonal sa kasalukuyang laki ng populasyon. Inilalarawan ito ng differential equation

kung saan ang isang tiyak na parameter ay tinutukoy ng pagkakaiba sa pagitan ng rate ng kapanganakan at rate ng pagkamatay. Ang solusyon sa equation na ito ay isang exponential function. Kung ang rate ng kapanganakan ay lumampas sa rate ng pagkamatay (), ang laki ng populasyon ay tumataas nang walang katiyakan at napakabilis. Malinaw na sa katotohanan ay hindi ito maaaring mangyari dahil sa limitadong mapagkukunan. Kapag naabot ang isang partikular na kritikal na laki ng populasyon, ang modelo ay titigil na maging sapat, dahil hindi nito isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan. Ang isang refinement ng modelong Malthus ay maaaring ang logistic model, na inilalarawan ng Verhulst differential equation.

kung saan ang laki ng populasyon ng "equilibrium", kung saan ang rate ng kapanganakan ay eksaktong binabayaran ng rate ng pagkamatay. Ang laki ng populasyon sa naturang modelo ay may kaugaliang equilibrium value , at ang pag-uugaling ito ay structurally stable.

predator-prey system

Sabihin nating dalawang uri ng hayop ang nakatira sa isang partikular na lugar: kuneho (kumakain ng mga halaman) at fox (kumakain ng mga kuneho). Hayaan ang bilang ng mga kuneho, ang bilang ng mga fox. Gamit ang modelo ng Malthus na may mga kinakailangang pagwawasto, na isinasaalang-alang ang pagkain ng mga kuneho ng mga fox, nakarating kami sa sumusunod na sistema, na nagtataglay ng pangalan mga modelo ng tray - Volterra:

Ang sistemang ito ay may equilibrium state kung saan pare-pareho ang bilang ng mga kuneho at fox. Ang paglihis mula sa estadong ito ay humahantong sa mga pagbabago sa bilang ng mga kuneho at mga fox, katulad ng mga pagbabago sa harmonic oscillator. Tulad ng kaso ng harmonic oscillator, ang pag-uugali na ito ay hindi matatag sa istruktura: ang isang maliit na pagbabago sa modelo (halimbawa, isinasaalang-alang ang limitadong mga mapagkukunan na kailangan ng mga kuneho) ay maaaring humantong sa isang pagbabago sa husay sa pag-uugali. Halimbawa, ang estado ng ekwilibriyo ay maaaring maging matatag, at ang pagbabagu-bago ng populasyon ay mawawala. Posible rin ang kabaligtaran na sitwasyon, kapag ang anumang maliit na paglihis mula sa posisyon ng ekwilibriyo ay hahantong sa mga sakuna na kahihinatnan, hanggang sa kumpletong pagkalipol ng isa sa mga species. Sa tanong kung alin sa mga sitwasyong ito ang natanto, ang modelo ng Volterra-Lotka ay hindi nagbibigay ng sagot: kinakailangan ang karagdagang pananaliksik dito.

