Pagsisiyasat ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pagpapakilala ng parameter. Pamamaraan para sa pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kurso ng pangunahing paaralan ng pangkalahatang edukasyon. §apat. Mga hindi makatwirang equation at hindi pagkakapantay-pantay
Municipal Autonomous Educational Institution "Lyceum No. 1", Novotroitsk
Pananaliksik
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter
Pagmomodelo ng matematika
Nakumpleto:
mag-aaral 11 A grade MOAU
"Lyceum №1"
Superbisor:
guro sa mas mataas na edukasyon
Novotroitsk
Panimula. 3
Parameter. lima
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga trigonometric equation na may isang parameter. siyam
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga exponential at logarithmic equation at hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter. 17
Mga pamamaraan para sa paglutas ng mga sistema ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. 22
Konklusyon. 31
Listahan ng mga ginamit na panitikan.. 32
Panimula
Ang mga equation na may parameter ay nagdudulot ng malaking kahirapan para sa mga mag-aaral sa mga baitang 9-11. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang solusyon ng naturang mga equation ay nangangailangan ng hindi lamang kaalaman sa mga katangian ng mga function at equation, ang kakayahang magsagawa ng algebraic transformations, ngunit din ng isang mataas na lohikal na kultura at diskarte sa pananaliksik.
Mga kahirapan kapag pinag-aaralan ang ganitong uri ng mga equation, nauugnay ang mga ito sa mga sumusunod na tampok:
isang kasaganaan ng mga formula at pamamaraan na ginagamit sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri;
ang posibilidad ng paglutas ng parehong equation na naglalaman ng isang parameter sa iba't ibang paraan.
Kaugnayan ang paksa ay dahil sa hindi sapat na nilalaman ng mga gawain sa paksang ito sa aklat-aralin na "Algebra Grade 11".
Ang kahalagahan ng paksang ito ay tinutukoy ng pangangailangan na malutas ang mga naturang equation na may mga parameter tulad ng sa kaso ng pagpasa sa Unified pagsusulit ng estado pati na rin ang mga pagsusulit sa pagpasok sa mas mataas na institusyong pang-edukasyon.
Layunin ng pag-aaral: mga gawain na may mga parameter.
Ang layunin ng gawaing ito:
Ibunyag, patunayan at biswal na ipakita ang mga paraan upang malutas ang lahat ng uri ng mga equation na may mga parameter;
Lutasin ang mga equation na may mga parameter;
Palalimin ang teoretikal na kaalaman sa paglutas ng mga equation na may mga parameter;
Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod mga gawain:
1. Tukuyin ang mga konsepto ng isang equation na may mga parameter;
2. Magpakita ng mga paraan upang malutas ang mga equation na may mga parameter.
Ang merito ng aking trabaho ay binubuo ng mga sumusunod: ang mga algorithm para sa paglutas ng mga equation na may mga parameter ay ipinahiwatig; ang mga problema ay kadalasang matatagpuan sa iba't ibang pagsusulit at olympiad. Ang gawain ay makakatulong sa mga mag-aaral na makapasa sa Pinag-isang Pagsusulit ng Estado.
Aking mga aksyon:
1. Kunin at pag-aralan ang literatura;
2. Lutasin ang mga piling gawain;
Parameter
Mayroong ilang mga kahulugan parameter:
- Parameter - ito ay isang dami na kasama sa mga formula at expression, ang halaga ng kung saan ay pare-pareho sa loob ng problemang isinasaalang-alang, ngunit sa ibang problema binabago nito ang mga halaga nito (, - " Diksyunaryo mga termino sa matematika).
- Mga variable a, b, c, …, k, na itinuturing na pare-pareho kapag nilulutas ang isang equation o hindi pagkakapantay-pantay, ay tinatawag mga parameter, at ang equation mismo (inequality) ay tinatawag na equation (inequality) na naglalaman ng mga parameter (- "Tutor in Mathematics", Rostov-on-Don "Phoenix" 1997).
Ang solusyon ng karamihan sa mga equation na naglalaman ng isang parameter ay bumababa sa quadratic equation na may parameter. Samakatuwid, upang matutunan kung paano lutasin ang exponential, logarithmic, trigonometriko equation at mga sistema ng mga equation na may parameter, kailangan mo munang makuha ang mga kasanayan sa paglutas quadratic equation na may parameter.
Uri ng equation palakol2 + bx+ c=0 , kung saan ang x ay isang hindi alam, ang a, b, c ay mga expression na depende lamang sa mga parameter, a¹0, ay tinatawag quadratic equation patungkol sa x. Isasaalang-alang lamang namin ang mga halaga ng mga parameter kung saan wasto ang a, b, c.
Mga Halaga ng Parameter Control
Upang malutas ang mga quadratic equation na may isang parameter, ito ay kinakailangan upang mahanap mga halaga ng kontrol ng parameter.
Mga Halaga ng Parameter Control- ang mga halaga kung saan ito ay nagiging 0:
Ang nangungunang koepisyent sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay;
Mga denominador sa mga fraction;
Ang discriminant ng isang square binomial.
Pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na mababawasan sa mga quadratic equation na may parameter.
Ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation ay binawasan sa mga parisukat na equation na may isang parameter:
1. Ipahiwatig at ibukod ang lahat ng mga halaga ng parameter at variable kung saan nawawala ang kahulugan ng equation.
2. I-multiply ang magkabilang panig ng equation sa isang common denominator na hindi zero.
3. I-convert ang consequence equation sa form na https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - mga tunay na numero o function ng parameter.
4. Lutasin ang nagresultang equation sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga kaso:
a) ; b) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" taas="75">x=2b+1
Dahil ang x ay dapat nasa pagitan ng 1 at 6, kung gayon:
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1
1) 1<2b+1<6
2) 1<2b – 1<6
https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98"> 
y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0
y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0
хвн(1; 6) 1<-<6
bn(-∞; 0) È (1; +∞).
2) 4b2-24b+35>0
D=576 – 560=16=42>0
b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2.5 bÎ(0.5; 3)
bn(-∞;2,5)И(3,5;+∞)
bn(1; 2,5)
Sagot: ang mga ugat ng equation na x2-4bx+4b2–1=0 ay nasa pagitan mula sa
Kagawaran ng Edukasyon ng Rehiyon ng Vladimir
Kagawaran ng Edukasyon ng Distrito ng Sudogodsky
Institusyong pang-edukasyon sa munisipyo
"Sekondaryang Paaralan ng Moshok"
«
Desisyon mga equation at hindi pagkakapantay-pantay Sa parameter»
Binuo ni: Gavrilova G.V.
guro sa matematika
mou "Katamtaman ng Moshokskaya
komprehensibong paaralan"
taong 2009
Paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter
Paliwanag na tala
Ang konsepto ng isang parameter ay isang matematikal na konsepto na kadalasang ginagamit sa matematika ng paaralan at mga kaugnay na disiplina.
Grade 7 - habang nag-aaral linear function at linear equation na may isang variable.
Baitang 8 - sa pag-aaral ng mga quadratic equation.
Ang pangkalahatang programang pang-edukasyon ng kurso ng paaralan sa matematika ay hindi nagbibigay para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, ngunit sa mga pagsusulit sa pasukan sa mga unibersidad at ang Pinag-isang Estado na Pagsusuri sa matematika, may mga problema sa mga parameter, ang solusyon kung saan nagiging sanhi ng malaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Ang mga gawain na may mga parameter ay may diagnostic at prognostic na halaga, na nagbibigay-daan sa iyo upang subukan ang kaalaman sa mga pangunahing seksyon ng kurso sa matematika ng paaralan, antas lohikal na pag-iisip, mga paunang kasanayan mga aktibidad sa pananaliksik.
Ang pangunahing layunin ng kurso ay upang ipakilala ang mga mag-aaral sa mga pangkalahatang diskarte sa paglutas ng mga gawain na may mga parameter, upang ihanda ang mga mag-aaral sa paraang matagumpay nilang makayanan ang mga gawain na naglalaman ng mga parameter sa kapaligiran ng isang mapagkumpitensyang pagsusulit.
Ang paglutas ng isang equation, pagtukoy sa bilang ng mga solusyon, pagsusuri sa isang equation, paghahanap ng mga positibong ugat, pagpapatunay na ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon, atbp. ay lahat ng mga variant ng parametric na mga halimbawa. Samakatuwid, imposibleng magbigay ng mga pangkalahatang tagubilin para sa paglutas ng mga halimbawa, sa kursong ito ang iba't ibang mga halimbawa na may mga solusyon ay isinasaalang-alang. Ang materyal ng kurso ay ipinakita ayon sa pamamaraan: impormasyon ng sanggunian, mga halimbawa na may mga solusyon, mga halimbawa para sa pansariling gawain, mga halimbawa upang matukoy ang tagumpay ng pag-master ng materyal.
Ang paglutas ng mga gawain na may mga parameter ay nag-aambag sa pagbuo ng mga kasanayan sa pananaliksik, pag-unlad ng intelektwal.
Mga Layunin ng Kurso:
Upang gawing sistematiko ang kaalaman ng mga mag-aaral na nakuha sa mga baitang 7 at 8 sa paglutas ng mga linear at quadratic equation at inequalities;
Upang kilalanin at paunlarin ang kanilang mga kakayahan sa matematika;
Lumikha ng isang holistic na pagtingin sa solusyon ng mga linear na equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter;
Lumikha ng isang holistic na pagtingin sa paglutas ng mga quadratic equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter;
Palalimin ang kaalaman sa matematika, na nagbibigay para sa pagbuo ng napapanatiling interes ng mga mag-aaral sa paksa;
magbigay ng pagsasanay para sa mga propesyonal na aktibidad na nangangailangan ng mataas na kultura ng matematika.
Pang-edukasyon at pampakay na plano
|
№ p/n
|
Tema |
Qty oras
|
Mga aktibidad |
|
1. |
|
|
Workshop |
|
2. |
Paunang impormasyon tungkol sa mga gawain na may parameter. |
Seminar |
|
|
3. |
Solusyon ng mga linear equation na naglalaman ng mga parameter. |
|
|
|
4. |
Solusyon ng mga linear inequalities na naglalaman ng mga parameter. |
Pananaliksik; pag-unlad ng mga kasanayan; pansariling gawain. |
|
|
5. |
Quadratic equation. Ang teorama ni Vieta. |
3 |
Pananaliksik; pag-unlad ng mga kasanayan; pansariling gawain. |
|
6. |
Tagumpay ng kurso |
1 |
Pangwakas na gawaing kontrol |
Paksa 1. Paglutas ng mga linear na equation at inequalities, quadratic equation at inequalities, paglutas ng mga problema sa aplikasyon ng Vieta theorem.
Paksa 2. Paunang impormasyon tungkol sa mga gawain na may parameter.
Ang konsepto ng isang parameter. Ano ang ibig sabihin ng "malutas ang isang problema sa isang parameter"? Ang mga pangunahing uri ng mga gawain na may isang parameter. Mga pangunahing paraan upang malutas ang mga problema sa isang parameter.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear equation na may parameter.
Paksa 4. Paglutas ng mga linear inequalities na naglalaman ng mga parameter.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga linear inequalities na may parameter.
Paksa 5. Quadratic equation. Ang teorama ni Vieta.
Mga halimbawa ng paglutas ng mga quadratic equation na may parameter.
Didactic na materyal para sa elective course
"Paglutas ng mga Equation at
hindi pagkakapantay-pantay sa parameter"
Paksa 1. Mga halimbawa para sa paksang ito.
Paksa 2 Mga halimbawa kung saan nakatagpo na ng mga parameter ang mga mag-aaral:
Pag-andar ng direktang proporsyonalidad: y \u003d kx (x at y ay mga variable; k ay isang parameter, k ≠ 0);
Function baligtad na proporsyonalidad: y = k / x (x at y ay mga variable, k ay isang parameter, k ≠ 0)
Linear function: y \u003d kx + b (x at y ay mga variable; k at b ay mga parameter);
Linear equation: ax + b = 0 (x ay isang variable; a at b ay mga parameter);
Quadratic equation ax 2 + bx + c \u003d 0 (x ay isang variable; a, b at c ay mga parameter,
Ano ang isang parameter?
Kung sa isang equation o hindi pagkakapantay-pantay ang ilang mga coefficient ay pinalitan hindi ng mga tiyak na halaga ng numero, ngunit ipinahiwatig ng mga titik, kung gayon ang mga ito ay tinatawag na mga parameter, at ang equation o hindi pagkakapantay-pantay ay parametric.
Ang mga parameter ay karaniwang tinutukoy ng mga unang titik ng alpabetong Latin: a, b, c, ... o a 1, a 2, a 3, ..., at hindi alam ng mga huling titik ng alpabetong Latin x, y, z, ... Ang mga pagtatalaga na ito ay hindi sapilitan, ngunit kung sa kondisyon ay hindi tinukoy kung aling mga titik ang mga parameter at alin ang hindi kilala-
mi, pagkatapos ay ginamit ang sumusunod na notasyon.