Mga Tala

1. "Isang mathematical na representasyon ng katotohanan" (Encyclopaedia Britanica)
2. Novik I. B., Sa mga pilosopikal na tanong ng cybernetic modeling. M., Kaalaman, 1964.
3. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
4. Samarsky A. A., Mikhailov A. P. Pagmomodelo sa matematika. Mga ideya. Paraan. Mga halimbawa. - 2nd ed., naitama. - M .: Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0120-X
5. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4
6. Sevostyanov, A.G. Pagmomodelo ng mga teknolohikal na proseso: aklat-aralin / A.G. Sevostyanov, P.A. Sevostyanov. - M.: Ilaw at industriya ng pagkain, 1984. - 344 p.
7. Wiktionary: mga modelo ng matematika
8. CliffsNotes.com. Glossary ng Earth Science. 20 Set 2010
9. Model Reduction and Coarse-Graining Approaches for Multiscale Phenomena, Springer, Complexity series, Berlin-Heidelberg-New York, 2006. XII+562 pp. ISBN 3-540-35885-4
10. "Ang isang teorya ay itinuturing na linear o non-linear, depende sa kung ano - linear o non-linear - mathematical apparatus, ano - linear o non-linear - mathematical models na ginagamit nito. ... nang hindi tinatanggihan ang huli. Ang isang modernong pisiko, kung nagkataon na muling tukuyin niya ang isang mahalagang entidad bilang non-linearity, ay malamang na kumilos nang iba, at, mas pinipili ang non-linearity bilang mas mahalaga at karaniwan sa dalawang magkasalungat, ay tutukuyin ang linearity bilang "non-non- linearity". Danilov Yu. A., Mga lektura sa nonlinear dynamics. Panimula sa elementarya. Synergetics: mula sa nakaraan hanggang sa hinaharap na serye. Ed.2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
11. "Mga dynamic na sistema na na-modelo ng isang limitadong bilang ng mga ordinaryong differential equation, ay tinatawag na lumped o point system. Ang mga ito ay inilarawan gamit ang isang may hangganan-dimensional na bahagi ng espasyo at nailalarawan sa pamamagitan ng isang may hangganang bilang ng mga antas ng kalayaan. Ang isa at ang parehong sistema sa ilalim ng iba't ibang mga kondisyon ay maaaring ituring na alinman sa puro o ibinahagi. Ang mga modelo ng matematika ng mga distributed system ay mga partial differential equation, integral equation, o ordinaryong delay equation. Ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang distributed system ay walang hanggan, at isang walang katapusang bilang ng data ang kinakailangan upang matukoy ang estado nito. Anishchenko V.S., Dynamic Systems, Soros Educational Journal, 1997, No. 11, p. 77-84.
12. “Depende sa likas na katangian ng mga pinag-aralan na proseso sa system S, lahat ng uri ng pagmomodelo ay maaaring hatiin sa deterministic at stochastic, static at dynamic, discrete, continuous at discrete-continuous. Ang deterministic modeling ay nagpapakita ng mga deterministikong proseso, iyon ay, mga proseso kung saan ang kawalan ng anumang random na impluwensya ay ipinapalagay; Ang stochastic modeling ay nagpapakita ng mga probabilistikong proseso at kaganapan. … Ginagamit ang static na pagmomodelo upang ilarawan ang pag-uugali ng isang bagay sa anumang punto ng oras, habang ang dynamic na pagmomodelo ay nagpapakita ng pag-uugali ng isang bagay sa paglipas ng panahon. Ang discrete modeling ay nagsisilbing ilarawan ang mga prosesong ipinapalagay na discrete, ayon sa pagkakabanggit, ang tuluy-tuloy na pagmomodelo ay nagbibigay-daan sa iyo na ipakita ang mga tuluy-tuloy na proseso sa mga system, at ang discrete-continuous modeling ay ginagamit para sa mga kaso kung saan gusto mong i-highlight ang pagkakaroon ng parehong discrete at tuloy-tuloy na mga proseso. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A. ISBN 5-06-003860-2
13. Karaniwan, ang modelong matematikal ay sumasalamin sa istruktura (kaayusan) ng bagay na ginagaya, ang mga katangian at pagkakaugnay ng mga bahagi ng bagay na ito na mahalaga para sa mga layunin ng pag-aaral; ang ganitong modelo ay tinatawag na istruktura. Kung ang modelo ay sumasalamin lamang kung paano gumagana ang bagay - halimbawa, kung paano ito tumutugon sa mga panlabas na impluwensya - kung gayon ito ay tinatawag na functional o, sa makasagisag na paraan, isang itim na kahon. Posible rin ang mga pinagsamang modelo. Myshkis A. D. ISBN 978-5-484-00953-4
14. "Ang malinaw, ngunit ang pinakamahalagang paunang yugto ng pagbuo o pagpili ng isang modelo ng matematika ay upang makakuha ng mas malinaw hangga't maaari tungkol sa bagay na ginagaya at upang pinuhin ang modelo ng nilalaman nito batay sa mga impormal na talakayan. Ang oras at pagsisikap ay hindi dapat ilaan sa yugtong ito; ang tagumpay ng buong pag-aaral ay higit na nakasalalay dito. Higit sa isang beses nangyari na ang malaking trabaho na ginugol sa paglutas ng isang problema sa matematika ay naging hindi epektibo o kahit na nasayang dahil sa hindi sapat na atensyon sa bahaging ito ng bagay. Myshkis A. D., Mga elemento ng teorya ng mga modelo ng matematika. - 3rd ed., Rev. - M.: KomKniga, 2007. - 192 na may ISBN 978-5-484-00953-4, p. 35.
15. « Paglalarawan ng konseptwal na modelo ng system. Sa sub-stage na ito ng pagbuo ng system model: a) ang konseptwal na modelo M ay inilarawan sa abstract na mga termino at konsepto; b) ang isang paglalarawan ng modelo ay ibinigay gamit ang mga tipikal na mathematical scheme; c) ang mga hypotheses at pagpapalagay ay sa wakas ay tinatanggap; d) ang pagpili ng isang pamamaraan para sa pagtatantya ng mga tunay na proseso kapag ang pagbuo ng isang modelo ay napatunayan. Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Pagmomodelo ng Sistema: Proc. para sa mga unibersidad - 3rd ed., binago. at karagdagang - M.: Mas mataas. paaralan, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2, p. 93.
16. Blekhman I. I., Myshkis A. D.,