Halimbawa, lutasin ang equation (4x - ax) a \u003d 6x - 10. Narito ang x ay isang hindi kilala at ang a ay isang parameter.
Ano ang ibig sabihin ng "malutas ang isang problema sa isang parameter"?
Upang malutas ang isang problema sa isang parameter ay nangangahulugan, para sa bawat halaga ng parameter a, upang mahanap ang halaga x na nakakatugon sa problemang ito, i.e. depende sa tanong sa problema.
Ang paglutas ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter ay nangangahulugang:
Tukuyin kung anong mga halaga ng mga parameter ang mayroong solusyon;
Para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, hanapin ang kaukulang hanay ng mga solusyon.
Ano ang mga pangunahing uri ng mga gawain na may parameter?
Uri 1. Mga equation, mga hindi pagkakapantay-pantay na kailangang lutasin alinman para sa anumang halaga ng parameter, o para sa mga halaga ng parameter na kabilang sa isang paunang natukoy na hanay. Ang ganitong uri ng gawain ay pangunahing kapag pinagkadalubhasaan ang paksang "Mga problema sa mga parameter".
Uri 2. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay kung saan kinakailangan upang matukoy ang bilang ng mga solusyon depende sa halaga ng parameter.
Uri 3. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay kung saan kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan ang tinukoy na mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay may isang naibigay na bilang ng mga solusyon (sa partikular, wala sila o may walang katapusang bilang ng mga solusyon). Ang mga problema ng uri 3 ay sa ilang kahulugan ang kabaligtaran ng mga problema ng uri 2.
Uri 4. Mga equation, hindi pagkakapantay-pantay kung saan, para sa nais na mga halaga ng parameter, ang hanay ng mga solusyon ay nakakatugon sa ibinigay na mga kondisyon sa domain ng kahulugan.
Halimbawa, hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan:
1) ang equation ay natutupad para sa anumang halaga ng variable mula sa ibinigay na pagitan;
2) ang hanay ng solusyon ng unang equation ay isang subset ng hanay ng solusyon ng pangalawang equation, at iba pa.
Mga pangunahing paraan upang malutas ang mga problema sa isang parameter.
Paraan 1. (analytical) Ang pamamaraang ito ay ang tinatawag na direktang solusyon, na inuulit ang mga karaniwang pamamaraan ng paghahanap ng sagot sa mga problema na walang parameter.
Paraan 2. (graphical) Depende sa gawain, ang mga graphics ay isinasaalang-alang sa coordinate plane (x; y), o sa coordinate plane (x; a).
Paraan 3. (Desisyon sa parameter) Kapag nilulutas ang pamamaraang ito, ang mga variable na x at a ay kinukuha bilang pantay, at ang variable ay pinili, na may kinalaman sa kung saan ang analytical na solusyon ay kinikilala bilang mas simple. Pagkatapos ng natural na pagpapasimple, bumalik tayo sa orihinal na kahulugan ng mga variable na x at a at kumpletuhin ang solusyon.
Magkomento. Ang isang mahalagang hakbang sa paglutas ng mga problema sa mga parameter ay ang pagtatala ng sagot. Ito ay totoo lalo na para sa mga halimbawang iyon kung saan ang solusyon ay tila "sanga" depende sa mga halaga ng parameter. Sa ganitong mga kaso, ang pagsulat ng tugon ay isang koleksyon ng mga dati nang nakuhang resulta. At dito napakahalaga na huwag kalimutang ipakita sa sagot ang lahat ng mga yugto ng solusyon.
Isaalang-alang ang mga halimbawa. 2.1. Paghambingin ang -a at 5a.
Desisyon. Tatlong kaso ang dapat isaalang-alang: kung isang 5a;
kung a = 0, kung gayon –a = 5a;
kung a > 0, kung gayon -a
Sagot. Sa isang 5a; sa isang \u003d 0, -a \u003d 5a; para sa isang > 0, -a
Lutasin ang equation ax = 1.
Kung a ≠ 0, x = 1 / a.
Sagot. Para sa a = 0 walang mga solusyon; sa isang ≠ 0, x = 1 / a.
Ihambing sa at - 7s.
Lutasin ang equation na cx = 10
Paksa 3.
Linear na equation
Mga equation ng form
kung saan ang a, c - ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero, at x - hindi alam, ay tinatawag na linear equation na may kinalaman sa x.
Scheme para sa pag-aaral ng linear equation (1).
1. Kung ang a ≠ 0, b ay anumang tunay na numero. Ang equation ay may natatanging solusyon x = v/a.
2. Kung a=0, b=0, ang equation ay kukuha ng anyong 0 ∙ x = 0, ang solusyon ng equation ay ang set ng lahat ng tunay na numero.
3. Kung a=0, в ≠ 0, kung gayon ang equation na 0 ∙ x = в ay walang mga solusyon.
Magkomento. Kung ang linear equation ay hindi ipinakita sa form (1), kailangan mo munang dalhin ito sa form (1) at pagkatapos lamang na isagawa ang pag-aaral.
Mga halimbawa. 3.1 Lutasin ang equation (a -3) x \u003d b + 2a
Ang equation ay nakasulat sa form (1).
Solusyon: Kung a ≠ 3, ang equation ay may solusyon na x = b + 2a / a-3 para sa alinmang c.
Nangangahulugan ito na ang tanging halaga ng isang kung saan maaaring walang mga solusyon sa equation ay a = 3. Sa kasong ito, ang equation (a -3) x \u003d b + 2a ay kumukuha ng form
0 ∙ x \u003d b + 6. (2)
Kung ≠ - 6, ang equation (2) ay walang mga solusyon.
Kung a = - 6, ang alinmang x ay solusyon sa (2).
Samakatuwid, ang β = - 6 ay ang tanging halaga ng parameter na β kung saan ang equation (1) ay may solusyon para sa anumang a (x=2 para sa isang ≠ 3 at x ay kabilang sa hanay ng mga tunay na numero para sa a=3).
Sagot: sa = -6.
3.2. Lutasin ang equation na 3(x-2a) = 4(1-x).
3.3. Lutasin ang equation 3/kx-12=1/3x-k
3.4. Lutasin ang equation (a 2 -1)x \u003d a 2 - a -2
3.5. Lutasin ang equation x 2 + (2a +4)x + 8a + 1 \u003d 0
Pansariling gawain.
Pagpipilian 1. Lutasin ang mga equation: a) sa + 2 = - 1;
b) (a - 1) x = a - 2;
c) (a 2 - 1) x - a 2 + 2a - 1 \u003d 0.
Pagpipilian 2. Lutasin ang mga equation: a) - 8 = sa + 1;
b) (a + 1) x = a - 1;
c) (9a 2 - 4) x - 9a 2 + 12a - 4 = 0.
Paksa 4.
Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay na may isang parameter
hindi pagkakapantay-pantay
palakol > sa, ah
kung saan ang a, c ay mga expression depende sa mga parameter, at ang x ay ang hindi alam, ay tinatawag na linear inequalities na may mga parameter.
Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay nangangahulugang makahanap ng isang hanay ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay para sa lahat ng mga halaga ng mga parameter.
Scheme para sa paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay aX > c.
Kung a > 0, x > b/a.
Kung ang
Kung a = 0, ang hindi pagkakapantay-pantay ay nasa anyong 0 ∙ x > c. Para sa ≥ 0, ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon; sa in
Mga halimbawa. 4.1. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay a(3x-1)>3x - 2.
Solusyon: a (3x-1)> 3x - 2, kaya 3x (a-1)> a-2.
Isaalang-alang natin ang tatlong kaso.
a=1, ang solusyon 0 ∙ x > -1 ay anumang tunay na numero.
a > 1, 3x (a-1) > a-2, kaya x > a-2/3 (a-1).
Ang ibig sabihin ng a-2 ay x
2ax +5 > a+10x .
(a + 1)x - 3a + 1 ≤ 0.
X 2 + ax +1 > 0.
Pansariling gawain.
Pagpipilian 1. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) ( a– 1) x ≤ a 2 – 1;
b) 3x-a > ah - 2.
Opsyon 2. Lutasin ang mga hindi pagkakapantay-pantay: a) (a - 1) x – 2а +3 ≥ 0;
b) ah-2v
Paksa 5.
Quadratic equation na naglalaman ng mga parameter. Ang teorama ni Vieta.
Uri ng equation
palakol 2 + sa + c \u003d 0, (1)
kung saan ang a, b, c ay mga expression na nakadepende sa mga parameter, a ≠ 0, x ay isang hindi alam, ay tinatawag na isang quadratic equation na may mga parameter.
Scheme para sa pag-aaral ng quadratic equation (1).
Kung a = 0, mayroon tayong linear equation sa x + c = 0.
Kung ang a ≠ 0 at ang discriminant ng equation D = sa 2 - 4ac
Kung ang isang ≠ 0 at D \u003d 0, kung gayon ang equation ay may natatanging solusyon x \u003d - b / 2a o, tulad ng sinasabi nila, magkasabay na mga ugat x 1 \u003d x 2 \u003d - B / 2a.
Kung ang isang ≠ 0 at D > 0, kung gayon ang equation ay may dalawang magkaibang ugat X 1.2 = (- V ± √D) / 2a
Mga halimbawa. 5.1. Para sa lahat ng mga halaga ng parameter a, lutasin ang equation
(a - 1)x 2 - 2ax + a + 2 = 0.
Desisyon. 1. a - 1 = 0, ibig sabihin. a \u003d 1. Pagkatapos ang equation ay kukuha ng anyo -2x + 3 \u003d 0, x \u003d 3 / 2.
2. a ≠ 1. Hanapin ang discriminant ng equation D \u003d 4a 2 - 4 (a - 1) (a + 2) \u003d - 4a + 8.
Posible ang mga kaso: a) D 8, a > 2. Ang equation ay wala
b) D = 0, ibig sabihin. -4a + 8 = 0, 4a = 8, a = 2. Ang equation ay may isa
ugat x \u003d a / (a - 1) \u003d 2 / (2 - 1) \u003d 2.
c) D > 0, ibig sabihin. -4a + 8 > 0.4a
ugat x 1.2 \u003d (2a ± √ -4a + 8) / 2 (a - 1) \u003d (a ± √ 2 - a) / (a - 1)
Sagot. Kapag ang isang \u003d 1 x \u003d 3 / 2;
kapag ang isang \u003d 2 x \u003d 2;
para sa a>2 walang mga ugat;
Para sa lahat ng mga halaga ng parameter, lutasin ang mga equation:
palakol 2 + 3palakol - a - 2 \u003d 0;
palakol 2 + 6x - 6 \u003d 0;
sa 2 - (sa + 1) x +1 \u003d 0;
(sa + 1) x 2 - 2x + 1 - sa \u003d 0.
Pansariling gawain.
Pagpipilian 1. Lutasin ang equation ax 2 - (a + 3) x + 3 = 0.
Pagpipilian 2. Lutasin ang equation na a 2 + (a + 1) x + 2a-4 \u003d 0.
Mga gawain.
. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung para saan quadratic equation
Desisyon. Ang equation na ito ay quadratic, kaya
a – 1 ≠ 0, ibig sabihin. a ≠ 1. Hanapin ang discriminant D = 4(2a + 1) 2 - 4(a - 1)(4a + 3) =
4(4a 2 + 4a + 1 - 4a 2 + a + 3) = 4(5a + 4).
Mayroon kaming: 1) Para sa isang ≠ 1 at D > 0, i.e. 4(5a + 4) > 0, at > - 4/5 ang equation ay may dalawa
iba't ibang ugat.
2) Kapag ang isang ≠ 1 at D
3) Kapag ang isang ≠ 1 at D = 0, i.e. a = - 4/5 equation ay may isang ugat.
Sagot. Kung a > - 4/5 at a ≠ 1, ang equation ay may dalawang magkaibang ugat;
kung ang isang \u003d - 4 / 5, kung gayon ang equation ay may isang ugat.
.Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a + 6)x 2 + 2ax +1 = 0 ay may natatanging solusyon?
.Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a 2 - a - 2) x 2 + (a + 1) x + 1 \u003d 0 ay walang solusyon?
.Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ax 2 - (2a + 3) x + a + 5 \u003d 0 ay may dalawang magkaibang ugat?
Pansariling gawain.
Pagpipilian 1. Hanapin ang lahat ng value ng parameter a, kung saan ang quadratic equation (2 a – 1)X 2 +2X– 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat; walang mga ugat; may isang ugat.
Opsyon 2.. Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang quadratic equation (1 - a)X 2 +4X– Ang 3 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat; walang mga ugat; may isang ugat.
Ang teorama ni Vieta.
Kapag nilulutas ang maraming mga problema na may kaugnayan sa mga quadratic equation na naglalaman ng mga parameter, ang mga sumusunod na theorems ay ginagamit.
Ang teorama ni Vieta. Kung x 1, x 2 ang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + in + c \u003d 0, a≠0, kung gayon x 1 + x 2 \u003d - B / a at x 1 ∙ x 2 \u003d C / a .
Teorama 1. Upang ang mga ugat ng square trinomial ax 2 + in + c ay maging totoo at magkaroon ng parehong mga palatandaan, ito ay kinakailangan at sapat upang matupad ang mga sumusunod na kondisyon: D = sa 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / A > 0.
Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging positibo kung x 1 + x 2 \u003d - B / a > 0, at ang parehong mga ugat ay magiging negatibo kung x 1 + x 2 \u003d - B / a
Teorama 2. Upang ang mga ugat ng square trinomial ax 2 + in + c ay maging totoo at parehong di-negatibo o parehong hindi positibo, ito ay kinakailangan at sapat upang matupad ang mga sumusunod na kondisyon: D = sa 2 - 4ac ≥ 0, x 1 ∙ x 2 = C / a ≥ 0.
Sa kasong ito, ang parehong mga ugat ay magiging hindi negatibo kung x 1 + x 2 \u003d - B / a ≥ 0, at ang parehong mga ugat ay magiging hindi positibo kung x 1 + x 2 \u003d - B / a ≤ 0.
Teorama 3. Upang ang mga ugat ng square trinomial ax 2 + inx + c ay maging totoo at magkaroon ng iba't ibang mga palatandaan, ito ay kinakailangan at sapat upang matupad ang mga sumusunod na kondisyon: x 1 ∙ x 2 = C / a Sa kasong ito, ang kondisyon D = sa 2 - 4ac > 0 ay awtomatikong natutupad.
Tandaan. Naglalaro ang mga theorems na ito mahalagang papel kapag nilutas ang mga problema na nauugnay sa pag-aaral ng mga palatandaan ng mga ugat ng equation ax 2 + bx + c \u003d 0.
Mga kapaki-pakinabang na pagkakapantay-pantay: x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2, (1)
x 1 3 + x 2 3 \u003d (x 1 + x 2) (x 1 2 - x 1 x 2 + x 2 2) \u003d (x 1 + x 2) ((x 1 + x 2) 2 - 3x 1 x 2), (2)
(x 1 - x 2) 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 4x 1 x 2, (3)
(5)
5.10.
(a - 1)x 2 - 2ax + a +1 = 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawa negatibong mga ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?
Desisyon. Ang equation ay quadratic, kaya isang ≠ 1. Sa pamamagitan ng Vieta theorem, mayroon tayong
x 1 + x 2 \u003d 2a / (a - 1), x 1 x 2 \u003d (a + 1) / (a - 1).
Kalkulahin natin ang discriminant D = 4a 2 - 4(a - 1)(a + 1) = 4.
a) Ayon sa Theorem 1, ang isang equation ay may mga positibong ugat kung
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 > 0, ibig sabihin. (a + 1) / (a - 1) > 0, 2a / (a - 1) > 0.
Kaya naman isang є (-1; 0).
b) Ayon sa Theorem 1, ang isang equation ay may mga negatibong ugat kung
D ≥ 0, x 1 x 2 > 0, x 1 + x 2 0, 2a / (a - 1)
Kaya naman isang є (0; 1).
c) Ayon sa Theorem 3, ang equation ay may mga ugat ng iba't ibang mga palatandaan kung x 1 x 2
(a + 1) / (a - 1) Sagot. a) kapag ang isang є (-1; 0) ang equation ay may mga positibong ugat;
b) kapag ang isang є (0; 1) ang equation ay may mga negatibong ugat;
c) kapag ang isang є (-1; 1) ang equation ay may mga ugat ng iba't ibang mga palatandaan.
5.11.
Sa anong mga halaga ng parameter a ang quadratic equation
(a - 1) x 2 - 2 (a + 1) x + a + 3 \u003d 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?
5. 12. Nang hindi nalulutas ang equation na 3x 2 - (c + 1) x - 3c 2 + 0, hanapin ang x 1 -1 + x 2 -1, kung saan ang x 1, x 2 ay ang mga ugat ng equation.
5.13. Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation x 2 - 2 (a + 1) x + a 2 \u003d 0 ay may mga ugat na ang kabuuan ng mga parisukat ay 4.
Pagsusulit.
Pagpipilian 1. 1. Lutasin ang equation (a 2 + 4a) x \u003d 2a + 8.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (sa + 1)x ≥ (sa 2 - 1).
3. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation
x 2 - (2a + 1) x + a 2 + a - 6 \u003d 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?
Pagpipilian 2. 1. Lutasin ang equation (a 2 - 2a) x = 3a.
2. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay (a + 2) x ≤ a 2 - 4.
3. Sa anong mga halaga ng parameter sa equation
x 2 - (2v - 1) x + sa 2 - t - 2 \u003d 0 ay may: a) dalawang positibong ugat; b) dalawang negatibong ugat; c) ugat ng iba't ibang palatandaan?
Panitikan.
V.V. Mochalov, V.V. Silvestrov. Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. Ch.: Publishing House ng ChSU, 2004. - 175p.
Yastrebinsky G.A. Mga gawain na may mga parameter. M.: Enlightenment, 1986, - 128 p.
Bashmakov M.I. Algebra at ang simula ng pagsusuri. Teksbuk para sa 10-11 baitang ng sekondaryang paaralan. M.: Enlightenment, 1991. - 351 p.
T. Peskova. Ang unang kakilala sa mga parameter sa mga equation. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 36, 1999.
T. Kosyakova. Solusyon ng mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter. 9 na mga cell Pang-edukasyon at pamamaraang pahayagan na "Mathematics". No. 25 - 26, No. 27 - 28. 2004.
T. Gorshenina. Mga gawaing may parameter. 8 mga cell Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 16. 2004.
Sh. Tsyganov. Mga parisukat na trinomyal at mga parameter. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 5. 1999.
S. Nedelyaeva. Mga tampok ng paglutas ng mga problema sa isang parameter. Pang-edukasyon at pamamaraan na pahayagan na "Matematika". No. 34. 1999.
gawaing kurso
Artist: Bugrov S.K.
Ang pag-aaral ng maraming pisikal na proseso at mga geometric na pattern ay madalas na humahantong sa solusyon ng mga problema sa mga parameter. Ang ilang mga Unibersidad ay nagsasama rin ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema sa mga tiket sa pagsusulit, na kadalasang napakasalimuot at nangangailangan ng hindi karaniwang paraan sa paglutas. Sa paaralan, ang isa sa pinakamahirap na seksyon ng kursong matematika ng paaralan ay isinasaalang-alang lamang sa ilang opsyonal na klase.
Inihahanda ang gawaing ito, itinakda ko ang layunin ng isang mas malalim na pag-aaral ng paksang ito, na tinutukoy ang pinaka makatwirang desisyon mabilis na humahantong sa isang sagot. Sa aking opinyon, ang graphical na pamamaraan ay isang maginhawa at mabilis na paraan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter.
Sa aking sanaysay, ang mga madalas na nakakaharap na uri ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema ay isinasaalang-alang, at umaasa ako na ang kaalaman na nakuha ko sa proseso ng trabaho ay makakatulong sa akin kapag pumasa sa mga pagsusulit sa paaralan at pagpasok sa isang unibersidad.
Hindi pagkakapantay-pantay
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)
kung saan ang a, b, c, …, k ay ang mga parameter at ang x ay isang tunay na variable ay tinatawag na hindi pagkakapantay-pantay na may isang hindi alam na naglalaman ng mga parameter.
Anumang sistema ng mga halaga ng parameter a = a0, b = b0, c = c0, …, k = k0, para sa ilang function
¦(a, b, c, …, k, x) at
j(a, b, c, …, k, x
magkaroon ng kahulugan sa rehiyon ng mga tunay na numero, ay tinatawag na sistema ng mga tinatanggap na halaga ng parameter.
ay tinatawag na wastong halaga ng x kung
¦(a, b, c, …, k, x) at
j(a, b, c, …, k, x
kumuha ng mga tunay na halaga para sa anumang tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter.
Ang hanay ng lahat ng mga tinatanggap na halaga ng x ay tinatawag na domain ng hindi pagkakapantay-pantay (1).
Ang tunay na numerong x0 ay tinatawag na partikular na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay (1) kung ang hindi pagkakapantay-pantay
¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)
ay totoo para sa anumang sistema ng mga tinatanggap na halaga ng parameter.
Ang hanay ng lahat ng partikular na solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay (1) ay tinatawag na pangkalahatang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay na ito.
Upang malutas ang hindi pagkakapantay-pantay (1) ay nangangahulugan na ipahiwatig para sa kung anong mga halaga ng mga parameter ang mayroong pangkalahatang solusyon at kung ano ito.
Dalawang hindi pagkakapantay-pantay
¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) at (1)
z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)
ay tinatawag na katumbas kung mayroon silang parehong mga pangkalahatang solusyon para sa parehong hanay ng mga sistema ng mga tinatanggap na halaga ng parameter.
Hanapin ang domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito.
Binabawasan namin ang hindi pagkakapantay-pantay sa isang equation.
Ipinapahayag namin ang a bilang isang function ng x.
Sa xOa coordinate system, bumubuo kami ng mga graph ng mga function na a =¦ (x) para sa mga halaga ng x na kasama sa domain ng kahulugan ng hindi pagkakapantay-pantay na ito.
Nakahanap kami ng mga hanay ng mga punto na nagbibigay-kasiyahan sa hindi pagkakapantay-pantay na ito.
Sinisiyasat namin ang impluwensya ng parameter sa resulta.
hanapin ang abscissas ng mga intersection point ng mga graph.
itakda ang linyang a=const at ilipat ito mula -¥ hanggang +¥
Sinusulat namin ang sagot.
Ito ay isa lamang sa mga algorithm para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter gamit ang x0a coordinate system. Ang iba pang mga paraan ng solusyon ay posible rin, gamit ang karaniwang xOy coordinate system.
§3. Mga halimbawa
I. Para sa lahat ng tinatanggap na halaga ng parameter a, lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Sa domain ng parameter a na tinukoy ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng sistema ng hindi pagkakapantay-pantay
Kung , kung gayon ang mga solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay ay pumupuno sa segment .
II. Para sa anong mga halaga ng parameter a ang sistema ay may solusyon
Hanapin ang mga ugat ng trinomial sa kaliwang bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay -
(*)
Ang mga tuwid na linya na ibinigay ng mga equalities (*) ay naghahati sa a0x coordinate plane sa apat na rehiyon, na ang bawat isa ay naglalaman ng isang square trinomial
nagpapanatili ng isang palaging tanda. Ang equation (2) ay tumutukoy sa isang bilog na may radius 2 na nakasentro sa pinanggalingan. Pagkatapos ang solusyon sa orihinal na sistema ay ang intersection shaded
isang bilog na may bilog, kung saan , at ang mga halaga at matatagpuan mula sa system
at ang mga halaga at matatagpuan mula sa system
Ang paglutas ng mga sistemang ito, nakukuha natin iyon
III. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay 
sa depende sa mga halaga ng parameter a.
Nahanap namin ang lugar ng mga tinatanggap na halaga -
Bumuo tayo ng graph ng function sa xOy coordinate system.
kapag ang hindi pagkakapantay-pantay ay walang mga solusyon.
kailan para sa 
natutugunan ng solusyon x ang kaugnayan 
, saan 
Sagot: Ang mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay umiiral para sa
saan 
, at kapag nilulutas 
; kapag nagso-solve.
IV. Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay
Paghahanap ng ODZ o discontinuity lines (asymptotes)
Hanapin natin ang mga equation ng mga function, ang mga graph na kailangang i-plot sa UCS; kung saan tayo ay bumaling sa pagkakapantay-pantay:
I-factorize natin ang numerator.
kasi 
pagkatapos
Hatiin natin ang parehong bahagi ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng at . Ngunit ito ay isang solusyon: ang kaliwang bahagi ng equation ay katumbas ng kanang bahagi at katumbas ng zero sa .
3. Bumubuo kami ng mga graph ng mga function sa PSC xOa
at bilangin ang mga resultang rehiyon (ang mga axes ay hindi gumaganap ng isang papel). Mayroong siyam na rehiyon.
4. Hinahanap namin kung alin sa mga rehiyon ang angkop para sa hindi pagkakapantay-pantay na ito, kung saan kumukuha kami ng isang punto mula sa rehiyon at pinapalitan ito sa hindi pagkakapantay-pantay.