Mga modelo ng matematika

Matematikal na modelo - tinatayang opipaglalarawan ng bagay ng pagmomolde, ipinahayag gamitschyu mathematical symbolism.

Lumitaw ang mga modelo ng matematika kasama ng matematika maraming siglo na ang nakalilipas. Ang isang malaking impetus sa pag-unlad ng matematikal na pagmomolde ay ibinigay ng hitsura ng mga computer. Ang paggamit ng mga computer ay naging posible upang pag-aralan at isabuhay ang maraming mga modelong matematikal na dati ay hindi pa pumayag sa analytical na pananaliksik. Computer-implemented mathematicalmodelo ng langit tinawag modelo ng matematika sa computer, a pagsasagawa ng mga naka-target na kalkulasyon gamit ang isang modelo ng computer tinawag eksperimento sa computational.

Mga yugto ng computer mathematical mopagtanggal ipinapakita sa figure. Ang unayugto - kahulugan ng mga layunin sa pagmomodelo. Maaaring magkaiba ang mga layuning ito:

1. kailangan ang isang modelo upang maunawaan kung paano gumagana ang isang partikular na bagay, ano ang istraktura nito, mga pangunahing katangian, mga batas ng pag-unlad at pakikipag-ugnayan
   sa labas ng mundo (pag-unawa);
2. kailangan ang isang modelo upang matutunan kung paano kontrolin ang isang bagay (o proseso) at matukoy pinakamahusay na paraan pamamahala na may ibinigay na mga layunin at pamantayan (pamamahala);
3. ang modelo ay kinakailangan upang mahulaan ang direkta at hindi direktang kahihinatnan ng pagpapatupad ng mga tinukoy na pamamaraan at anyo ng epekto sa bagay (pagtataya).

Ipaliwanag natin nang may mga halimbawa. Hayaang ang object ng pag-aaral ay ang pakikipag-ugnayan ng isang likido o gas na daloy sa isang katawan na isang balakid sa daloy na ito. Ipinapakita ng karanasan na ang puwersa ng paglaban na dumaloy mula sa gilid ng katawan ay tumataas sa pagtaas ng bilis ng daloy, ngunit sa ilang sapat na mataas na bilis, ang puwersang ito ay biglang bumababa upang tumaas muli nang may karagdagang pagtaas sa bilis. Ano ang sanhi ng pagbaba ng puwersa ng paglaban? Ang pagmomodelo ng matematika ay nagpapahintulot sa amin na makakuha ng isang malinaw na sagot: sa sandali ng isang biglaang pagbaba ng paglaban, ang mga vortex na nabuo sa daloy ng likido o gas sa likod ng naka-streamline na katawan ay nagsisimulang humiwalay mula dito at dinadala ng daloy.