Para sa kalinawan, gumawa tayo ng isang talahanayan.
| hindi pagkakapantay-pantay: |
|||
|
|
|||
|
|
5. Hanapin ang mga intersection point ng mga graph
6. Magtakda tayo ng tuwid na linya a=const at ililipat natin ito mula -¥ hanggang +¥.
sa 
na walang solusyon
sa 
Bibliograpiya
Dalinger V. A. “Heometry Helps Algebra”. Publishing house "School - Press". Moscow 1996
V. A. Dalinger "Lahat upang Matiyak ang Tagumpay sa Pangwakas at Pagpasok na Pagsusulit sa Matematika". Publishing house ng Omsk Pedagogical University. Omsk 1995
Okunev A. A. " Graphic na solusyon mga equation na may mga parameter". Publishing house "School - Press". Moscow 1986
Pismensky D. T. "Matematika para sa mga mag-aaral sa high school". Iris Publishing House. Moscow 1996
Yastribinetskiy G. A. "Mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng mga parameter". Publishing house na "Enlightenment". Moscow 1972
G. Korn at T. Korn "Handbook of Mathematics". Publishing house "Nauka" pisikal at matematikal na panitikan. Moscow 1977
Amelkin V. V. at Rabtsevich V. L. "Mga problema sa mga parameter" . Publishing house "Asar". Moscow 1996
FBGOU VPO "Mordovia State
Pedagogical Institute na pinangalanang M.E. evsevyeva"
FACULTY OF PHYSICS AND MATHEMATICS
Departamento ng Matematika at Mga Paraan ng Pagtuturo ng Matematika
TRABAHO NG KURSO
Pamamaraan para sa pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kurso ng pangunahing paaralan ng pangkalahatang edukasyon
estudyante ng MDM-110 group na A.I. Zimina
Specialty: 050201.65 "Mathematics" na may karagdagang specialty 050202 "Informatics"
Saransk 2014
Panimula
Batayang teoretikal mga linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kursong paaralan ng matematika
1 Mga uri ng equation sa kurso ng paaralan ng matematika
2 Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay sa kursong matematika ng paaralan
3 Mga tampok ng paglutas ng mga equation na may mga parameter
4 Mga tampok ng paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter
Konklusyon
Bibliograpiya
Panimula
Sa kasalukuyang yugto ng pag-unlad ng edukasyon sa paaralan, ang mga layunin ng pag-unlad ng edukasyon ay nagiging priyoridad. Sa pagsasaalang-alang na ito, sa pag-aaral ng matematika, ang organisadong pagsasanay sa mga pamamaraan ng pag-iisip, ang nakapangangatwiran na pagpapatupad ng mga aktibidad na pang-edukasyon, ay partikular na kahalagahan, na napakahalaga kapag pinagkadalubhasaan ang mahihirap na paksa at paglutas ng mga kumplikadong problema tulad ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. Ito ay tiyak na ang hindi sapat na pagbuo ng mga pamamaraan ng aktibidad na pang-edukasyon na isa sa mga dahilan kung bakit ang karamihan sa mga mag-aaral ay nagkakamali o nakakaranas ng mga paghihirap sa paglutas ng kahit na mga simpleng gawain ng ganitong uri.
Ang mga problema sa mga parameter, ang kanilang papel sa pag-aaral, ang mga konsepto na may kaugnayan sa kanilang solusyon ay pinag-aralan sa iba't ibang taon ng M.I. Bashmakov, G.V. Dorofeev, M.I. Zaikin, T.A. Ivanova, G.L. Lukankin, Ya.L. Kreinin, V.K. Markov, A.G. Mordkovich, N.Kh. Rozov, G.I. Sarantsev, R.A. Uteeva at iba pa. Marami sa kanila ang nagbigay-diin sa kahalagahan ng pagtuturo sa mga mag-aaral kung paano lutasin ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter, pangunahin na may kaugnayan sa pangangailangang ihanda ang mga mag-aaral para sa pagganap ng panghuling gawain sa pagtatasa at iba't ibang uri ng mapagkumpitensyang pagsusulit. Kasabay nito, ang karamihan sa mga may-akda ay nagpapakilala sa mga gawain na may mga parameter bilang mga gawain sa pananaliksik na nangangailangan ng mataas na lohikal na kultura at pamamaraan ng pananaliksik; bilang ang pinaka-kumplikadong mga tanong ng elementarya na matematika sa mga tuntunin ng lohika at semantika. Kaugnay nito, si V.V. Veresova, V.I. Gorbachev, N.S. Denisova, V.N. Litvinenko, A.G. Mordkovich, T.N. Polyakova, G.A. Tamang tandaan ni Yastrebinetsky at ng iba pa na upang ilarawan ang proseso ng kanilang solusyon, kinakailangan na gumamit ng isang sistema ng mga konsepto, mga pahayag sa matematika at mga katotohanan, na tinutukoy ng mga pangunahing ideya sa matematika; ang ilan sa kanila ay sumusubok na paunlarin ito. Gayunpaman, sa maraming mga manual at manual na isang sanggunian at metodolohikal na kalikasan para sa mga aplikante sa mga unibersidad, tanging ang mga partikular na pamamaraan para sa paglutas ng mga partikular na equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ang isinasaalang-alang, kadalasan sa loob ng malawak na hanay ng mga mapagkumpitensyang gawain.
Ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang parameter ay hindi sistematikong pinag-aaralan sa isang kurso sa matematika ng paaralan, ngunit ilan lamang sa kanilang mga pinakasimpleng halimbawa ang isinasaalang-alang. Samakatuwid, ang mga pamamaraan at pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang problema ay hindi alam ng karamihan sa mga mag-aaral.
Ang kaugnayan ng paksang ito ay nakasalalay sa katotohanan na ang pagsusuri mga papeles sa pagsusulit sa matematika, dumating ka sa konklusyon na sa panahon ng kurso ng matematika sa isang pangkalahatang edukasyon na paaralan, dapat gawin ng mga mag-aaral ang kakayahang malutas ang mga problema sa mga parameter. Bilang karagdagan sa direktang paghahanda ng mga mag-aaral para sa mga pagsusulit sa seksyong ito ng matematika (paglutas ng mga problema sa mga parameter), ang pangunahing gawain nito ay upang itaas ang pag-aaral ng matematika sa paaralan sa isang mas mataas na antas, kasunod ng pag-unlad ng mga kasanayan at kakayahan upang malutas ang isang tiyak. hanay ng mga karaniwang problema.
Layunin ng pag-aaral: ang proseso ng pagbuo ng mga kasanayan upang malutas ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kurso ng paaralan sa matematika ng pangunahing paaralan.
Paksa ng pananaliksik: mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter.
Ang layunin ng pag-aaral: upang i-highlight ang mga uri, pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kursong matematika ng paaralan.
Upang makamit ang layuning ito, kinakailangan upang malutas ang mga sumusunod na gawain:
) Upang pag-aralan at pag-aralan ang mga espesyal na literatura sa problema sa pananaliksik;
) Isaalang-alang ang papel ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kursong matematika ng paaralan;
1. Teoretikal na pundasyon ng mga linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kurso ng paaralan ng matematika
Sa pagtingin sa kahalagahan at kalawakan ng materyal na nauugnay sa konsepto ng isang equation, ang pag-aaral nito sa modernong metodolohiya ng matematika ay isinaayos sa isang content-methodical na linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay. Dito isinasaalang-alang ang mga tanong tungkol sa pagbuo ng mga konsepto ng equation at isang hindi pagkakapantay-pantay, ang pangkalahatan at pribadong pamamaraan ng kanilang desisyon, ang pagkakaugnay ng pag-aaral ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa numerical, functional at iba pang mga linya ng kurso ng matematika sa paaralan.
Ang mga natukoy na lugar ng paglitaw at paggana ng konsepto ng isang equation sa algebra ay tumutugma sa tatlong pangunahing direksyon para sa pagbuo ng isang linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa isang kurso sa matematika ng paaralan.
a) Ang inilapat na oryentasyon ng linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay inihayag pangunahin sa pag-aaral ng algebraic na pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa salita. Ang pamamaraang ito ay malawakang ginagamit sa matematika ng paaralan, dahil ito ay nauugnay sa pagtuturo ng mga pamamaraan na ginagamit sa mga aplikasyon ng matematika.
Sa kasalukuyan, ang nangungunang posisyon sa mga aplikasyon ng matematika ay inookupahan ng pagmomolde ng matematika. Gamit ang konseptong ito, masasabi nating ang inilapat na halaga ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema ay natutukoy sa pamamagitan ng katotohanang sila ang pangunahing bahagi ng mga kasangkapang pangmatematika na ginagamit sa pagmomolde ng matematika.
b) Ang teoretikal at matematikal na oryentasyon ng linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay ipinahayag sa dalawang aspeto: una, sa pag-aaral ng pinakamahalagang klase ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema, at, pangalawa, sa pag-aaral ng mga pangkalahatang konsepto at pamamaraan. nauugnay sa linya sa kabuuan. Ang parehong mga aspeto ay kinakailangan sa kurso ng matematika ng paaralan. Ang mga pangunahing klase ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nauugnay sa pinakasimple at sa parehong oras ang pinakamahalaga mga modelo ng matematika. Ang paggamit ng mga pangkalahatang konsepto at pamamaraan ay ginagawang posible na lohikal na i-streamline ang pag-aaral ng linya sa kabuuan, dahil inilalarawan nila kung ano ang karaniwan sa mga pamamaraan at pamamaraan ng paglutas na may kaugnayan sa mga indibidwal na klase ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema. Sa turn, ang mga ito pangkalahatang konsepto at mga pamamaraan ay batay sa mga pangunahing lohikal na konsepto: hindi alam, pagkakapantay-pantay, pagkakapantay-pantay, lohikal na kahihinatnan, na dapat ding ibunyag sa linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.
c) Ang linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay nailalarawan sa pamamagitan ng pagtutok sa pagtatatag ng mga link sa iba pang nilalaman ng kursong matematika. Ang linyang ito ay malapit na nauugnay sa linya ng numero. Ang pangunahing ideya na ipinatupad sa proseso ng pagtatatag ng relasyon ng mga linyang ito ay ang ideya ng isang pare-parehong pagpapalawak ng numerical system. Ang lahat ng mga numerical na lugar na isinasaalang-alang sa algebra ng paaralan at ang mga simula ng pagsusuri, maliban sa lugar ng lahat ng mga tunay na numero, ay lumitaw na may kaugnayan sa solusyon ng anumang mga equation, hindi pagkakapantay-pantay, mga sistema. Halimbawa, ang mga numerical gaps ay nakikilala sa pamamagitan ng mga hindi pagkakapantay-pantay o mga sistema ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga lugar ng hindi makatwiran at logarithmic na mga expression ay konektado ayon sa pagkakabanggit sa mga equation (k-natural na bilang na higit sa 1.
Ang koneksyon ng linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa linya ng numero ay dalawang-daan. Ang mga halimbawang ibinigay ay nagpapakita ng impluwensya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pagpapalawak ng isang numerical system. Ang kabaligtaran na epekto ay ipinakita sa katotohanan na ang bawat bagong ipinakilala na numerical area ay nagpapalawak ng mga posibilidad para sa pag-compile at paglutas ng iba't ibang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay.
Ang linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay ay malapit ding konektado sa functional line. Ang isa sa pinakamahalagang gayong koneksyon ay ang aplikasyon ng mga pamamaraan na binuo sa linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa pag-aaral ng isang function (halimbawa, sa mga gawain para sa paghahanap ng domain ng kahulugan ng ilang mga function, ang kanilang mga ugat, mga pagitan ng constancy, atbp. .). Sa kabilang banda, ang functional line ay may malaking epekto kapwa sa nilalaman ng linya ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, at sa estilo ng pag-aaral nito. Sa partikular, ang mga functional na representasyon ay nagsisilbing batayan para sa pag-akit ng graphical na visualization sa solusyon at pag-aaral ng mga equation, hindi pagkakapantay-pantay at kanilang mga sistema.
1 Mga uri ng equation sa kursong matematika ng paaralan
Ang konsepto ng "equation" ay tumutukoy sa pinakamahalagang pangkalahatang konsepto ng matematika.
Mayroong iba't ibang mga interpretasyon ng konsepto ng "equation".
AT AKO. Vilenkin at iba pa ay nagbibigay ng lohikal - mathematical na kahulugan ng equation. Hayaang ayusin ang isang set ng algebraic operations sa set M, x ay isang variable sa M; pagkatapos ang isang equation sa set M na may paggalang sa x ay isang panaguri ng anyo, kung saan at mga termino na may kinalaman sa mga ibinigay na operasyon, ang talaan kung saan kasama ang isang simbolo. Katulad nito, ang isang equation sa dalawa o higit pang mga variable ay tinukoy.
Ang mga terminong "term" at "predicate" na tinanggap sa lohika ay tumutugma sa mga termino ng matematika ng paaralan bilang "expression" at "pangungusap na may variable". Samakatuwid, ang sumusunod na kahulugan ay maaaring ituring na pinakamalapit sa ibinigay na pormal na kahulugan: "Ang isang pangungusap na may variable, na may anyo ng pagkakapantay-pantay sa pagitan ng dalawang expression na may ganitong variable, ay tinatawag na equation." Ang ganitong kahulugan ay ibinigay sa aklat-aralin na "Algebra and the Beginnings of Analysis" ni A.N. Kolmogorov at iba pa. Ang pagkakapantay-pantay na may variable ay tinatawag na equation. Ang halaga ng variable kung saan ang pagkakapantay-pantay sa variable ay nagiging tamang pagkakapantay-pantay ng numero ay tinatawag na ugat ng equation.