Isang halimbawa mula sa isang ganap na naiibang lugar: mapayapang nabubuhay kasama ang matatag na bilang ng mga populasyon ng dalawang species ng mga indibidwal na may isang karaniwang base ng pagkain, "biglang" nagsimulang kapansin-pansing baguhin ang kanilang mga numero. At dito pinapayagan ng matematikal na pagmomolde (na may tiyak na antas ng katiyakan) na itatag ang dahilan (o hindi bababa sa pabulaanan ang isang tiyak na hypothesis).

Ang pagbuo ng konsepto ng pamamahala ng bagay ay isa pang posibleng layunin ng pagmomolde. Aling mode ng paglipad ng sasakyang panghimpapawid ang dapat piliin upang maging ligtas ang paglipad at higit na kapaki-pakinabang sa ekonomiya? Paano mag-iskedyul ng daan-daang uri ng trabaho sa pagtatayo ng isang malaking pasilidad upang matapos ito sa lalong madaling panahon? Maraming gayong mga problema ang sistematikong lumitaw sa harap ng mga ekonomista, taga-disenyo, at mga siyentipiko.

Sa wakas, ang paghula sa mga kahihinatnan ng ilang mga epekto sa isang bagay ay maaaring maging isang medyo simpleng bagay sa mga simpleng pisikal na sistema, at lubhang kumplikado - sa gilid ng pagiging posible - sa biyolohikal, pang-ekonomiya, panlipunang mga sistema. Kung medyo madaling sagutin ang tanong tungkol sa pagbabago sa mode ng pagpapalaganap ng init sa isang manipis na baras na may mga pagbabago sa bumubuo ng haluang metal nito, kung gayon ito ay hindi maihahambing na mas mahirap na subaybayan (hulaan) ang kapaligiran at klimatiko na mga kahihinatnan ng pagtatayo ng isang malaking hydroelectric power station o ang panlipunang kahihinatnan ng mga pagbabago sa batas sa buwis. Marahil, dito rin, ang mga pamamaraan sa pagmomolde ng matematika ay magbibigay ng mas makabuluhang tulong sa hinaharap.

Ikalawang yugto: kahulugan ng mga parameter ng input at output ng modelo; paghahati ng mga parameter ng input ayon sa antas ng kahalagahan ng epekto ng kanilang mga pagbabago sa output. Ang prosesong ito ay tinatawag na ranggo, o dibisyon ayon sa ranggo (tingnan sa ibaba). "Formalisation at pagmomodelo").

Ikatlong yugto: pagbuo ng isang mathematical model. Sa yugtong ito, mayroong isang transisyon mula sa abstract na pagbabalangkas ng modelo patungo sa isang pagbabalangkas na may isang tiyak na representasyong matematikal. Ang isang mathematical model ay mga equation, mga sistema ng mga equation, mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay, mga differential equation o mga sistema ng mga naturang equation, atbp.

Ikaapat na yugto: pagpili ng pamamaraan para sa pag-aaral ng modelo ng matematika. Kadalasan, ang mga numerical na pamamaraan ay ginagamit dito, na nagpapahiram ng kanilang mga sarili sa programming. Bilang isang patakaran, maraming mga pamamaraan ang angkop para sa paglutas ng parehong problema, naiiba sa katumpakan, katatagan, atbp. Ang tagumpay ng buong proseso ng pagmomodelo ay madalas na nakasalalay sa tamang pagpili ng paraan.