Kadalasan, lalo na sa simula ng isang sistematikong kurso sa algebra, ang konsepto ng isang equation ay ipinakilala sa pamamagitan ng paghihiwalay nito mula sa algebraic na paraan ng paglutas ng mga problema. Halimbawa, sa aklat-aralin ni Sh.A. Alimov at iba pa, ang konsepto ng isang equation ay ipinakilala sa materyal. problema sa text. Ang paglipat sa konsepto ng isang equation ay isinasagawa batay sa isang pagsusuri ng ilang mga pormal na tampok ng notasyon na nagpapahayag ng nilalaman ng problemang ito sa algebraic form: "Ang pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang hindi kilalang numero, na ipinahiwatig ng isang titik, ay tinatawag na isang equation." Ang ipinahiwatig na paraan ng pagpapakilala ng konsepto ng isang equation ay tumutugma sa isa pang bahagi ng konsepto ng isang equation - inilapat.
Ang isa pang diskarte sa konsepto ng isang equation ay nakuha sa pamamagitan ng pag-compile ng domain ng equation at ang set ng mga ugat nito. Halimbawa, sa aklat-aralin ni D.K. Fadeev "Ang pagkakapantay-pantay ng liham, na hindi kinakailangang maging tunay na pagkakapantay-pantay ng numero na may mga tinatanggap na hanay ng mga titik, ay tinatawag na isang equation."
Maaari mo ring matugunan ang ikatlong bersyon ng kahulugan, ang papel na kung saan ay ipinakita sa pag-aaral ng graphical na paraan para sa paglutas ng mga equation: "Ang isang equation ay ang pagkakapantay-pantay ng dalawang function."
Sa lahat ng mga uri ng equation na pinag-aralan sa kurso ng matematika, V.I. Kinikilala ng Mishin ang isang medyo limitadong bilang ng mga pangunahing uri. kabilang dito ang: isang linear equation na may isang hindi alam, isang sistema ng dalawang linear na equation na may dalawang hindi alam, quadratic equation, ang pinakasimpleng irrational at transendental.
Yu.M. Kolyagin at iba pa ay nag-uuri ayon sa uri ng mga function na kumakatawan sa kanan at kaliwang bahagi ng mga equation:
Ang equation ay tinatawag na:
algebraic kung at mga algebraic function;
transendente, kung hindi bababa sa isa sa mga function at transendente;
rational algebraic (o rational lang) kung algebraic function at rational;
irrational algebraic (o simpleng irrational) kung kahit isa sa mga algebraic function ay hindi rin makatwiran;
integer rational kung ang function at integers ay rational;
fractional rational kung hindi bababa sa isa sa makatwirang pag-andar at fractional rational.
Ang isang equation, kung saan ang isang polynomial ng karaniwang anyo, ay tinatawag na linear (ng unang degree), square (sa pangalawang degree), kubiko (ng ikatlong degree) at sa pangkalahatan - ika-degree, kung ang polynomial ay may, ayon sa pagkakabanggit , ang una, pangalawa, pangatlo at sa pangkalahatan - ika degree.
Maraming uri ng equation ang pinag-aaralan sa paaralan. Kabilang dito ang: linear equation na may isang hindi alam, quadratic equation, irrational at transendental equation, rational equation. Ang mga uri ng mga equation na ito ay pinag-aralan nang may mahusay na pag-iingat, para sa kanila ang pagpapatupad ng algorithm ng solusyon ay ipinahiwatig at dinadala sa automaticity, ang form kung saan ang sagot ay dapat na naitala ay ipinahiwatig.
Mga uri ng equation at paraan ng solusyon:
) Linear equation
Ang equation na may isang variable ay isang equation na naglalaman lamang ng isang variable.
Ang ugat (o solusyon) ng isang equation ay ang halaga ng variable kung saan ang equation ay nagiging tunay na pagkakapantay-pantay ng numero.
Upang mahanap ang lahat ng mga ugat ng isang equation o upang patunayan na walang ay upang malutas ang equation.
Halimbawa 1: Lutasin ang isang equation.
;
;
) Quadratic equation
Ang isang quadratic equation ay isang equation ng anyo kung saan ang mga coefficient a, b at c ay anumang tunay na numero, at a≠0.
Ang mga ugat ng isang quadratic equation ay tulad ng mga halaga ng isang variable kung saan ang quadratic equation ay nagiging isang tunay na numerical equality.
Upang malutas ang isang quadratic equation ay nangangahulugang hanapin ang lahat ng mga ugat nito o itatag na walang mga ugat.
Halimbawa 2: Lutasin ang equation
Ang equation na ito ay maaaring malutas alinman sa pamamagitan ng Vieta's Theorem o sa pamamagitan ng discriminant.
Sagot: x1=-1, x2=-2.
) Mga makatwirang equation
rational equation - mga equation ng anyo
kung saan at ay mga polynomial, ngunit ang mga equation ng anyo, kung saan at ay makatwiran.
Halimbawa 3: Lutasin ang equation
) Mga hindi makatwirang equation
Ang mga irrational equation ay mga equation kung saan ang variable ay nakapaloob sa ilalim ng sign ng root o sa ilalim ng sign ng operasyon ng pagtaas sa isang fractional power.
Halimbawa 4: Lutasin ang equation
I-square natin ang magkabilang panig:
) Exponential at logarithmic equation
Sa paglutas ng mga exponential equation, dalawang pangunahing pamamaraan ang ginagamit: a) paglipat mula sa equation patungo sa equation; b) pagpapakilala ng mga bagong variable. Minsan kailangan mong gumamit ng mga artipisyal na pamamaraan.
Logarithmic equation - ay nalutas sa pamamagitan ng tatlong mga pamamaraan, iyon ay, ang paglipat mula sa isang equation sa isang equation - isang kinahinatnan; ang paraan ng pagpapakilala ng mga bagong logarithmic variable, iyon ay, ang paglipat mula sa isang equation sa isang equation.
At din sa maraming mga kaso, kapag nilulutas ang isang logarithmic equation, kailangan mong gamitin ang mga katangian ng logarithm ng produkto, quotient, degree, root.
2 Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay sa kurso ng paaralan
Sa pangkalahatan, ang pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay sa kursong matematika ng paaralan ay isinaayos sa parehong paraan tulad ng mga equation.
Napansin namin ang ilang mga tampok ng pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay.
Tulad ng sa kaso ng mga equation, walang teorya ng equivalence ng hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga mag-aaral ay inaalok ang mga maliliit na fragment nito na ibinigay sa nilalaman ng materyal na pang-edukasyon.
Karamihan sa mga pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay ay binubuo sa paglipat mula sa ibinigay na hindi pagkakapantay-pantay a>b sa equation na a=b at ang kasunod na paglipat mula sa natagpuang mga ugat ng equation sa hanay ng mga solusyon ng orihinal na hindi pagkakapantay-pantay. Halimbawa, ang ganitong sitwasyon ay lumitaw kapag nilulutas ang mga nakapangangatwiran na hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paraan ng agwat, kapag nilulutas ang pinakasimpleng hindi pagkakapantay-pantay ng trigonometriko.
Sa pag-aaral ng mga hindi pagkakapantay-pantay, isang malaking papel ang ginagampanan ng visual - graphic na paraan.
Dalawang expression (numeric o alphabetic) na konektado ng isa sa mga palatandaan: “mas malaki kaysa” (>), “mas mababa kaysa” (<), «больше или равно» (≥), «меньше или равно» (≤) образуют неравенство (числовое или буквенное). Любое справедливое неравенство называется тождественным.
Depende sa tanda ng hindi pagkakapantay-pantay, mayroon tayong mahigpit na hindi pagkakapantay-pantay (> ,<), либо нестроги (≥ , ≤).
Ang mga halaga ng titik na kasama sa hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring kilala at hindi kilala.
Upang malutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay ay ang paghahanap ng mga hangganan kung saan ang mga hindi alam ay dapat magsinungaling, upang ang hindi pagkakapantay-pantay ay magkapareho.
Mga pangunahing katangian ng hindi pagkakapantay-pantay:
Kung ang< b, то b >a; o kung a > b pagkatapos b< a .
Kung a > b, a + c > b + c; o kung a< b, то a + c < b + c. То есть, можно прибавлять (вычитать) одно и то же число к обеим частям неравенства.
Kung a > b at c > d, a + c > b + d . Ibig sabihin, mga hindi pagkakapantay-pantay ng parehong kahulugan (na may parehong tanda > o<) можно почленно складывать.
Kung ang a > b at c< d, то a - c >b-d. O kung a< b и c >d, pagkatapos ay a - c< b - d . То есть, неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать одно из другого, и брать знак неравенства, являющегося уменьшаемым.
Kung a > b at m > 0, pagkatapos ay ma > mb at a/m > b/m . Iyon ay, ang magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring i-multiply o hatiin sa parehong positibong numero. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay nagpapanatili ng tanda nito.
Kung ang a > b at m< 0, то ma < mb и a/m < b/m . То есть, обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число. Неравенство при этом меняет свой знак на обратный.