Ikalimang yugto: ang pagbuo ng isang algorithm, ang compilation at debugging ng isang computer program ay isang proseso na mahirap gawing pormal. Sa mga programming language, maraming mga propesyonal para sa pagmomolde ng matematika ang mas gusto ang FORTRAN: kapwa dahil sa tradisyon, at dahil sa hindi maunahang kahusayan ng mga compiler (para sa computational work) at ang pagkakaroon ng napakalaking, maingat na pag-debug at na-optimize na mga aklatan ng mga karaniwang programa ng mga pamamaraan ng matematika na nakasulat sa ito. Ang mga wika tulad ng PASCAL, BASIC, C ay ginagamit din, depende sa likas na katangian ng gawain at mga hilig ng programmer.

Ikaanim na yugto: pagsubok ng programa. Ang pagpapatakbo ng programa ay nasubok sa isang pagsubok na problema na may alam na sagot. Ito ay simula pa lamang ng isang pagsubok na pamamaraan na mahirap ilarawan sa isang pormal na kumpletong paraan. Karaniwan, nagtatapos ang pagsubok kapag ang gumagamit, ayon sa kanyang mga propesyonal na katangian, ay isinasaalang-alang na tama ang programa.

Ikapitong yugto: aktwal na eksperimento sa computational, kung saan nagiging malinaw kung ang modelo ay tumutugma sa isang tunay na bagay (proseso). Ang modelo ay sapat na sapat sa tunay na proseso kung ang ilang mga katangian ng proseso na nakuha sa isang computer ay nag-tutugma sa mga eksperimentong nakuha na mga katangian na may isang tiyak na antas ng katumpakan. Kung ang modelo ay hindi tumutugma sa tunay na proseso, bumalik kami sa isa sa mga nakaraang yugto.

Pag-uuri ng mga modelo ng matematika

Ang pag-uuri ng mga modelo ng matematika ay maaaring batay sa iba't ibang mga prinsipyo. Posibleng pag-uri-uriin ang mga modelo ayon sa mga sangay ng agham (mga modelo ng matematika sa pisika, biology, sosyolohiya, atbp.). Maaari itong uriin ayon sa inilapat na mathematical apparatus (mga modelo batay sa paggamit ng mga ordinaryong differential equation, partial differential equation, stochastic method, discrete algebraic transformations, atbp.). Sa wakas, kung magpapatuloy tayo mula sa mga pangkalahatang gawain ng pagmomodelo sa iba't ibang mga agham, anuman ang kagamitan sa matematika, ang sumusunod na pag-uuri ay pinaka natural:

• descriptive (descriptive) na mga modelo;
• mga modelo ng pag-optimize;
• mga modelo ng multicriteria;
• mga modelo ng laro.

Ipaliwanag natin ito sa mga halimbawa.

Descriptive (descriptive) na mga modelo. Halimbawa, ang pagmomodelo ng galaw ng isang kometa na sumalakay solar system, ay ginawa upang mahulaan ang trajectory ng paglipad nito, ang distansya kung saan ito dadaan mula sa Earth, atbp. Sa kasong ito, ang mga layunin ng pagmomolde ay naglalarawan, dahil walang paraan upang maimpluwensyahan ang paggalaw ng kometa, upang baguhin ang isang bagay sa loob nito.

Mga Modelo sa Pag-optimize ay ginagamit upang ilarawan ang mga prosesong maaaring maimpluwensyahan sa pagtatangkang makamit ang isang naibigay na layunin. Sa kasong ito, kasama sa modelo ang isa o higit pang mga parameter na maaaring maimpluwensyahan. Halimbawa, sa pamamagitan ng pagbabago ng thermal rehimen sa isang kamalig, ang isa ay maaaring magtakda ng isang layunin na pumili ng gayong rehimen upang makamit ang pinakamataas na pangangalaga ng butil, i.e. i-optimize ang proseso ng imbakan.

Mga modelong multicriteria. Kadalasan ito ay kinakailangan upang i-optimize ang proseso sa ilang mga parameter sa parehong oras, at ang mga layunin ay maaaring maging lubhang magkasalungat. Halimbawa, ang pag-alam sa mga presyo ng pagkain at ang pangangailangan ng isang tao para sa pagkain, kinakailangan upang ayusin ang mga pagkain para sa malalaking grupo ng mga tao (sa hukbo, kampo ng tag-init ng mga bata, atbp.) Sa physiologically tama at, sa parehong oras, nang mura hangga't maaari. Malinaw na ang mga layuning ito ay hindi nagtutugma; kapag nagmomodelo, maraming pamantayan ang gagamitin, kung saan dapat maghanap ng balanse.