Ang mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng hindi kilalang dami ay nahahati sa:
¾ algebraic; ¾ transendente; Ang mga hindi pagkakapantay-pantay ng algebra ay nahahati sa mga hindi pagkakapantay-pantay ng una, pangalawa, atbp. na antas. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay algebraic, sa unang antas. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay algebraic, sa ikalawang antas. Ang hindi pagkakapantay-pantay ay transendental. Mga uri ng hindi pagkakapantay-pantay at mga paraan upang malutas ang mga ito: )Mga linear na hindi pagkakapantay-pantay Halimbawa 5: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Sagot: x<-2. 2) Quadratic inequalities Halimbawa 6: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay x 2> 4
X 2> 4
(x - 2)∙(x + 2) > 0. Malutas namin sa pamamagitan ng paraan ng agwat. ) Mga makatwirang hindi pagkakapantay-pantay Halimbawa 7: Hanapin ang lahat ng mga halaga ng integer na nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay Paraan ng pagitan: Solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay: Mga integer na kabilang sa pagitan: -6;-5;-4;1. Sagot: -6; -5; -4; 1. 4) Mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay Kailangan mong simulan ang paglutas ng mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng paghahanap ng domain ng kahulugan. Halimbawa 8: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay Domain: Dahil ang arithmetic root ay hindi maaaring negatibo, kung gayon Sagot: [-2;7)/ ) Exponential, logarithmic inequalities Halimbawa 9: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay.. Halimbawa 10: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Sagot:. 3 Mga tampok ng paglutas ng isang equation na may mga parameter Isaalang-alang ang equation F(x,y,...,z;b,c,...,d)=0 (1)
na may hindi kilalang x, y, ..., z at c mga parameter b, c, ..., r; para sa anumang tinatanggap na sistema ng mga halaga ng mga parameter b 0,sa 0, ..., G0
equation (1) ang nagiging equation F(x, y,...,z; b 0,sa 0,...,G 0)=0(2)
na may hindi kilalang x, y,..., z, na walang mga parameter. Ang equation (2) ay may tiyak na mahusay na tinukoy na hanay ng mga solusyon. Upang malutas ang isang equation na naglalaman ng mga parameter ay nangangahulugan, para sa bawat tinatanggap na sistema ng mga halaga ng parameter, upang mahanap ang hanay ng lahat ng mga solusyon ng equation na ito. Ang mga pangunahing uri ng mga equation na may mga parameter: ) Linear at quadratic equation na naglalaman ng parameter Ang mga linear at quadratic na equation na naglalaman ng isang parameter ay maaaring pagsamahin sa isang pangkat - isang pangkat ng mga equation na may parameter na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang degree. Ang mga equation na may parameter na hindi mas mataas kaysa sa pangalawang antas ay ang pinakakaraniwan sa pagsasagawa ng mga pangwakas at mapagkumpitensyang gawain. Ang kanilang pangkalahatang anyo ay tinutukoy ng polynomial. Ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay tinutukoy ng equation. Sa pagitan ng mga pinahihintulutang halaga ng parameter na pinili ng mga halaga ng kontrol, ang discriminant ay may isang tiyak na tanda, ang kaukulang mga partial equation ay nabibilang sa isa sa huling dalawang uri. Pagkatapos ang solusyon ng anumang equation na may isang parameter na hindi lalampas sa ikalawang antas ay isinasagawa sa mga sumusunod na hakbang: Sa linya ng numero, ang lahat ng mga halaga ng kontrol ng parameter ay minarkahan, kung saan ang kaukulang mga partial equation ay hindi tinukoy. Sa rehiyon ng mga tinatanggap na halaga ng parameter, ang orihinal na equation ay dinadala sa anyo sa pamamagitan ng mga katumbas na pagbabagong-anyo. Maglaan ng isang hanay ng mga halaga ng kontrol ng parameter, kung saan ang equation ay may isang may hangganan na hanay ng mga solusyon, pagkatapos para sa bawat nahanap na halaga ng kontrol ng parameter, ang kaukulang bahagyang equation ay malulutas nang hiwalay. Ang mga partikular na equation ay inuri ayon sa unang tatlong uri. Sa isang walang katapusang hanay ng mga solusyon sa equation, ang solusyon ng equation ay isinasagawa, ang mga uri ng walang katapusan at walang laman na mga espesyal na partial equation ay nakikilala. Ang hanay ng mga halaga ng parameter kung saan at tumutugma sa ikatlong uri ng mga di-isahan na bahagyang equation. Pinili ang mga control value ng parameter kung saan nawawala ang discriminant. Ang kaukulang non-singular na partial equation ay may double root. Ang nahanap na mga halaga ng kontrol ng parameter ay naghahati sa hanay ng mga katanggap-tanggap na halaga ng parameter sa mga pagitan. Sa bawat isa sa mga agwat, ang tanda ng discriminant ay tinutukoy. ) Fractional-rational equation na naglalaman ng isang parameter, binawasan sa mga linear. Ang proseso ng paglutas ng mga fractional rational equation ay nagpapatuloy ayon sa karaniwang pamamaraan: ang equation na ito ay pinalitan ng isang buo sa pamamagitan ng pagpaparami ng magkabilang bahagi ng equation sa pamamagitan ng isang common denominator ng kaliwa at kanang bahagi nito. Pagkatapos nito, lutasin ng mga mag-aaral ang buong equation sa paraang alam nila, hindi kasama ang mga extraneous roots, iyon ay, mga numero na nagiging zero ang common denominator. Sa kaso ng mga equation na may mga parameter, ang problemang ito ay mas kumplikado. Dito, upang maibukod ang mga extraneous na ugat, kinakailangan upang mahanap ang halaga ng parameter na nagiging zero ang karaniwang denominator, iyon ay, upang malutas ang kaukulang mga equation para sa parameter. ) Mga hindi makatwirang equation na naglalaman ng isang parameter. Ang mga pangunahing tampok sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay: Nililimitahan ang saklaw ng hindi kilalang x, dahil nagbabago ito depende sa halaga ng parameter; Kapag isinasaalang-alang ang lahat ng mga espesyal na kaso at pag-squaring sa magkabilang panig ng hindi makatwirang equation, pumasa kami sa paglutas ng isang quadratic equation na may isang parameter. ) mga exponential equation na naglalaman ng isang parameter. Karamihan sa mga exponential equation na may mga parameter ay bumababa sa mga exponential equation uri: a f(x) = b g(x), kung saan ang a>0, b>0. Ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng naturang equation ay matatagpuan bilang intersection ng mga lugar ng mga tinatanggap na halaga ng mga function f(x) at g(x). Upang malutas ang equation a f(x) = b g(x) ang mga sumusunod na kaso ay kailangang isaalang-alang: Kapag a=b=1 sa pamamagitan ng paglutas ng equation a f(x) = b g(x) ay ang saklaw ng mga tinatanggap na halaga nito D. Kapag a=1, b≠1 sa pamamagitan ng paglutas ng equation a f(x) = b g(x) ay ang solusyon ng equation na g(x)=0 sa domain ng mga tinatanggap na halaga D. Kapag a≠1, b=1, ang solusyon ng equation a f(x) = b g(x) ay matatagpuan bilang isang solusyon ng equation na f(x) = 0 sa domain D. Kapag a=b (a>0, a≠1, b>0, b≠1) equation a f(x) = b g(x) ay katumbas ng equation na f(x) = g(x) sa domain D. Kapag a≠b (a>0, a≠1, b>0, b≠1), equation a f(x) = b g(x) ay magkapareho sa equation (c>0, c≠1) sa domain na D. ) Logarithmic equation na naglalaman ng isang parameter. Ang paglutas ng mga logarithmic equation na may mga parameter ay binabawasan sa paghahanap ng mga ugat ng isang elementary logarithmic equation. Ang isang mahalagang punto sa paglutas ng mga equation ng ganitong uri ay upang suriin kung ang mga natagpuang ugat ng ODZ ay nabibilang sa orihinal na equation. Mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na naglalaman ng isang parameter: Paraan ng analitikal 4 Mga tampok ng paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter Ang hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter ay isang hindi pagkakapantay-pantay sa matematika na ang hitsura at solusyon ay nakasalalay sa mga halaga ng isa o higit pang mga parameter. Parehong kapag nilutas ang isang equation, at kapag nilulutas ang isang hindi pagkakapantay-pantay, kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng hindi kilalang dami, para sa bawat isa kung saan ang ipinahiwatig na kaugnayan ay lumalabas na totoo. Ang solusyon ng hindi pagkakapantay-pantay (equation) ay maaaring magsama ng ilang paraan ng solusyon na tumutugma sa bawat uri ng equation para sa ilang partikular na halaga ng parameter. Halimbawa, para sa ilang halaga ng parameter, ang hindi pagkakapantay-pantay ay linear, kaya lutasin namin ito sa pamamagitan ng analytically identical transformations; para sa iba pang mga halaga ng parameter, ang hindi pagkakapantay-pantay ay parisukat, - malulutas namin ito sa isang functional-graphical na paraan. Katulad ng mga equation na may mga parameter, ang mga hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay may parehong pag-uuri ng mga uri at pamamaraan ng solusyon. ) Mga linear at quadratic na hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng parameter ) Fractional-rational inequalities na naglalaman ng isang parameter, na binawasan sa mga linear. Ang solusyon ng ilang fractional rational inequalities ay binabawasan sa solusyon ng mga inequalities ng una o pangalawang degree. ) Mga hindi makatwirang hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang parameter. ) Exponential inequalities na naglalaman ng parameter. ) Logarithmic inequalities, na naglalaman ng parameter. Ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga hindi pagkakapantay-pantay na naglalaman ng isang parameter: Paraan ng analitikal Mga katangian ng mga function sa mga gawain na naglalaman ng isang parameter. functional na diskarte. Paraan ng graphic. Coordinate na eroplano(x;y). Paraan ng graphic. Coordinate plane (x;a). Ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay isa sa pinakamahirap na seksyon ng matematika ng paaralan. Kapag nilulutas ang mga problema sa mga parameter, kinakailangan, bilang karagdagan sa isang mahusay na kaalaman sa mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay, ang kakayahang magsagawa ng medyo branched na lohikal na mga konstruksyon, katumpakan at pagkaasikaso upang hindi mawalan ng mga solusyon at hindi makakuha ng mga hindi kailangan. . Ito ay nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng isang mas binuo na lohikal na pag-iisip at matematikal na kultura, ngunit, sa turn, ang mga gawaing ito mismo ay nakakatulong sa kanilang pag-unlad. Ang karanasan ng mga pagsusulit sa pagpasok ay nagpapakita na ang mga mag-aaral na nakakabisado sa mga pamamaraan ng paglutas ng mga ito ay karaniwang matagumpay na nakayanan din ang iba pang mga gawain. Sa kasamaang palad, sa mga programa sa matematika para sa mga hindi espesyal na paaralan, ang mga problema sa isang parameter ay halos hindi binibigyan ng espasyo, ngunit, halimbawa, sa isang aklat-aralin para sa mga mag-aaral ng mga paaralan at mga klase na may malalim na pag-aaral ng matematika ("Algebra and Mathematical Analysis for Grades 10 at 11", N. Ya Vilenkin, O.S. Ivashev-Musatov, S.I. Shvartsburd) binigyan sila ng isang lugar lamang sa ika-11 baitang. Samantala, ang mga problema sa mga parameter ay maaari at dapat gamitin simula sa linear at quadratic equation at inequalities. Ang mga ito ay maaaring mga problema sa paghahanap ng mga solusyon sa pangkalahatang pananaw, pagtukoy sa mga ugat na nakakatugon sa ilang mga katangian, pag-aaral ng bilang ng mga ugat depende sa mga halaga ng parameter. Ginawa ito sa "Collection of Problems in Algebra for Grades 8-9", 1994 (mga may-akda: M.L. Galitsky, A.M. Goldman, L.I. Zvavich). Mahalaga na matuto na ang mga mag-aaral mula sa mga unang simpleng halimbawa: una, ang pangangailangan para sa maingat na paghawak ng parameter - isang nakapirming ngunit hindi kilalang numero, maunawaan na mayroon itong dalawahang katangian (sa isang banda, ito ay isang tiyak na numero, sa sa kabilang banda, ang antas ng kalayaan ng pakikipag-usap sa kanya ay limitado sa kanyang kalabuan); pangalawa, na ang talaan ng sagot ay malaki ang pagkakaiba sa talaan ng mga sagot ng magkatulad na equation at hindi pagkakapantay-pantay na walang parameter. Sa pamamaraan, magiging tama na kumpletuhin ang bawat naipasa na uri ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may mga gawain gamit ang isang parameter. Una, mahirap para sa isang mag-aaral na masanay sa parameter sa dalawa o tatlong aralin - nangangailangan ito ng oras; pangalawa, ang paggamit ng naturang mga gawain ay nagpapabuti sa pagsasama-sama ng materyal na sakop; pangatlo, nakakatulong ito sa pag-unlad ng kanyang kulturang matematikal at lohikal, gayundin ang pag-unlad ng interes sa matematika, dahil nagbubukas ito ng mga bagong pamamaraan at pagkakataon para sa independiyenteng paghahanap. Ang konsepto ng isang parameter ay isang matematikal na konsepto na kadalasang ginagamit sa matematika ng paaralan at mga kaugnay na disiplina. klase - sa pag-aaral ng isang linear function at isang linear equation na may isang variable. klase - sa pag-aaral ng mga quadratic equation. Ang pangkalahatang programang pang-edukasyon ng kurso ng paaralan sa matematika ay hindi nagbibigay para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter, ngunit sa panimulang pagpapalit sa mga unibersidad at sa Pinag-isang Estado ng Pagsusuri sa matematika, may mga problema sa mga parameter, ang solusyon na nagiging sanhi ng malaking paghihirap para sa mga mag-aaral. Ang mga problema sa mga parameter ay may diagnostic at prognostic na halaga na nagbibigay-daan sa iyo upang subukan ang kaalaman sa mga pangunahing seksyon ng kurso sa matematika ng paaralan, ang antas ng lohikal na pag-iisip, ang mga paunang kasanayan ng mga aktibidad sa pananaliksik. Kapag nilulutas ang isang equation (hindi pagkakapantay-pantay), maaari mong gamitin ang sumusunod na algorithm. Algorithm para sa paglutas ng isang equation o hindi pagkakapantay-pantay sa isang parameter 1. Tukuyin ang mga paghihigpit na ipinataw sa mga halaga ng hindi alam at ang parameter, na nagmumula sa katotohanan na ang mga pag-andar at aritmetika na operasyon sa o may katuturan. Tukuyin ang mga pormal na solusyon na nakasulat nang walang mga paghihigpit. Kung ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay lilitaw sa panahon ng solusyon, pagkatapos ay naka-plot sila sa numerical axis. Hinahati ng mga halagang ito ang hanay ng mga wastong halaga ng parameter sa mga subset. Sa bawat isa sa mga subset, nalutas ang ibinigay na equation. Ang mga halaga ng parameter ay hindi kasama kung saan ang mga pormal na solusyon ay hindi nakakatugon sa nakuha na mga paghihigpit. Sa linya ng numero. idagdag ang mga halaga ng parameter na matatagpuan sa hakbang 3. Para sa bawat gaps sa axis. isulat ang lahat ng mga solusyon na nakuha depende sa mga halaga ng parameter. (Sa kaso ng sapat na simpleng mga equation, ang item 4 ay maaaring tanggalin). Isinulat nila ang sagot, i.e. sumulat ng mga solusyon depende sa mga halaga ng parameter. Ang pagkakaroon ng isang parameter sa isang problema ay nagpapahiwatig ng isang espesyal na paraan ng pagsulat ng isang tugon na nagbibigay-daan sa iyo upang matukoy kung ano ang sagot para sa anumang wastong halaga ng parameter. Ang mga di-wastong halaga ay ipinahiwatig din sa tugon, at itinuturing na sa mga halaga ng parameter na ito, ang problema ay walang solusyon. Kapag isinusulat ang sagot, ang mga halaga ng parameter ay karaniwang nakalista sa pataas na pagkakasunud-sunod mula −∞ hanggang +∞, ngunit kung minsan, para sa pagiging compact ng sagot, ang mga pagitan para sa parameter ay pinagsama, kung saan ang mga formula ng solusyon ay nag-tutugma. Sa kaso ng isang sumasanga ng solusyon, maginhawang gumamit ng isang linya ng numero, kung saan ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay naka-plot, at sa mga pagitan kung saan ang mga halagang ito ay nahahati sa tuwid na linya, ang ang mga sagot sa problema ay ipinahiwatig. Ang pamamaraan na ito ay nagpapahintulot sa iyo na huwag mawala ang mga nahanap na sagot sa hinaharap at malinaw na ipahiwatig ang mga halaga ng parameter kung saan sila tumutugma. Ipakita natin ang nasa itaas gamit ang isang halimbawa. Halimbawa 10: Lutasin ang hindi pagkakapantay-pantay. Ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay nakuha mula sa kondisyon, dahil kapag ang hindi pagkakapantay-pantay ay hindi naglalaman ng variable na x. Maglagay tayo ng mga halaga ng kontrol sa numerical axis na Oa. Hinati nila ang axis Oa sa mga pagitan: ) a<0; 2) 0< a <2; 3) a>2 Sa bawat isa sa mga agwat na ito, nilulutas namin ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Mga halaga a=0 at. a=2 ay nangangailangan ng hiwalay na pagsasaalang-alang. Kung ang<0, то a(a-2)>0. Ang paghahati sa parehong bahagi ng hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng factor a(a − 2) ≠ 0 , makuha natin ang x>. Kung 2>a>0, a(a − 2)< 0 и, следовательно, x<. Kung a>2, a(a − 2) > 0 at x>/ I-plot natin ang mga sagot na nakuha sa kurso ng solusyon sa mga katumbas na pagitan ng numerical axis Oa at isulat ang sagot. Ang pagitan kung saan nabibilang ang kaukulang solusyon ay minarkahan sa figure na may isang arko. Ang isang arrow ay inilalagay sa dulo nito kung ang solusyon na ito ay hindi nalalapat sa matinding punto pagitan. Sagot: Kung a<0, то x>; kung 0 Ang pangunahing tampok ng mga problema sa mga parameter ay ang pagsasanga ng solusyon depende sa mga halaga ng mga parameter. Sa madaling salita, ang proseso ng paglutas ay isinasagawa sa pamamagitan ng pag-uuri ng mga partikular na equation (hindi pagkakapantay-pantay) ayon sa uri, na sinusundan ng paghahanap para sa mga solusyon ng bawat uri. Kasabay nito, ang solusyon ng isang walang katapusang hanay ng mga bahagyang equation at hindi pagkakapantay-pantay, na isinasaalang-alang ang pangangailangan ng pagkakapareho ng mga pagbabago, ay posible lamang sa pagbuo ng isang sapat na antas ng lohikal na pag-iisip. Sa kabilang banda, ang pagbuo ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay nagbibigay ng isang makabuluhang proseso sa pagbuo ng kultura ng matematika ng mga mag-aaral. Ang pagbuo ng likas na katangian ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay tinutukoy ng kanilang kakayahang ipatupad ang maraming uri ng aktibidad ng kaisipan ng mga mag-aaral: Pag-unlad ng ilang mga algorithm ng pag-iisip. Kakayahang matukoy ang presensya at bilang ng mga ugat sa isang equation. Paglutas ng mga pamilya ng mga equation na bunga nito. Pagpapahayag ng isang variable sa mga tuntunin ng isa pa. Pag-uulit ng isang malaking halaga ng mga formula kapag nagso-solve. Ang halaga ng mga angkop na paraan ng solusyon. Malawakang paggamit ng verbal at grapikong argumentasyon. Pag-unlad ng graphic na kultura ng mga mag-aaral. Ang lahat ng nasa itaas ay nagpapahintulot sa amin na magsalita tungkol sa pangangailangang pag-aralan ang mga solusyon sa mga problema sa mga parameter. parameter ng hindi pagkakapantay-pantay ng equation Konklusyon Kaya, sa aming gawain sa kurso, napag-usapan namin ang tungkol sa mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kurso sa matematika ng paaralan, ang mga tampok ng kanilang solusyon. Ang mga equation at hindi pagkakapantay-pantay sa kursong matematika ng paaralan, mga tampok ng paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter ay isinasaalang-alang. Ang mga pamamaraan ay binuo para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. Ang layunin ng aming gawain sa kurso ay upang matukoy ang mga uri, pamamaraan para sa paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter. Upang makamit ang layuning ito, ang panitikan sa problemang ito ay pinili at pinag-aralan, ang mga tampok ng paglutas ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa kurso ng matematika ng paaralan ng pangunahing paaralan ay pinag-aralan, ang mga rekomendasyong pamamaraan para sa paglutas ng mga equation (hindi pagkakapantay-pantay) na may mga parameter ay ipinakita. Konklusyon: Ang mga problema sa mga parameter ay ang pinakamahirap sa lahat ng mga gawain ng kurso sa matematika ng paaralan. Upang malutas ang mga ito, kinakailangan ang kakayahang mag-isip nang lohikal: sa bawat sandali ng desisyon, kinakailangan na malinaw na isipin kung ano ang nagawa na, kung ano ang kailangan pang gawin, kung ano ang ibig sabihin ng mga resulta na nakuha na. Sa mga takdang-aralin sa USE sa matematika, sinusuri ang kakayahan ng nagtapos na mag-isip nang maikli, lohikal at makatuwiran. Ang pag-aaral ng mga equation at hindi pagkakapantay-pantay na may mga parameter sa mga sekondaryang paaralan ay nagbibigay sa mga mag-aaral ng mahusay na pagkakataon upang pag-aralan ang iba't ibang mga sitwasyon, iyon ay, ipinapakita nito ang kahalagahan ng mga konseptong ito sa paglutas ng maraming praktikal na mga problema. Ito ay mula sa pinakasimpleng praktikal na mga gawain at aplikasyon na ang pag-unawa sa kahalagahan ng matematika sa buhay ay unti-unting nabuo sa matematika sa mga mag-aaral. Bibliograpiya equation inequality math 1. Algebra. Baitang 7: Teksbuk para sa pangkalahatang pag-aaral sa edukasyon. mga institusyon / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofeev. - M.: Bustard, 2010. 2. Algebra. Baitang 7: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2010. 3. Algebra. Baitang 7: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov at iba pa - M .: Edukasyon, 2011. Algebra. Baitang 8: Teksbuk para sa pangkalahatang pag-aaral sa edukasyon. mga institusyon / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofeev. - M.: Bustard, 2012. Algebra. Baitang 8: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2011. Algebra. Baitang 8: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov at iba pa - M .: Edukasyon, 2011. Algebra. Baitang 9: Teksbuk para sa pangkalahatang pag-aaral sa edukasyon. mga institusyon / K.S. Muravin, G.K. Muravin, G.V. Dorofeev. - M.: Bustard, 2013. Algebra. Baitang 9: Sa dalawang bahagi. Bahagi 1: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2013. Algebra. Baitang 9: Teksbuk para sa pangkalahatang edukasyon. mga institusyon / S.M. Nikolsky, M.K. Potapov at iba pa - M .: Edukasyon, 2011. Algebra. Teksbuk para sa ika-7 baitang ng sekondaryang paaralan / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk at iba pa; ed. Teleyakovsky. - M.: Edukasyon, 2011. Algebra. Teksbuk para sa ika-7 baitang ng sekondaryang paaralan /Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin at iba pa - M .: Edukasyon, 2012. Algebra. Teksbuk para sa ika-8 baitang ng sekondaryang paaralan / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk at iba pa; ed. Teleyakovsky. - M.: Edukasyon, 2014. Algebra. Teksbuk para sa ika-8 baitang ng sekondaryang paaralan /Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin at iba pa - M .: Edukasyon, 2011. Algebra. Teksbuk para sa ika-9 na baitang ng sekondaryang paaralan / Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk at iba pa; ed. Teleyakovsky. - M.: Edukasyon, 2010. Algebra. Teksbuk para sa ika-9 na baitang ng sekondaryang paaralan /Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin at iba pa - M .: Edukasyon, 2001. Belyaeva E.S. Mathematics. Equation at hindi pagkakapantay-pantay sa mga parameter sa loob ng 2 oras: Pagtuturo/ Belyaeva E.S., Potapov A.S., Titorenko S.A. -., - M.:, 2009. Kramor V.S. Mga gawain na may parameter at pamamaraan para sa kanilang solusyon: Textbook / - M .: Oniks; Kapayapaan at Edukasyon, 2007 Kozko A.I. Mga gawain na may mga parameter at iba pang kumplikadong mga gawain: Isang aklat-aralin para sa mga unibersidad / Kozko A. I., Chirsky V. G. - M.: MTSNMO, 2007. Miroshin V.V. Paglutas ng mga problema sa mga parameter. Teorya at Pagsasanay: Teksbuk /. - M.: Pagsusulit, 2009. Prokofiev A.A. Mga gawain na may mga parameter: Tutorial. - M.: MIET, 2004. Sevryukov P.F. Paaralan para sa paglutas ng mga problema sa mga parameter: Textbook / Sevryukov P.F., Smolyakov A.N. - 2nd ed. - M.:, 2009.
klase: 11
Mga layunin:
Pang-edukasyon:
- i-systematize at gawing pangkalahatan ang kaalaman tungkol sa paglutas ng equation na may parameter;
- ipakita ang mga pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga naturang equation.
Pagbuo: palawakin at palalimin ang pag-aaral ng iba't ibang pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may parameter.
Pang-edukasyon: ipakita ang kahalagahan ng pag-asa ng sagot sa problema sa parameter sa napiling halaga ng parameter.
Mga pamamaraan ng pagtuturo na ginamit - ang kanilang aplikasyon.
- Nagpapaliwanag at naglalarawan.
- Paglalahat, pagkakatulad at paghahambing.
- UDE - paglikha ng mga pangunahing gawain, pagkakatulad ng mga imahe sa isang eroplano.
- Pinagsama - pagkakatugma ng algebra at geometric na interpretasyon, mga slide.
Pagbuo ng pangkalahatang mga kasanayan at kakayahan sa edukasyon:
- Pagkilala sa mahahalagang katangian ng mga bagay na pinag-aaralan;
- Pag-unlad ng mga praktikal na kasanayan;
- Ginamit na mga paraan ng pakikipagtulungan sa madla: magtrabaho sa isang dialogue mode;
- Sikolohikal na aspeto ng aralin;
- Lumikha ng komportableng kapaligiran sa pagtatrabaho;
- Paghihikayat sa aktibong aktibidad ng diyalogo.
Sa panahon ng mga klase
Panimula. Panimulang talumpati ng guro.
Ang mga equation ay naging pamilyar na bahagi ng USE entrance exam na mga opsyon.
Ang mga equation na may isang parameter ay nagdudulot ng malubhang lohikal na paghihirap.
Ang bawat naturang equation ay, sa esensya, isang shorthand para sa isang pamilya ng mga equation. Malinaw na imposibleng isulat ang bawat equation mula sa isang walang katapusang pamilya, ngunit gayunpaman ang bawat isa sa kanila ay dapat malutas. Samakatuwid, mayroong pangangailangan na isaalang-alang ang isang sistema ng mga konsepto at maghanap ng mga pamamaraan para sa paglutas ng mga equation na may mga parameter (linear, rational, atbp.)
Hayaang maibigay ang equation na F (x; a) = 0. Kung bibigyan natin ang parameter ng anumang nakapirming halaga, kung gayon ang equation na ito ay maaaring ituring bilang isang "ordinaryong" equation na may isang variable.
Itakda natin ang gawain: Alamin kung ano ang maaaring maging sitwasyon sa napiling halaga ng parameter?
Paggawa kasama ang mga mag-aaral sa isang dialogue mode.
Ibalangkas natin ang mga pangunahing problema:
- Itatag ang mga pangunahing konsepto ng mga equation na may mga parameter.
- Para sa bawat uri ng mga equation ng kurso sa matematika ng paaralan, magtatag ng isang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga kaukulang equation na may mga parameter - pareho para sa isa at dalawang parameter.
- Isaalang-alang ang mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-aaral ng mga equation.
- Ano ang pagtatatag ng bilang ng mga ugat ng mga equation.
- Paghahanap ng isang karaniwang ugat ng dalawang equation - ano ang kakanyahan nito?
- mga geometric na interpretasyon.
akoyugto - ang solusyon sa unang problema.
Paggawa kasama ang mga mag-aaral sa isang dialogue mode.
Anong mga tanong ang tutukuyin mo para sa iyong sarili upang maitatag ang mga pangunahing konsepto?
|
Lumilitaw ang slide at outline
Sa mga problema ng uri II, kinakailangan upang mahanap ang lahat ng mga halaga ng parameter kung saan nasiyahan ang ilang partikular na mga kundisyon. |
Halimbawa.
1) Lutasin ang equation na a (a - 1) = a - 1.
Desisyon. Bago sa amin ay isang linear equation na may katuturan para sa lahat ng mga tinatanggap na halaga ng a. Lutasin namin ito "gaya ng dati": hinahati namin ang parehong bahagi ng equation sa pamamagitan ng coefficient ng hindi alam. Ngunit laging posible ba ang paghahati?