Mga modelo ng laro maaaring nauugnay hindi lamang sa mga laro sa kompyuter, kundi pati na rin sa mga seryosong bagay. Halimbawa, bago ang isang labanan, kung mayroong hindi kumpletong impormasyon tungkol sa kalabang hukbo, ang isang kumander ay dapat bumuo ng isang plano: sa anong pagkakasunud-sunod upang dalhin ang ilang mga yunit sa labanan, atbp., na isinasaalang-alang ang posibleng reaksyon ng kaaway. Mayroong isang espesyal na seksyon ng modernong matematika - teorya ng laro - na nag-aaral ng mga pamamaraan ng paggawa ng desisyon sa ilalim ng mga kondisyon ng hindi kumpletong impormasyon.

Sa kursong paaralan ng computer science, ang mga mag-aaral ay tumatanggap ng paunang ideya ng ​computer mathematical modelling bilang bahagi ng pangunahing kurso. Sa mataas na paaralan, ang pagmomolde ng matematika ay maaaring malalim na pag-aralan pangkalahatang kurso sa edukasyon para sa mga klase ng isang pisikal at mathematical na profile, gayundin sa loob ng balangkas ng isang espesyal na elective na kurso.

Ang mga pangunahing paraan ng pagtuturo ng computer mathematical modeling sa mataas na paaralan ay mga lektura, laboratoryo at mga klase ng kredito. Karaniwan, ang gawain sa paglikha at paghahanda para sa pag-aaral ng bawat bagong modelo ay tumatagal ng 3-4 na mga aralin. Sa kurso ng pagtatanghal ng materyal, ang mga gawain ay itinakda, na sa hinaharap ay dapat malutas ng mga mag-aaral nang nakapag-iisa, sa sa mga pangkalahatang tuntunin nakabalangkas ang mga paraan upang malutas ang mga ito. Ang mga tanong ay nabuo, ang mga sagot na dapat makuha kapag nagsasagawa ng mga gawain. Ang karagdagang literatura ay ipinahiwatig, na nagbibigay-daan sa pagkuha ng pantulong na impormasyon para sa mas matagumpay na pagkumpleto ng mga gawain.

Ang anyo ng pag-aayos ng mga klase sa pag-aaral ng bagong materyal ay karaniwang isang panayam. Matapos ang pagkumpleto ng talakayan ng susunod na modelo mga mag-aaral mayroon sa kanilang pagtatapon ng kinakailangang teoretikal na impormasyon at isang hanay ng mga gawain para sa karagdagang trabaho. Bilang paghahanda para sa gawain, pinipili ng mga mag-aaral ang naaangkop na paraan ng solusyon, gamit ang ilang kilalang pribadong solusyon, sinubukan nila ang binuo na programa. Sa kaso ng medyo posibleng mga paghihirap sa pagganap ng mga gawain, ang konsultasyon ay ibinibigay, ang isang panukala ay ginawa upang ayusin ang mga seksyong ito nang mas detalyado sa panitikan.

Ang pinaka-nauugnay sa praktikal na bahagi ng pagtuturo ng computer modeling ay ang paraan ng mga proyekto. Ang gawain ay binuo para sa mag-aaral sa anyo ng isang proyektong pang-edukasyon at isinasagawa sa maraming mga aralin, at ang pangunahing porma ng organisasyon ay computer. mga gawain sa laboratoryo. Ang pag-aaral na magmodelo gamit ang pamamaraan ng proyekto sa pag-aaral ay maaaring ipatupad sa iba't ibang antas. Ang una ay isang pahayag ng problema ng proseso ng pagpapatupad ng proyekto, na pinamumunuan ng guro. Ang pangalawa ay ang pagpapatupad ng proyekto ng mga mag-aaral sa ilalim ng gabay ng isang guro. Ang ikatlo ay ang independiyenteng pagpapatupad ng mga mag-aaral ng isang proyekto sa pananaliksik na pang-edukasyon.