Hindi mo maaaring hatiin sa zero. Kakailanganin nating isaalang-alang nang hiwalay ang kaso kapag ang coefficient ng hindi alam ay katumbas ng o. Nakukuha namin:
Sagot: 1) kung a 0, a 1, kung gayon x = ;
2) kung a = 1, kung gayon ang x ay anumang numero;
3) kung a = 0, kung gayon walang mga ugat.
2) Lutasin ang equation (a - 1) x 2 + 2 (2a - 1) x + 4 a + 3 = 0.
Desisyon. Isaalang-alang ang dalawang kaso:
Isaalang-alang ang discriminant: D = (2a - 1) 2 - (a - 1) (4a + 3) \u003d - 3a + 4.
Kung a, kung gayon x 1.2 = 
.
Sagot: 1) kung a > , kung gayon walang mga ugat;
2) kung a = 1, kung gayon x = - 3.5;
3) kung a at a1, kung gayon x 1.2 = 
.
IIyugto - ang solusyon sa pangalawang problema.
Isaalang-alang ang isang paraan para sa pag-uuri ng mga partikular na equation gamit ang modelo karaniwang solusyon.
May lalabas na slide.
Halimbawa. Sa rational equation 
function f 1 (a) = ay isang pangkalahatang solusyon para sa mga halaga ng parameter kung saan 
. Dahil ang
pangkalahatang solusyon ng equation sa А f1 = ).
Ang function f 2 (а) = ay ang pangkalahatang solusyon ng equation sa set А f2 = .
Bumuo tayo ng pangkalahatang modelo ng desisyon sa sumusunod na anyo
Pinipili namin ang lahat ng uri ng mga partial equation sa modelo: 
; 
; 
.
Kaya, sa mga halimbawa, ang mga pangunahing konsepto ng mga equation na may mga parameter ay isinasaalang-alang: ang hanay ng mga pinahihintulutang halaga; domain; pangkalahatang solusyon; kontrolin ang mga halaga ng mga parameter; mga uri ng partial equation.
Batay sa ipinakilala na mga parameter, tinukoy namin ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng anumang equation F(a; x) = 0 na may parameter a (para sa kaso ng dalawang parameter, ang scheme ay magkatulad):
- ang lugar ng mga tinatanggap na halaga ng parameter at ang lugar ng kahulugan ay nakatakda;
- ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay tinutukoy, na naghahati sa lugar ng mga tinatanggap na halaga ng parameter sa mga lugar ng pagkakapareho ng mga bahagyang equation;
- para sa mga halaga ng kontrol ng parameter, ang kaukulang mga partial equation ay pinag-aralan nang hiwalay;
- pangkalahatang solusyon x = f 1 (a), …, f k (a) ng equation F(a; x) =0 ay matatagpuan sa mga katumbas na set А f1 , ……, А fk ng mga halaga ng parameter;
- isang modelo ng mga pangkalahatang solusyon, ang mga halaga ng kontrol ng parameter ay pinagsama-sama sa sumusunod na form (sa slide);
- ang mga pagitan ng mga halaga ng parameter na may magkaparehong mga solusyon (mga rehiyon ng pagkakapareho) ay inilalaan sa modelo;
- para sa mga halaga ng kontrol ng parameter at mga napiling lugar ng pagkakapareho, ang mga katangian ng lahat ng mga uri ng mga partikular na solusyon ay naitala.
Stage III - mga halimbawa ng mga gawain para sa pag-aaral ng mga equation.
Isaalang-alang ang mga halimbawa ng paglutas ng mga problema sa uri 2 na mga parameter.
Lalo na madalas na may mga problema sa lokasyon ng mga ugat ng isang quadratic equation. Kapag nilulutas ang mga ito, ang mga graphic na ilustrasyon ay "gumana" nang maayos. Ang lokasyon ng mga ugat na nauugnay sa mga ibinigay na punto ng eroplano ay tinutukoy ng direksyon ng mga sanga ng kaukulang parabola, ang mga coordinate ng vertex, pati na rin ang mga halaga sa mga ibinigay na punto.
Halimbawa.
1) Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation (a 2 + a + 1) x 2 + (2a - 3) x + a - 5 \u003d 0 ay may dalawang ugat, ang isa ay mas malaki kaysa sa 1 at ang isa ay mas mababa sa 1?
Desisyon. Hayaan ang f (x) \u003d (a 2 + a + 1) x 2 + (2a - 3) x + a - 5. Dahil ang isang 2 + a + 1 > 0, pagkatapos ay para sa quadratic function f(х) ang kondisyon ng problema ay matutupad lamang sa ilalim ng kundisyon f(х)< 1.
Paglutas ng hindi pagkakapantay-pantay f(1) = a 2 + 4a - 7< 0, получим, что -2 - < а < - 2 + .
Sagot: -2 - < а < - 2 + .
2) Sa anong mga halaga ng parameterm mga ugat ng equation (m - 1) x 2 - 2mx +m + 3 = 0 ay positibo?
Desisyon. Hayaan ang f (x) \u003d (m-1) x 2 - 2 mx + m + 3 pagkatapos:
1) kung, m \u003d 1, pagkatapos ay -2x + 4 \u003d 0, x \u003d 2 - ang ugat ay positibo;
2) kung m 1, kung gayon sa tulong ng figure ay maaaring makuha ng isa ang mga sumusunod na relasyon: 
Isaalang-alang ang 2 kaso:
1) kung 1.5 m > 0, pagkatapos ay mula sa ika-2 at ika-3 na hindi pagkakapantay-pantay ng huling sistema ay nakuha natin na m > 1, i.e. sa wakas 1.5 m > 1;
2) kung m< 0, тогда из неравенства (m-1)m >0 makuha natin ang m-1 na iyon< 0, откуда m + 3 < 0, т.е. окончательно m < -3.
Sagot:m(-;-3)
IVyugto - isaalang-alang ang problema sa pagtatatag ng bilang ng mga ugat ng equation.
Halimbawa 1 Sa anong mga halaga ng parameter, at ang equation 2 cos 2 x - (2a + 9) cosx + 9a \u003d 0 ay walang mga ugat.
Desisyon. Hayaan ang y \u003d cosx, kung gayon ang orihinal na equation ay kukuha ng anyo 2y 2 - (2 a + 9) y + 9a \u003d 0, ang mga ugat nito ay y 1 \u003d a, y 2 \u003d 4.5. Ang equation na cosх = 4.5 ay walang mga ugat, at ang equation na cosх = a ay walang mga ugat kung > 1.
Sagot: (- ; -1) (1; ).
Halimbawa 2.
Hanapin ang lahat ng mga halaga ng parameter a kung saan ang equation 
walang ugat.
Desisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng system: 
.
Ang equation ay walang solusyon sa dalawang kaso: a = at
Halimbawa 3
. Sa anong mga halaga ng parameter a ang equation 
may kakaibang solusyon?
Desisyon. Ang solusyon sa equation ay maaari lamang maging kakaiba kung x = 0. Kung x = 0, pagkatapos ay isang 2 -1 = 0, at a = 1.
Isaalang-alang ang 2 kaso:
1) kung ang isang \u003d 1, kung gayon x 2 - \u003d 0 - mayroong tatlong ugat;
2). Kung ang isang \u003d -1, kung gayon x 2 + \u003d 0, x \u003d 0 ang tanging ugat.
Halimbawa 4 Para sa anong mga halaga ng parameter a ang equation ay may 2 ugat?
Desisyon. Ang equation na ito ay katumbas ng system: . Alamin natin kapag ang quadratic equation x 2 - x - a \u003d 0 ay may 2 non-negative na ugat.
Ang resultang equation ay may dalawang ugat kung 1+ 4a > 0; non-negative sila kung
0 > a > - .
Sagot: (- ; 0] .
Sa maraming mga kaso, kapag nagtatatag ng bilang ng mga ugat ng isang equation, mahalaga ang simetrya.
Vyugto - paghahanap ng isang karaniwang ugat ng dalawang equation.
Halimbawa 1 Sa anong mga halaga ng parameter a ang mga equation x 2 + 3x + 7a -21 \u003d 0 at x 2 + 6x + 5a -6 \u003d 0 ay may isang karaniwang ugat?
Desisyon. Ibinubukod namin ang parameter a mula sa nagresultang sistema. Upang gawin ito, pinarami namin ang unang equation sa pamamagitan ng -5, ang pangalawa - sa pamamagitan ng 7, at idagdag ang mga resulta. Nakukuha namin ang: 2x 2 + 27x +63 \u003d 0, ang mga ugat kung saan x 1 \u003d -3, x 2 \u003d -10.5. Pinapalitan namin ang mga ugat sa isa sa mga equation at hanapin ang halaga ng parameter a.
Sagot: 3 at - 8.25.
Halimbawa 2 Sa anong mga halaga ng parameter a ang mga equation x 2 - ax + 2 \u003d 0 at 3x 2 + (a - 9) x + 3 \u003d 0 katumbas?
Desisyon. Tulad ng alam mo, ang mga equation ay katumbas kung ang hanay ng kanilang mga ugat ay pareho. Isaalang-alang natin ang 2 kaso.
1) Ang mga equation ay walang mga ugat (ang hanay ng mga ugat ay walang laman). Pagkatapos ang kanilang mga diskriminasyon ay negatibo:
Ang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay ay walang solusyon.
2) Ang mga equation ay may mga karaniwang ugat. Pagkatapos 
Samakatuwid, ang mga equation na ito ay maaaring magkaroon ng mga karaniwang ugat lamang kapag a = 3 o a = .
Suriin ito sa iyong sarili!
VIyugto - mga geometric na interpretasyon.
Ang paglutas ng mga problema sa mga parameter ay maaaring lubos na mapadali ang paggamit ng mga graph.
Halimbawa 1
. Lutasin ang equation depende sa parameter a: 
.
Desisyon. Malinaw na para sa isang 0:
Ang lahat ba ng mga ugat ay angkop? Upang malaman, i-plot namin ang function na a =.
Ang bilang ng mga ugat ay makikita sa figure:
- kung ang< 0, то корней нет;
- kung a = 0 at a > 0, pagkatapos ay 2 ugat.
Hanapin natin ang mga ugat na ito.
Sa isang \u003d 0, nakukuha namin ang x 2 - 2x - 3 \u003d 0 at x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3; para sa a > 4, ito ang mga ugat ng equation x 2 - 2x - 3 - a \u003d 0.
Kung 0< а < 4 – все 4 корня подходят.
Kung ang isang \u003d 4 - tatlong ugat:
Sagot: 1) kung a< 0, то корней нет;
2) kung isang \u003d 0, kung gayon x 1 \u003d -1, x 2 \u003d 3;
3) kung 0< a < 4, то х 1,2,3.4 = 1 ;
4) kung isang \u003d 4, kung gayon x 1 \u003d 1; x 2.3 \u003d 1;
5) kung a > 4, kung gayon x 1.2 = 1.
Halimbawa 2 . Para sa anong mga halaga ng a ang equation ay may higit sa dalawang ugat?
Desisyon. Kung papalitan natin ang x = 0 sa orihinal na equation, makakakuha tayo ng 6 = 6, na nangangahulugan na ang x = 0 ay isang solusyon sa equation para sa anumang a.
Hayaan ngayon x 0, pagkatapos ay maaari naming isulat 
. Alamin ang mga palatandaan ng mga expression na 2x + 3 at 2x - 3.
Palawakin natin ang mga modyul: a = 
(1)
Sa eroplanong x0a, bumuo kami ng isang set ng mga puntos (x; a) na ang mga coordinate ay nakakatugon sa kaugnayan (1).
Kung ang isang \u003d 0, kung gayon ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon sa pagitan , para sa iba pang mga halaga ng a, ang bilang ng mga solusyon sa equation ay hindi lalampas sa dalawa.
Sagot: a = 0.
Kontrol sa pagsubok
1 opsyon |
Opsyon 2 |
1) Lutasin ang equation: 0 x = a Mga sagot |
1) Lutasin ang equation: a x \u003d a. Mga sagot: a) sa isang ≠ 0, x = 1, sa a = 0, x R b) sa a = 0, x R, sa isang ≠ 0 walang mga ugat c) sa a = 0 walang mga ugat, sa isang ≠ x = |
2) Lutasin ang equation: (c - 2) x \u003d 5 + c. Mga sagot: |
2) Lutasin ang equation (sa + 1) x \u003d 3 - in. Mga sagot: a) sa β = 2 walang mga ugat; kapag sa ≠2, x = ; b) sa c = -2 walang mga ugat, sa c ≠-2 x = c) sa c = -1 walang mga ugat, sa isang ≠ - 1 |
3) Para sa anong mga halaga ng parameter c ang equation ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon? c (c + 1) x \u003d c 2 - 1. Sagot: a) sa c = -1, x R, ; |