Ang mga resulta ng trabaho ay dapat iharap sa numerical form, sa anyo ng mga graph, diagram. Kung maaari, ang proseso ay ipinakita sa screen ng computer sa dinamika. Sa pagkumpleto ng mga kalkulasyon at pagtanggap ng mga resulta, ang mga ito ay nasuri, kumpara sa mga kilalang katotohanan mula sa teorya, ang pagiging maaasahan ay nakumpirma at ang isang makabuluhang interpretasyon ay isinasagawa, na kasunod na makikita sa isang nakasulat na ulat.

Kung ang mga resulta ay nagbibigay-kasiyahan sa mag-aaral at guro, pagkatapos ay ang trabaho binibilang natapos, at ang huling yugto nito ay ang paghahanda ng isang ulat. Kasama sa ulat ang maikling teoretikal na impormasyon sa paksang pinag-aaralan, ang matematikal na pagbabalangkas ng problema, ang solusyon sa algorithm at ang katwiran nito, isang computer program, ang mga resulta ng programa, pagsusuri ng mga resulta at konklusyon, isang listahan ng mga sanggunian.

Kapag ang lahat ng mga ulat ay pinagsama-sama, sa pagsusulit na aralin, ang mga mag-aaral ay nakikipag-usap sa maikling mensahe tungkol sa gawaing ginawa, ipagtanggol ang kanilang proyekto. Ito ay isang epektibong paraan ng pag-uulat ng pangkat ng proyekto sa klase, kabilang ang pagtatakda ng problema, pagbuo ng isang pormal na modelo, pagpili ng mga pamamaraan para sa pagtatrabaho sa modelo, pagpapatupad ng modelo sa isang computer, pagtatrabaho sa natapos na modelo, pagbibigay-kahulugan sa mga resulta, pagtataya. Bilang resulta, ang mga mag-aaral ay maaaring makatanggap ng dalawang grado: ang una - para sa pagpapaliwanag ng proyekto at ang tagumpay ng pagtatanggol nito, ang pangalawa - para sa programa, ang pinakamainam ng algorithm, interface, atbp. Ang mga mag-aaral ay tumatanggap din ng mga marka sa kurso ng mga survey sa teorya.

Ang isang mahalagang tanong ay kung anong uri ng mga tool ang gagamitin sa kursong informatics ng paaralan para sa mathematical modeling? Ang pagpapatupad ng computer ng mga modelo ay maaaring isagawa:

• gamit ang isang spreadsheet (karaniwan ay MS Excel);
• sa pamamagitan ng paglikha ng mga programa sa tradisyonal na mga wika ng programming (Pascal, BASIC, atbp.), pati na rin sa kanilang mga modernong bersyon (Delphi, Visual
  Basic para sa Application, atbp.);
• gamit ang mga espesyal na pakete ng aplikasyon upang malutas mga problema sa matematika(MathCAD, atbp.).

Sa antas ng elementarya, lumilitaw na ang unang remedyo ang mas gusto. Gayunpaman, sa mataas na paaralan Kapag ang programming, kasama ang pagmomodelo, ay isang pangunahing paksa ng computer science, ito ay kanais-nais na isama ito bilang isang tool sa pagmomodelo. Sa proseso ng programming, ang mga detalye ng mga pamamaraan sa matematika ay magagamit sa mga mag-aaral; bukod pa rito, napipilitan lang silang makabisado ang mga ito, at ito ay nag-aambag din sa edukasyong matematika. Tulad ng para sa paggamit ng mga espesyal na pakete ng software, ito ay angkop sa isang profile na kurso sa computer science bilang pandagdag sa iba pang mga tool.

Mag-ehersisyo :

• Balangkasin ang mga pangunahing konsepto.